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2026-05 高一半期数学第1 页共2 页
树德中学高2025 级高一下期阶段性测试数学试卷
命题人：杨世卿
审题人：程鑫垚洪晓蕾严芬
满分：150 分
考试时间：120 分钟
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1.复数
2026(1
)
z
i
i
(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于第（
）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
2.水平放置的三角形ABC 的直观图如图，其中
3
B O
O C
A O
，那么原三角形ABC 是一个
（
）
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
3.已知
1
2
,
e e
是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底的是（
）
A．
1
2
1
2
,
e
e e
e
B．
1
1
2
,
3
e e
e
C．
1
2
2
1
2 ,6
3
e
e
e
e
D．
1
2
1
2
2 ,2
e
e
e
e
4.
ABC
中内角A，B，C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
45
A
，
6
a
，
3 2
b
，则B （
）
A．30
B．60
C．30或150
D．60或120
5.已知非零向量,a b
满足
0
a
b
a
，则向量b
在向量a上的投影向量为（
）
A．2
a
B．
2
a
C．a
D．a
6.一艘渔船航行到A 处时看灯塔B 在A 的南偏东15，距离为12 6 海里，灯塔C 在A 的北偏东60，
距离为12 3 海里，该渔船由A 沿正东方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏西30方向，则
此时渔船距离灯塔C 为（
）海里
A．8 3
B．12 3
C．12 3
12
D．12
7.已知
7
(
,
)
6
6
且tan
tan 2
3cos2
1
tan 2
tan
，则cos(2
)
3
（
）
A．
3
2
B．
3
2
C．
3
2
D．
2
2
8.如图，在长方体
'
'
'
'
ABCD
A B C D
中，E ，F ，G 分别为棱AB ，BC ，
'
CC 的中点，点K 在
棱
'
AA 上．则下列说法正确的是（
）
A．若
,
,
,
K E F G 四点共面，则直线
'
,
,
D K DA FE 三线共点
B．K
，使得直线
'
D K 平面EFG
C．
K
，直线
'
D K 与直线EG 异面
D．与三直线
,
'
',
'
AB A D CC 同时相交的直线有无数条
二、多选题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9.下列关于多面体的说法错误
．．的是(
)
A．{x|x 是正棱锥}{x|x 是四面体}={x|x 是正四面体}
B．{x|x 是正棱柱}{x|x 是平行六面体}={x|x 是正方体}
C．有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台
D．存在八面体，其八个面都是等边三角形
10.已知i 是虚数单位，下列关于复数
2
1, z
z
的说法正确的是(
)
A．若
mi
m
m
z
2
2
1
(
m
R ) 是纯虚数，则
2
m
B．若
|
|
|
|
2
1
z
z
，则
2
2
2
1
z
z
C．若
2
1, z
z
是关于x 的实系数一元二次方程
2
2
0(
4
0)
x
px
q
p
q
的两根，则
2
1
z
z
D．若
|
|
|
2
2
|
1
1
z
i
z
，则
|
|
1z
的最小值为
2
11.如图，面积为4的扇形SAB 折成圆锥SO 的侧面后，,
A B 两点重合在C 点，扇弧上的P 点即圆锥底
面圆周上的P 点，CD为圆锥底面直径，且
14
SC SD
，设SP
xSA
ySB
，则下列说法正确的是
（
）
A．圆锥的高为4
B．当
30
ASP
时，
1
2
OP OC
C．当x
y
时，OP
CD
D．当4
3
x
y
取得最大值时，沿圆锥侧面从P 走到C 的
最短路程是4 10
5
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.把答案填在答题卡中的横线上）
12.设l 表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“
,
,
,
A
l B
l A
B
______.”.
13.函数
π
tan(
)
3
y
x
图象的一个对称中心为π
(
,0)
6
，且3
9
，则的值为______.
14.已知
ABC
的内角为A，B，C，满足10sin
11sin
B
C
，点
,
,
D E F 分别将边AB，BC，CA 分
成
:
3: 2,
:
1:1,
:
3:8
AD DB
BE EC
CF FA
的两部分，若
90
DEF
，则cos A ______.
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四、解答题（本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13 分）
已知某圆台的上底面半径为2 ，下底面半径为4 ，母线长为11 .
（1）求其体积；
（2）若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积.
16. （本题满分15 分）
如图，在梯形ABCD 中，
2
AB
DC
，
2
BE
EC
，
2
DC
FC
.
（1）用AB
，AD
表示AE
；
（2）若AE 与BF 交于点G ，用AB
，AD
表示AG
.
17.（本题满分15 分）
已知
sin(
)
f x
A
x
（
0
A
，
0
，
π
）的部分图象如下图所示．
（1）求函数
f
x 的解析式；
（2）将函数
f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
4 （纵坐标不变），再将所得的函数图象
上所有点向左平移π
6 个单位，得到函数
g x 的图象.
①若
(
0)
y
g x
x
的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相；
②求
1
y
g x
在区间
0,上的零点．
18.（本题满分17 分）
在
ABC
中，内角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且
sin
2sin
cos
2sin
c
A
B
A
a
A
，且
2 3
b
．
（1）求角B 的大小；
（2）D 为AC 边上的一点，BD 是角B 的平分线，且
2
BD
，求
ABC
的面积；
（3）若
ABC
为锐角三角形，求AC 边上的高的取值范围．
19. （本题满分17 分）
已知
ABC
内角A，B，C 所对的边分别为, ,
a b c ，外心为O ，内心为I，外接圆半径为R ，内切
圆半径为r .定义
R
r
为
ABC
的“偏离比”.
（1）若
2
AO AB
，
1
2
|
||
|
CI CA
CI
CA
，求R ；
（2）若
2
C
，求偏离比的取值范围；
（3）请在下列两问题中选择其一完成（两问题均做按第一个问题评分）.
问题一：
新信息一：三元均值不等式：若
0,
0,
0
x
y
z
，则
3
3
x
y
z
xyz
3
(
)
3
x
y
z
xyz
，当且
仅当x
y
z
时取等号；
新信息二：琴生不等式：若
,
,
(0, )
，则sin
sin
sin
sin(
)
3
3
，当且仅当
时取等号.
请将偏离比表示为只含有sin
,sin
,sin
A
B
C的代数式，并以此求的最小值.
问题二：
新信息：相交弦定理：某圆的两弦
,
AB CD 交于圆内一点P ，则AP PB
CP PD
.
请将OI 长度表示为只含有
,
R r 的代数式，并以此求偏离比的最小值.
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树德中学高2025 级高一下期阶段性测试数学参考答案
一、选择题：
1.C
2.B
3.C
4.A
5.C
6.D
7.A
8.D
二、选择题：
9.ABC
10.ACD
11.BD
三、填空题：
12.l
13. 5 和8
14. 5
8
四、解答题：
15.解：（1）设圆台高为h ，则
2
11
(4
2)
7
h
.则其体积为
2
2
1
28 7
(2
4
2 4)
7
3
3
V
.
（7 分）
（2）设球的半径为R ，由题意
3
3
4
28 7
7 7
7
3
3
R
R
R
.则其表面积为
2
4
28
S
R
.
（13 分）
16.解：（1）由图，
(
)
2
2
3
3
AE
AB
BE
AB
BC
AB
BA
AD
DC
1
2
2
1
2
2
3
3
3
2
3
3
AB
AB
D
A
AD
A
B
.
（7 分）
（2）设BG
BF
，则AG
AB
BG
AB
BF
3
3
1
4
4
AB
AB
AD
AB
AD
，
设AG
AE
，则
2
2
2
2
3
3
3
3
AG
AB
AD
AB
AD
，则
3
2
1
,
4
3
2
,
3
解得
4 ,
7
6 ,
7
所以
4
4
7
7
AG
AB
AD
.
（15 分）
注：几何法：添辅助线，由平几知识易得
6
7
AG
AE
，
所以由（1）得
6
6
2
2
4
4
7
7
3
3
7
7
AG
AE
AB
AD
AB
AD
.
坐标法：特殊化梯形建系利用坐标待定系数. 用以上方法答案正确，过程清楚均不扣分.
17.解：（1）由图象可知：
2
A
，最小正周期
4π
2π
2
4π
3
3
T
，
且
0
，可得
2π
1
2
T
，所以
1
( )
2sin 2
f x
x
，由图可得
π
π
2sin
2
3
6
f
，
则π
π
2 π,
6
2
k k
Z ，解得
2π
2 π,
3
k
k
Z ，
且|
| π
，可得
2π
0,
3
k
，所以
1
2π
( )
2sin
2
3
f x
x
.
（5 分）
（2）①由题易得
1
π
2π
π
2sin
4
2sin(2
)
2
6
3
3
g x
x
x
，所以对应简谐振动初相为
π
3
.
（10 分）
②
π
1
1
0
sin(2
)3
2
g x
x
,
5
0,
,
2
,
3
3
3
x
x
，
2
3
6
x
或5
6
，
4
x
或7
12
，所以
1
y
g x
在区间
0,上的零点为4
，7
12
．
（15 分）
18.解：（1）在
ABC
中，由正弦定理可得：
sin
2sin cos
sin
2sin
sin
c
A
B
A
C
a
A
A
，
由
0,π
A
得sin
0,
2sin
sin
2sin cos
A
C
A
B
A
，
2sin
sin
2sin cos
A
B
A
B
A
，∴2sin cos
2cos
sin
sin
2cos
sin
A
B
A
B
A
A
B
，
∴2sin cos
sin
A
B
A
，
sin
2cos
1
0
A
B
，
又sin
0
A
，
1
cos
2
B
，又
0,π
B
，所以
π
3
B
.
（5 分）
（2）由面积和
ABC
ABD
BCD
S
S
S
△
△
△
，得1
π
1
π
1
π
sin
2 sin
2 sin
2
3
2
6
2
6
ac
c
a
，即
2
3
ac
a
c
.
在
ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
π
2
cos 3
b
a
c
ac
，则
2
2
12
a
c
ac
，（由上易得8
12
3
ac
），
联立
2
2
2
3
12
ac
a c
a
c
ac
，得
2
2
8
0
ac
ac
4
ac
，
1
sin
3
2
3
△ABC
S
ac
.
（11 分）
（3）由正弦定理得
2 3
2
4
sin
3
2
b
R
B
，故
4sin ,
4sin
a
A c
C
，
故
π
16sin sin
16sin sin
8sin
sin
3cos
3
ac
A
C
A
A
A
A
A
2
1 cos2
π
8sin
8 3sin cos
8
4 3sin2
8sin 2
4
2
6
A
A
A
A
A
A
，
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由于
ABC
为锐角三角形，故
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
，故π
π
6
2
A
，
因此
π
π 5π
2
,
6
6
6
A
，
π
1
sin 2
,1
6
2
A
，
π
8sin 2
4
8,12
6
A
，因此8
12
ac
，
设AC 边上的高为h ，
1
1
sin
2
2
4
ABC
ac
S
ac
B
bh
h
△
，所以
2,3
h
.
注：若用几何意义，配图，并有详细文字说明可得满分，否则酌情扣分
（17 分）
19.解：过点O作
OD
AB ，垂足为H ，则H 为AB 的中点，由
2
2
2
2
AO AB
AO AH
AH
.
则|
| 1
|
| 2
AH
AB
.
1
2
cos
2
2
3
3
|
||
|
CI CA
ACI
ACI
ACB
ACI
CI
CA
.
由正弦定理：
|
|
2
4
2
2
3
2
2
sin
3
3
3
sin 3
AB
R
R
ACB
.
（4 分）
(2) 证明:由题意：
1
1
2
1
sin
cos
sin
cos
1
(
)
2
c
R
c
c
r
a
b
c
c
A
c
A
c
A
A
a
b
c
1
2 sin(
) 1
4
A
.
3
(0,
),
(
,
)
2
4
4
4
A
A
2
sin(
)
(
,1],
2 sin(
) 1
(0, 2
1]
4
2
4
A
A
，
[ 2
1,
)
.
另法：也可提前做第（3）问问题一，由求得的表达式得：
sin
sin
1
sin
cos
1
2sin sin
2sin
cos
A
B
A
A
A
B
A
A
，
并令
sin
cos
t
A
A
，换元求得取值范围；亦可直接由边的函数求范围，正确均给分.
（9 分）
（3）若选择问题一：
由面积和知
1
1
sin
2
2
r a
b
c
ab
C
1
sin
a
b
c
r
ab
C
.
由正弦定理
2
sin
c
R
C
2sin
c
R
C
.
代入上式即得
2
sin
sin
sin
2
sin
2sin sin sin
a b c c
R
A
B
C
r
ab
C
A
B
C
.
（12 分）
, ,
(0, ),sin
0,sin
0,sin
0
A B C
A
B
C
，由上式和新信息可得：
3
2
3
sin
sin
sin
3 sin sin sin
3
2sin sin sin
2sin sin sin
2(sin sin sin )
R
A
B
C
A
B
C
r
A
B
C
A
B
C
A
B
C
.
3
3
3
3
sin
sin
sin
3
sin sin sin
(
)
(sin
)
(sin
)
(
)
3
3
3
2
A
B
C
A
B
C
A
B
C
，
2
3
2
3
3
3
3
2
3
3
3
2[(
) ]
2(
)
2
2
2
R
r
，当且仅当
3
A
B
C
即
ABC
为等边三角形时取得最小值2.
（17 分）
若选择问题二：
如图：设
ABC
的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I ，过点I 作IF 垂直AC 于点F .
连接AI 并延长交圆O于点D ，连接DO 并延长交圆O于点E ，
因为I 为
ABC
的内心，所以AI 为
BAC
的平分线，得
BD
DC
，则
BED
DAC
.
所以Rt
EBD
△
和Rt
AFI
△
相似，得AI
IF
DE
BD
又
2
DE
R
，IF
r
，得2Rr
AI BD
.
连接IB ，则
ABI
CBI
，又
DBC
DAC
，
所以
ABI
DBC
CBI
DAC
，
即
DBI
DIB
，所以DI
BD
.得2Rr
AI DI
.
作直线OI 与圆O交于M ，N 两点，由新信息（相交弦定理）得：
2
2
AI DI
MI NI
MO
OI
NO
OI
R
OI
R
OI
R
OI
得
2
2
2Rr
R
OI
.即
2
2
2
2
2
OI
R
Rr
OI
R
Rr
. （15 分）
由
2
2
2
0(
0
0
,
0)
OI
R
Rr
R
r
，
2
0(
0
0)
，
R
r
R
r
2
R
r
.
当且仅当
0
OI
，即
ABC
外心，内心重合，即
ABC
为等边三角形时取得最小值2.（17 分）
附：部分试题教材溯源（以此告诉大家重视教材和基础）
试卷题号
教材出处
方式
试卷题号
教材出处
方式
9,10，12
《必修二》P79，例
6P125，等教材正文
直接
考
教材
7
《必修一》P228，15
略微改编
17（2）
《必修一》P243 正文
14 的若干
种解法之一
《必修二》P23,15
利用教材
中的
思想方法
19（1）条
件
《必修二》P23,7，P24，
24；P51,1
16
《必修二》P54,19
10 D
《必修二》P81,9
