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格致课堂
6.2.4 向量的数量积
第 2 课时 向量的向量积
一、选择题
1．（2019·全国高二课时练习）有四个式子：① ；② ；③ ；④
.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由向量的加减与乘法运算知①②③正确，
对④，由于 ，故不一定正确，则正确的有3个
故选C
2．设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么
；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定
反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A.
3．（2019·全国高一课时练习）已知 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D． 或2
【答案】C
【解析】 .故选C.格致课堂
4．（2019·全国高一课时练习）已知 均为单位向量，且 ，则向量
的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设向量 的夹角为θ.因为| |＝| |＝1，
所以(2 ＋ )·( －2 )＝2－3 · ＝－3cosθ＝－ ，
即cosθ＝ ，θ＝ .
故选A.
5．（多选题）对于平面向量，给出下列四个命题：
A.命题p ：若⃗a⋅⃗b>0，则⃗a与⃗b的夹角为锐角；
1
B.命题p ：“|⃗a⋅⃗b|=|⃗a|⋅|⃗b|”是“⃗a//⃗b”的充要条件；
2
C.命题p ：当⃗a,⃗b为非零向量时，“⃗a+⃗b=0⃗”是“|⃗a+⃗b|=||⃗a|-|⃗b||”的必要不充分条件；
3
D.命题p ：若|⃗a+⃗b|=|⃗b|，则|2⃗b|≥|⃗a+2⃗b|。
4
其中的真命题是（ ）
【答案】B D
【解析】对于A，命题p ：当⃗a⋅⃗b>0时, 向量⃗a与⃗b的夹角可能为0,故为假命题；对于B，命题p ：
1 2
当 时 , 则向量 中至少有一个零向量或cos(⃗a,⃗b)=±1 故 ；当 时, 则
，
故为真命题；对于C，命题p ：当 时, 成立；当 ,向
3
量⃗a与⃗b为非零向量时,⃗a与⃗b反向, 未必有 ,故为假命题；对于D，命题p ：若
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|⃗a+⃗b|=|⃗b|,则|⃗a+2⃗b|=|(⃗a+⃗b)+⃗b|≤|⃗a+⃗b|+|⃗b|=2|⃗b|,故为真命题, ， 正确，故
选B，D.
6.（多选题）若 ( )是 所在的平面内的点，且 .
给出下列说法：
A. ；
B. 的最小值一定是 ；
C.点 、 在一条直线上；
D.向量 及 在向量 的方向上的投影向量必相等.
其中正确的说法是（ ）
【答案】CD
【解析】由 可得
，所以 ，由此可知点
在过点 垂直于 的直线上，所以“C.点 、 在一条直线上；D 向量 及 在向量
的方向上的投影向量必相等”是正确的.故选CD。
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）已知 ，且 与 垂直，则 与 的夹角为
_________.
【答案】格致课堂
【解析】 ，
，
，
，故答案为 .
8．（2019·全国高一课时练习）已知 ， 与 的夹角为 .若 与 的夹
角锐角，则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题意可知 .
又∵ ，
∴ 与 的夹角为锐角，∴ .
∵ ，∴ .
解得 或 .
当 时， 与 共线，其夹角不为锐角，
故 的取值范围是 .
故填： .
9.（2019·全国高一课时练习）若 ，则 ________.格致课堂
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，∴ .
∴ .
故填：
10．在 中， ， ，则∠BAC= ， 在
方向上的投影向量是__________．
90° C⃗A
【答案】
【解析】
ABC中，∵ ，
△
∴ ，
∴ ，
∠BAC=90°
∴ ； 。
又AB=3，AC=4，
4
RtΔABC中，BC=5,cos∠BCA=
在 5
C⃗A 4 C⃗A
|C⃗B|cos∠BCA =5× × =C⃗A
∴ 在 方向上的投影向量是 |C⃗A| 5 4
如图所示．格致课堂
故选：C．
三、解答题
11．已知 ， 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）求 为何值时， .
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
解得 ．
⃗a,⃗b
12．设 满足|⃑a|=|⃑b|=1，|3⃑a-2⃑b|=√7.
(1)求⃑a,⃑b的夹角；
(2)求|3⃑a+⃑b|.
π
【答案】(1)θ= . (2)|3⃑a+⃗b|=√13.
3
【解析】(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，
1 1 1
∴a·b＝ ，∴|a||b|cos θ＝ ，即cos θ＝
2 2 2
π
又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角为 .
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(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
∴|3a＋b|＝√13..
