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内江一中高2028 届高一下学期期中数学测试卷
一、单选题（共40 分，每小题5 分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
2．在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，
是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
4．在
中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的最小正周期为
，将
的图象向下平移2 个单位长
度后，再将横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图象，则
的一个单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，为测量一棵树
的高度，在地面上选取A，B 两点（A，B，H 三点共线），从A，B 两点
分别测得树尖P 的仰角为
，
，且A，B 两点之间的距离为
，则树的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在
中，
，
，
，
为
与
的交点，则向量
在
上
的投影向量的模的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共18 分，每小题6 分）
9．下列等式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则符合条件的
只有一个
B．若
，则
C．若
，则
是锐角三角形
D．若
，则
的最大值是
11．幻彩摩天轮位于中山市西区兴中广场
段．该摩天轮轮体直径为
，最高点离地
．轮体上均
匀设置了依次标号为
号的
个座舱，开启后按照逆时针方向匀速旋转，每
转一周.已知在时刻
时号舱
距离地面的高度
（其中
，
，
），且
时，
位于最低位置．且摩天轮开始启动时，号舱
，
号舱
，
号舱
位置如图所示，运行过
程中其离地面高度分别记为
，
，
，则（ ）
A．
B．摩天轮运行一周的过程中，
C．不存在
使得
D．摩天轮运行一周的过程中，
的情形共出现次
三、填空题(共15 分，每小题5 分)
12．已知
，
，则
______.
13．如图，在平行四边形
中，
，
，
是边
的中点，
是
上靠近
的三等分
点，若
，则
______．
14．在
中，
为边
上一点，
，
，
，
，
.当
面积最小时，
________.
四、解答题（共77 分）
15．（13 分）已知
，
，
(1)若
，且
，求
．
(2)若四边形
为平行四边形，求点
的坐标．
16．（15 分）已知
，
，且
与
夹角为
，求：
(1)
；
(2)
与
的夹角的余弦值.
17．（15 分）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式.(2)设函数
.
（i）求
的单调递减区间；（ii）若
，求
的最大值与最小值.
18.（17 分）在面积为S 的
中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，
，且
.
(1)求角C 的大小；(2)若
，
，求
的周长；
(3)若
为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求
面积的取值范围.
19．（17 分）已知函数
.
(1)若对于任意
都有
，且
，求
的对称中心；
(2)若
，函数
图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，
是
的一个零点，函
数
在区间
（
且
）上恰好有2026 个零点，求
的最小值；
(3)在第（2）问条件下，将函数
图象上所有点的横坐标伸长为原来的3 倍，再向左平移
个单位长
度，向下平移1 个单位长度后得到函数
的图象.若关于
的方程
在
上有
且仅有四个解，求实数
的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A 错误；
对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B 错误；
对于C：向量的模与方向没有关系，故C 正确；
对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D 错误.
故选：C.
2．D
【详解】在
中，由余弦定理得，
，
由
解得
.
故选：D
3．B
【详解】因为向量
，
是平面内的一组基底，可得向量
，
为平面内不共线的向量，
对于A 中，设
，可得
，此时方程组无解，
所以向量
和
不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B 中，设
，可得
，解得
，
所以向量
和
为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C 中，设
，可得
，此时方程组无解，
所以向量
和
不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D 中，设
，可得
，此时方程组无解，
所以向量
和
不共线，可以作为平面的一组基底.
4．B
【详解】因为
是
的中点，所以
，
因为
是
的靠近
的三等分点，所以
，
所以
．
5．C
【详解】
最小正周期
，得
，
即
，图象向下平移2 个单位长度后得到函数
，横坐标伸长
到原来的2 倍后得到函数
，
A.当
，
，此区间先减后增，故A 错误；
B. 当
，
，是正弦函数减区间的子集，故B 错误；
C. 当
，
，是正弦函数增区间的子集，故C 正确；
D.当
，
，此区间先增后减，故D 错误；
6．C
【详解】因为
，所以
，
，
故
.
7．C
【详解】设树的高度为，由已知，得
，
在
中，
.
化简得
，解得
.
所以树的高度为
m.
故选：C.
8．C
【详解】由题，设
，
因为
三点共线，
三点共线，所以
，解得
，
所以
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故选：C.
9．CD
【详解】A，根据两角和的余弦公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，错误；
B，根据二倍角的余弦公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，错误；
C，根据两角和的正切公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，即
，
所以
，正确；
D，根据两角差的正切公式：
，
代入
，可得
，
再代入
，有
，正确.
10．BC
【详解】因为
，所以由正弦定理
得
，
所以角C 有两个值，此时符合条件的
有两个，故A 错误；
在
中，由大边对大角知，
，
又由正弦定理得
，故B 正确；
由
，得
，则C 是
的最大内角，
又
，则
，C 为锐角，
是锐角三角形，故C 正确；
由正弦定理得
，
当
时，
的最大值是
，故D 错误．
故选：BC．
11．ABC
【详解】对于A，根据题意，得摩天轮轮体的半径为
米，
因此摩天轮轮体的圆心离地
米，周期
，则
，
当
时，
位于最低位置，即
，
代入
得
，
结合
，得
，因此
，故A 正确；
对于B，
个座舱均匀分布，则相邻座舱间的圆心角差为
，
则座舱
和座舱
的圆心角差为
，
则有两舱的高度差为
，
其中
表示
在任意时刻相对于水平面的相位角（或称旋转角），
利用和差化积公式展开得
，
当
，高度差取最大值，
则最大值为
，故B 正确；
对于C，方程
等价于
或
，
考虑
：即
，
化简得
，
当
时，
，因此当
时，
，
因此
，与
矛盾，因此不存在
使得
，
考虑
：即
，
其中
和
分别表示
在任意时刻相对于水平面的相位角（或称旋转角），
由于
，代入得
，解得
或
，
的初始角度为
，
因此当
时，
，则
无解，
因此不存在
使得
，
即不存在
使得
，故C 正确；
对于D，方程
等价于
或
，
考虑
：即
，
化简得
，
而在
时，
，则
有
个解，
考虑
：即
，由于
，
代入得
，解得
或
，
的初始角度为
，
因此当
时，
，则
有
个解，
因此在摩天轮运行一周的过程中，
的情形共出现
次，故D 错误.
12．
【详解】
.
13．2
【详解】因为
，
则
因为
，所以
.
又
，所以
，化简得
，
解得
（负值舍去），即
.
14．
/
【详解】
，
所以
.
在
中，由正弦定理得
，化简得
.
在
中，由正弦定理得
，化简得
.
故
，
令
，
则
，
由二次函数性质可知，
，
函数开口向下，对称轴为
，
所以当
时，
取得最大值
，
即当
，
取最小值，
此时
.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）
，
，
又
且
，
.
（2）设
，
四边形
为平行四边形，
,
，
.
故点
的坐标为
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）
，
，且
与
夹角为
，
，
；
（2）
，
，
.
17．(1)
(2)（i）
；（ii）最大值为，最小值为
【详解】（1）设
的最小正周期为
，则
，解得
，
所以
，解得
.
由题意知
，所以
，
又
，
所以
，即
，
又
，所以
，
所以
.
（2）（i）
，
由
，解得
，
故
的单调递减区间为
.
（ii）设
，
因为
，所以
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
故
在
上的最大值和最小值分别为和
.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若
，则
,
由正弦定理可得
，故
，
因此
,
.
（2）由（1）可得
，又
,故
，
因此
，故
，
因此周长为
（3）由于
，故
，
由正弦定理
可得
，
故
，
因为
，所以
，
所以
，
故
,
由于三角形为锐角三角形，故
,解得
，
因此
，故
，则
，
因此
.
19．(1)
或
(2)
(3)
【详解】（1）因为
的最小正周期为
，
又因为
，且
，
则
，解得
，
当
时，
，
令
，解得
，
所以
的对称中心为
；
当
时，
，
令
，解得
，
所以
的对称中心为
；
综上所述，
的对称中心为
或
.
（2）将函数
图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，
则
，
因为
是
的一个零点，
则
，即
，
又因为
，则
，
可得
，解得
，
所以
，最小正周期
.
令
，可得
，
则
或
，
，
解得
或
，
，
若函数
在
（
且
）上恰好有2026 个零点，
要使
最小，则m、n 恰好为
的零点，
故
.
（3）由题意知
，且
，
令
，且
，则
，
因为
，则
，
当
时，满足方程组
的值有且仅有四个，
且函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
令
，可得
必有两个相异零点
，
，
由直线
与
和
，
的图象分别有两个交点，
作出直线
与
和
，
的图象，如图所示，
由图象可得
，
，即
在区间
上有两个相异零点，
则满足
，解得
，
所以
的取值范围是
