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山东济宁市兖州区2025-2026 学年第二学期质量检测
高一数学试卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】因为
，则
，
所以
.
2. 已知向量
.若
三点共线，则
（ ）
A.
B.
C. 3
D. 4
【答案】A
【详解】若
，
，
三点共线，则向量
与
共线，
因为
，
，
由共线条件可得：
，
化简可得：
，求解得：
.
故选：A.
3. 如图，
是利用斜二测画法画出的
的直观图，其中
轴，
轴，
，则
的周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】因为其中
轴，
轴，
所以
，由余弦定理得，
，
即
，解得
，
由斜二测画法知原
为直角三角形，
，
，
，
所以周长为
．
故选：A．
4. 如图，在圆
中，
是圆心，点
在圆上，
的值（ ）
A. 只与圆
的半径有关
B. 只与弦
的长度有关
C. 既与圆
的半径有关，又与弦
的长度有关
D. 是与圆
的半径和弦
的长度均无关的定值
【答案】B
【详解】设
与
的夹角为
，在
中，
.
，
的值只与弦
的长度有关，
故选：
.
5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风
风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对
应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如
图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位
），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹
角的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，
∴
，船行风速：
，
∴
，
则
．
故选：B.
6. 若
，
为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件
D. 充要条件
【答案】A
【详解】由
，
为非零向量且
知，存在实数
，使
，
则
，
，
当
时，
，故充分性不成立，
由
，则
，
故
，所以
，
即
，故
，
所以
同向共线，必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
7. 在△ABC 中，
，则△ABC 的形状一定是（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】A
【详解】
∴BA⊥AC,
∴△ABC 为直角三角形，
故选：
8. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的半径的
最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】设圆锥的底面半径为
，高为，依题意，圆锥的母线长
，
且
，所以
.
设圆锥的内切球半径为
，则
，
解得
，也即圆锥内的球的半径的最大值是
.
二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知复数
（i 为虚数单位），则（ ）
A. z 的虚部为
B. z 的共轭复数为
C.
D.
【答案】AC
【详解】由
，
故z 的虚部为
，
，
，
，A、C 对，B、D 错.
10. 在
中，有
，且
的面积
，判断下列命题正确的
是（ ）
A.
B.
周长为
C.
外接圆半径为
D.
中线
的长为
【答案】AD
【详解】由正弦定理，得
，
设
，
，
（
）.
， 又
，故
，A 选项正确.
，解得
，则
，
，
.
△ABC 的周长为
，B 选项错误.
由正弦定理，
，故外接圆半径
，C 选项错误.
设
为
中点，则
，
，
故
，D 选项正确.
11.
中，下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
为锐角三角形．
B. 若
，则点
的轨迹一定通过
的内心．
C. 若
为
重心，则
D. 若点
满足
，则
【答案】BCD
【详解】选项A：若
，则
，因此角
为锐角，但
不一定为锐角三角形，
故A 错误；
选项B：因为
分别表示
方向上的单位向量，所以
的方向与
的角平
分线一致．
若
，则
的方向与
的角平分线一致，所以点
的轨迹一定
通过
的内心，故B 正确；
选项C：若
为
的重心，设边
的中点为
，
则
，故C 正确；
选项D：设
的中点为
，若点
满足
，则点
为
外心，
于是有
．又
，
则
，故D 正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知
，向量
在向量
上的投影向量为
，则
与
夹角的余弦值为______.
【答案】
【详解】设
与
的夹角为
，则向量
在向量
上的投影向量为
，
所以
，所以
.
13. 在梯形ABCD 中，
，
，
．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋
转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为__________．
【答案】
【详解】梯形ABCD 如图所示，
，
，
，
，
，
∵
，∴
，
，解得
．
故梯形ABCD 为等腰梯形，
，
过点A 作
于点T，则
，
．
旋转体是底面半径为
，高为2 的圆柱，挖去2 个底面半径为
，高为
的圆锥，
则所围成的几何体的体积
．
故答案为：
14. 已知
的面积为
，
，
，则
___________．
【答案】
【详解】
如图所示，过
作
交
于点
.
则有
，
，
.
因为
的面积为
，
，
所以
，解得
.
所以
.
解得
，即
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数
是关于
的方程
的两个根，且
.
（1）求
和
的值；
（2）记复数
在复平面内对应的点分别为
，已知
为坐标原点，且
，求复
数
.
【答案】（1）
，
（2）
【小问1 详解】
由复数
是实系数方程
的一个根，
可知
也是方程
的一个根，
由韦达定理，可得
，
，
所以
，
.
【小问2 详解】
因为
，所以
，则
，
则得
，由（1）可得
，
，
所以
.
16. 如图，在高为2 的正三棱柱
中，
,
是棱
的中点．
（1）求该正三棱柱的表面积；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）设
为棱
的中点，
为棱
上一点，求
的最小值，此时
的长度是多少．
【答案】（1）
（2）
（3）
的最小值为
；此时
【小问1 详解】
因正三棱柱
的底面边长为2，高为2，
故其表面积为：
；
【小问2 详解】
因
，
是棱
的中点，则
，
又因平面
平面
，平面
平面
，
且
平面
，则
平面
.
则
；
【小问3 详解】
如图，将平面
绕
翻折到平面
，使其与平面
同在一个平面内，
设
为棱
的中点，连接
，交
于点
，此时，
三点共线，
故
取得最小值为
，
因
，且
，则
∽
，故
.
17. 已知
分别是
三个内角
的对边，且
．
（1）求
；
（2）若
的面积为
，求
．
【答案】（1）
（2）
，
【解析】
【小问1 详解】
由
及正弦定理得
，
，
所以
．又
，所以
．
所以
，所以
．
又
，所以
，所以
，所以
．
【小问2 详解】
由题意，
，所以
①
由余弦定理，得
，得
②．
由（1）（2），解得
，
．
18. 如图，在平行四边形ABCD 中，Q 是线段BC 上的动点，且满足
，P 是CD 的中点，
设
．
（1）用向量
表示向量
；
（2）设
．
①求
的值；
②求
的面积．
【答案】（1）
，
，
（2）①
；②
【小问1 详解】
因为P 是CD 中点，所以
，
得
．
由
， 得
，
又由向量的减法，得
．
【小问2 详解】
①由
，得
，
则
，
，
．
又
，所以
，
故
，解得
（舍去）或
，所以
．
②由①知，
，
所以
的面积
．
19. 在
中，内角
的对边分别是
．
（1）求
的值；
（2）若
，求角A；
（3）若
，求证：
．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【小问1 详解】
由
和正弦定理，可得
，解得
；
【小问2 详解】
由正弦定理和
，可得
，
整理得
，即
，
展开化简得
，
因为
，所以
，故
.
【小问3 详解】
因为
，所以
，
由余弦定理，
，
则得
即
，
再由正弦定理，
，
因为
，
所以
，
化简得
，
因为
，所以
，
所以
或
，
所以
或
（舍去），
故
.
