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2025-2026 学年四川省内江市威远中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8 小题，共40 分。
1.复数z=i（2+3i），则|z|=（ ）
A. -3
B. 2
C.
D. 4
2.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 满足
，点F 为CD 的中
点，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.
3.在一个文艺比赛中，10 位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，
91，88，这组数据的第80 百分位数为（ ）
A. 88
B. 89
C. 90
D. 91
4.将函数y=sinx 的图象上所有的点向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍
（纵坐标不变），得到的图象的函数解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.设
，且
，
，则α+β=（ ）
A.
B.
C.
D.
6.在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c,△ABC 的面积记为S，且
，则
C=（ ）
A.
B.
C.
D.
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7.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2026 年2 月到该地旅游的
游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则
下列说法错误的是（ ）
A. 若调查的游客中青年人有225 人，则一共调查了500 人
B. 估计2026 年2 月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%
C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12 人，则中年人有21 人
D. 估计2026 年2 月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半
8.在直角三角形ABC 中，CA=CB=3，M，N 是斜边AB 上的两个动点，且
，则
取值范
围为（ ）
A. [4，6]
B.
C. [2，4]
D.
二、多项选择题：本大题共3 小题，共18 分。
9.已知i 为虚数单位，复数z 满足z（2-i）=3+4i,则（ ）
A. z 在复平面内对应的点在第一象限
B. z 的虚部为
C. |z|=5
D.
10.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与
几何的桥梁.若向量
满足
，则正确的是（ ）
A.
B.
与
的夹角为
C.
D.
在
上的投影向量为
11.在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c,a=4ccosB，则下列说法正确的是（ ）
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A. b2=a2+2c2
B. tanB=3tanC
C. 若△ABC 是直角三角形，则a=2c
D. 若△ABC 是锐角三角形，P 是线段AC 上一点，则
的最小值为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.向量
，若
，则实数λ 的值为 .
13.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B 两点，从A、B 两点
分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B 两点之间的距离为60m，则
树的高度为______．
14.在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a,b,c,已知a+b=8 且
，若△ABC 面积为4，则
tanC= .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13 分)
已知向量
.
（1）求
；
（2）若
，求实数k 的值.
16.(本小题15 分)
已知函数f（x）=
•
，向量
.
（1）求函数f（x）的周期及其单调递增区间；
（2）当
，求函数f（x）的值域.
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17.(本小题15 分)
某校100 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）估计这次考试的众数、平均数及78 分以上的人数.
18.(本小题17 分)
已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a,b,c,向量
，
，且
.
（1）求角A；
（2）若
，b=4，求△ABC 的面积；
（3）若a=6，求b+c 的最大值.
19.(本小题17 分)
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图
像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要
应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A（x1，y1），B
（x2，y2），则曼哈顿距离为：d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦相似度为：
，余弦距离为1-cos（A，B）.
（1）若A（-1，2），
，求A，B 之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离；
（2）已知M（sinα，cosα），N（sinβ，cosβ），Q（sinβ，-cosβ），若
，
，
求tanαtanβ 的值；
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（3）已知
，M（5cosα，5sinα）、N（13cosβ，13sinβ），P（5cos（α+β），5sin（α+β）），
若
，
，求M、P 之间的曼哈顿距离.
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1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】6
13.【答案】（30+30
）m
14.【答案】
15.【答案】
；
6．
16.【答案】T=π，f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）；
函数f（x）的值域为[-
，2]．
17.【答案】a=0.005 10，15 众数：75 分；平均数：76.5 分；47 人
18.【答案】
12
19.【答案】解：（1）
，
=
=
，则余弦距离等于
；
（2）
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=sinαsinβ+cosαcosβ=
①；
=
②，
则①+②得
，①-②得
，则
．
（3）∵
，
，
∴
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=cosβ=
．
∵
，∴
．
∵
，
∴
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=
．
∵
，则
，
∴
．
∵
，
，∴M（3，4）．
∵
，
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，
∴
．
∵
，
∴M、P 之间的曼哈顿距离是
．
