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内江市 2023~2024 学年度第二学期高一期末检测题
数学
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号､班级用签字笔填写在答题卡相应位置.
2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上.
4.考试结束后，监考人员将答题卡收回.
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 某高中生创新能力大赛中8位选手的面试得分分别为 ，其中位数和极差分别
为（ ）
A. 90，8 B. ， C. 91，9 D. ，
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事
互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多
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学科网（北京）股份有限公司B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
4. 已知函数 ，函数f (x)=Asin(ωx+φ)（其中 ， ， ）的部分图象如图
所示，要得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位
5. 内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，
后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，
象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两
个测量基点 与 与塔底 在同一水平面，并测得 米， ，在点
处测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 米 B. 米 C. 米 D. 60米
的
6. 在平行四边形 中， 是对角线 上靠近点 三等分点，点 在 上，若
，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲､乙､丙､丁､戊 人中随机选 人去参加“敬老院
志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有 人入选的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知向量 ，向量 的模长均为2，且 .若向量 ，且 ，则 的最
大值是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
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学科网（北京）股份有限公司题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按正确选项比例给分.
9. 已知向量 ，且 ，则（ ）
A.
B.
C. 向量 在向量 上的投影向量坐标是
D. 向量 与向量 的夹角是
10. 一个袋子中有5个球，标号分别为1，2，3，4，5，除标号外没有其他差异．从中有放回的随机取两次，
每次取1个球．记事件 “第一次取出的球的数字是1”，事件 “第二次取出的球的数字是2”，事件
“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A. 事件 和 互斥 B. 事件 和 相互独立
C. 事件 和 互斥 D. 事件 和 相互独立
11. 已知 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 若点 在边 上， 为角平分线且长度为 ，则
B. 若 为边 的中点，且 ，则 的面积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若 ，且 只有一解，则 的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某工厂生产了 三种不同型号的产品，数量之比为 ，现采用分层抽样的方法抽取36个产
品进行分析，已知 型号产品抽取了8个，则 型号产品被抽取的数量是__________.
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知 ， 是方程 的两个根，且 ， ，则 的值是
__________.
14. 已知函数 最大值为2，最小值为0，且函数图象过点
.若 在区间 上只有一个零点和两个最大值点，则 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，
更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，
满分100分（95分及以上为“文明之星”），结果获得“文明之星”的有100人，按年龄分成5组，其中第一
组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，得到如图所示的频率
分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求这100人年龄的众数和平均数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“创文”宣传使者.若从第四组和第五组
被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求第四､第五组各有一人被选上的概率.
16. 在 中，点 为线段 上靠近点 的三等分点，点 为 中点.
（1）以 为基底向量，分别表示向量 ；
（2）若向量 与 平行，求 的值.
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17 已知向量 ，函数 ，且
.
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值.
18. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，满足 .
（1）求角 的大小；
的
（2）若 ，求 面积 取值范围；
（3）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角
均小于 时，使得 的点 即为费马点.若 的面积为3，是否在
内部存在费马点 ，使得 为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请
说明理由.
的
19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人 工作，此
概念逐渐为数学家所接受.
材料：形如 的数称为复数的代数形式.而任何一个复数 都可以表示成
的形式，即 ，其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角，我们规定
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学科网（北京）股份有限公司范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 .复数 叫做复数的三角形式.
由复数的三角形式可得出，若 ，则
.其几何意义是把向量 绕点
按逆时针方向旋转角 （如果 ，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为
原来的 倍.
请根据所学知识，回答下列问题：
（1）试将 写成三角形式；
（2）设复数 ，且 .若复数 在复平面上对应的点分别为
，且 为复平面的坐标原点.向量 逆时针旋转 后与向量 重合，求实数 ， 的值；
（3）已知单位圆以坐标原点 为圆心，点 为该圆上一动点（纵坐标大于0），点 ，以 为边
作等边 ，且 在 上方.求线段 长度的最大值.
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学科网（北京）股份有限公司内江市 2023~2024 学年度第二学期高一期末检测题
数学
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号､班级用签字笔填写在答题卡相应位置.
2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上.
4.考试结束后，监考人员将答题卡收回.
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按正确选项比例给分.
【9题答案】
【答案】CD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】ABC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】12
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）众数27.5（岁），平均数 （岁）；
（2） .
【16题答案】
【答案】（1） ，
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【17题答案】
【答案】（1） ；
（2） .
【18题答案】
【答案】（1） ；
（2） ；
为
（3）存在，定值 0，理由见解析.
【19题答案】
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）最大值为3.
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