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山东德州市2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8 小题，共40 分。
1.
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知向量
，则
是
的（ ）条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
3.已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知
，则
（ ）
A.
B.
C. 5
D.
5.已知不共线的平面向量
，两两夹角相等，
，则
（ ）
A. 3 或36
B.
C.
或6
D. 6
6.如图所示，在
中，
是
的中点，点
在
上，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
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7.若角
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，“六芒星”是由两个边长为6 的正三角形组成，中心重合于点
且三组对边分别平行，点
是
“六芒星”（如图）的两个顶点，动点
在“六芒星”上（内部以及边界），则
的取值范围是
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3 小题，共18 分。
9.下列说法不正确的是（）
A. 若
，
，则
B. 若
，则
为钝角
C. 若
为非零向量，且
，则
D. 若
，则存在唯一的实数
使得
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10.已知
，其中
为锐角，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知两个非零向量
的夹角为
，定义运算
.设
，则（ ）
A.
B.
在
上的投影向量的模为
C.
，均有
D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.已知
，若
，则
与
的夹角为 .
13.已知
，且
，则
.
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14.如图正方形
的边长为
分别为边
上的点，若
为
的中点且
，则
；若
的周长为2，则
的大小为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13 分)
已知平面向量
，且
.
(1)求
；
(2)求
与
的夹角.
16.(本小题15 分)
已知平面向量
，函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)若锐角
满足
，求
的值.
17.(本小题15 分)
如图，在扇形
中，半径
，圆心角
是扇形弧上的动点，矩形
内接于扇形.其
中
在半径
上，记
.
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(1)当
时，求矩形
的面积；
(2)角
取何值时，矩形
的面积最大？并求出这个最大值.
18.(本小题17 分)
如图1，在
中，
为直角，
与
相交于点
，连接
，记
.
(1)用
表示向量
；
(2)设
，求
的值；
(3)如图2，过点
的直线与边
分别交于点
，设
（
均为非零实数），
求
的值.
19.(本小题17 分)
把由平面内夹角成
的两条数轴
构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1，
，
分别为
正
方向上的单位向量.若向量
，则把实数对
叫作向量
的“广义坐标”，记
.
已知向量
的“广义坐标”分别为
.
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(1)求
的“广义坐标”；
(2)求向量
与
的夹角的余弦值；
(3)以
为原点，建立如图2 所示的平面直角坐标系
，若向量
在平面直角坐标系中的坐标为
，
求向量
的“广义坐标”.
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1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】0.5
14.【答案】
/
；
/
15.【答案】解：（1）因为
，所以
，解得
所以
因为
，所以
，所以
所以
所以
，
（2）由（1）知，
，
所以
，
，
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设
的夹角为
，则：
因为
，所以
即向量
与向量
的夹角为
16.【答案】解：（1）由
，
取
，解得
，
故
的单调增区间为
，
（2）由（1）知
，则
，
所以
.
17.【答案】解：（1）在
中，
，则
，
在
中，
，
所以
，
所以
，
设矩形
的面积为，则
.
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（2）在
中，
.
在
中，
，
所以
，
所以
，
设矩形
的面积为，
则
，
，
由
，得
，
所以当
，即
时
.
因此，当
时，矩形
的面积最大，最大面积为
.
18.【答案】解：（1）由题意，
.
（2）解法一：由
，因为
三点共线，
所以存在非零实数
使得
，
所以
，
所以
，解得
①，
又因为
三点共线，
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所以存在非零实数使得
.
所以
.
又
，所以
，解得
②.
由①②解得
.
解法二：因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
三点共线，所以
，
而
，
因为
三点共线，所以
由
，得
.
（3）解法一：由（2）知
，
因为
三点共线，
所以存在非零实数使得
，
因为
，所以
.
消去得
，所以
.
解法二：由（2）知，
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因为
，所以
,
所以
,
因为
三点共线，所以
，则
.
19.【答案】解：（1）由题意得
，
故
，
故
的“广义坐标”为
；
（2）由题意得
，
故
，
，故
，
，故
，
所以向量
与
的夹角的余弦值为
；
（3）在平面直角坐标系中，
，
设
，向量
在平面直角坐标系中的坐标为
，
所以
，
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所以
，解得
，
故向量
的“广义坐标”为
