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新高考地区高二期末考试模拟试题二
第I卷（选择题）
一、单选题
1．在等比数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】A
【分析】根据 求出 ，再根据 可得答案.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 ，可得q＝2，所以 .
故选：A.
2．已知直线 l： 和圆C： 交于A，B两点，则弦 AB所对的圆心角的大小为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弦长公式可得弦长，根据 的边长关系，确定圆心角的大小.
【详解】由圆C： ，可得 ，圆心 ，半径为 ，
又直线l： ，
所以 ，又 ，
所以 ，圆心角 ，
即弦 AB 所对的圆心角的大小为 .
故选：C.
3．已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据离心率求出 即可求渐近线方程.
【详解】由双曲线的离心率为 ，得 ，
所以 ，又双曲线 的渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，即 ．
故选:A．
4．已知直线 是圆 ： 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点
为 ，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解 ，求出 的坐标，画出示意图，利用勾股定理求解 即可．
【详解】解：圆 即 ，圆心为 ，半径为 ，
由题意可知 过圆的圆心 ，
则 ，解得 ，点 的坐标为 ，
作示意图如图所示：
，切点为 ，则 ，
所以 ．故选：B．
5．已知过抛物线 的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A，B两点，Q为弦 的中点，P为C
上一点，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求
解作答.
【详解】抛物线 ，焦点 ，准线 ，直线AB的方程为 ，
由 消去y并整理得： ，设 ， ，则 ，
弦 中点Q的横坐标 ，过点 作准线l的垂线，垂足为点 ，
令 交抛物线于点P，在抛物线上任取点 ，过 作 于点 ，连接 ，
即有 ， ，
当且仅当点 与P重合时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
6．已知正四棱柱 的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为 ，M为BC的中点，
则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据正四棱柱与外接球的关系，求得四棱柱的高，再以点 为原点，建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用向量公式求点到平面的距离.
【详解】设正四棱柱的高为h，由其外接球的表面积为 ，可知 ，外接球半径为 ，
所以 ，得 ．
以D为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，可取 ，
则点 到平面 的距离为 ．
故选：D
7．已知等比数列 满足 ， ，若 ， 是数列 的前 项和，对任意 ，不
等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题首先可根据 、 得出 ，然后根据 得出 ，再然后根据错位相减法求出 ，最后根据题意得出对任意 不等式 恒成立，根据
即可得出结果.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
则 ， ，
，
对任意 不等式 恒成立，即对任意 不等式 恒成立，
因为 ，所以 ， 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和
方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题.
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离
心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义及 可以列出关于 ， 的方程，再利用均值定理即可得到的最小值
【详解】设椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ，
， ，（ ） ，
则 ，解之得
又
则
则 ，则
则 ，则
（当且仅当 时等号成立）
则 的最小值为
故选：B
二、多选题
9．等差数列 的前 项和为 ，若 .则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．数列 是递减数列
D．使 的 的最大值为15
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的前n项和的定义求出 ， ， ，由等差数列的性质可判断ABC，再由数列的求和公式判断D.
【详解】由 可知， ， ， ，即 ，
由等差数列性质知 ，故A正确；
由 ，所以 ，故B正确；
又数列 为等差数列，所以 ，即数列 为递减数列，故C正确；
因为 ，故D错误.
故选： ABC
10．已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当 时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C．圆C与曲线 恰有三条公切线，则
D．当 时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点
【答案】CD
【分析】对A将直线化成 ，则 ，解出即为定点；对B直接计算圆
心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B，对C，直接将 代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，
对D，设点 ，利用两点直径式方程写出以 为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦
所在直线方程，化成关于参数 的方程，即可求出定点坐标.
【详解】由直线 : , ,整理得: ,故 ,解得 ,即经过定点 ,故A错误;
当 时,直线 为 ,
圆心 到直线 的距离
故圆 上有四个点到直线 的距离都等于1,故B错误;
圆 ,其半径 ，
圆 ,
当 时, ,整理得
，其半径
圆心距为 ，
故两圆相外切,恰有三条公切线,故C正确;
当 时,直线 的方程为 ,
设点 ,圆 的圆心 ,半径为 ,
以线段 为直径的圆 的方程为:
,
即 ,
又圆 的方程为 ,
两圆的公共弦的方程为
整理得 ,即 ,解得 ,即直线 经过点 ,故D正确.
故选：CD.
11．在长方体 中， ，点 满足 ， .下
列结论正确的有（）
A．若直线 与 异面，则
B．若 ，则
C．直线 与平面 所成角正弦值为
D．若直线 平面 ，则
【答案】ACD
【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：
对于A：若直线 与 异面，则 ，则 ，故A正确；对于B：若 ， ，
，故B错误；
对于C： ，设平面 的法向量为
则 ，即 ，取
直线 与平面 所成角 满足
，故C正确；
对于D：设平面 的法向量
，即 ，取
若直线 平面 ，则
，故D正确；
故选：ACD
12．已知抛物线 的准线 与 轴相交于点 ，过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线
相交于 两点，且 两点在准线上的投影点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 为定值 D．
【答案】ABD
【分析】由焦点到准线的距离可得 的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线 的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长 的表达式，再由参数的范围
可得其最小值，判断B正确；分别表示出 可判断C不正确；表示出 ，
，由 可判断D正确．
【详解】对于A，因为抛物线 的准线 ，
所以 ，则 ，故A正确；
对于 ，抛物线 ，过焦点的直线为 ，则 ，
整理可得 ，设 ，
可得 ， ，
，
所以 ，当 时取等号，
最小值为4，所以 正确；
对于C， ，
所以
所以 ，所以C不正确；对于D， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．数列 满足 ，则数列的第2022项为___________.
【答案】 ##0.2
【分析】根据递推关系可通过计算前面 ，发现数列 是周期为4的周期数列，进而由周期
性即可求解.【详解】由 ， 得 ，
， ， ， ， ，
故数列 是周期为4的周期数列，故 ，
故答案为：
14．已知 ， 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且
，则四边形 的面积为__________．
【答案】4
【分析】根据题意分析可得 ，利用勾股定理结合椭圆定义求 ，进而可求四边形
的面积.
【详解】由椭圆 可得： ，
由题意可得： ，则 为平行四边形，
∵ ，则 ，
∴ ，则 ，
又
，∴ ，
则四边形 的面积 .
故答案为：4.15．在直三棱柱 中， ， ， ， ， ，则异面
直线 与 夹角的余弦值为______．
【答案】
【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出 与 的坐标，利用向量法解决.
【详解】
由已知可得， 两两垂直，可如图建立空间直角坐标系.
则， ， ， ， ，
由 可得， ，
则 ，
， ， ，
，所以， .
所以，异面直线 与 夹角的余弦值为 .
故答案为： .
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与C的右支交于A，B
两点，若 ， ，则C的离心率为______.
【答案】 ##
【分析】设 的中点为 ，连接 ， ，由题意可得 ， ，由双曲线的定
义可得 ， ， ， ， ，
，在 和 中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出
的关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】解：如图：设 的中点为 ，连接 ， ，因为 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
在 中， ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
整理可得 ，即 ，
所以 ，
所以 或 （舍），
所以离心率 ，
故答案为： .
四、解答题
17．若 是公差不为0的等差数列 的前 项和，且 ， ， 成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）等差数列通项公式和求和公式列方程求解；
（2）利用裂项相消法 ，可求和.
【详解】（1）根据题意，设等差数列 公差为 ，
因为 ， ， 成等比数列， ，
所以 ，
整理得： ，
解得 .
故 .
（2）由（1）得： ，
.
18．如图，直三棱柱 中， ， ，E是BC中点.(1)若棱 上存在一点M，满足 ，求AM的长；
(2)求直线BC与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)存在，且
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用 求得 .
（2）根据向量法求得直线BC与平面 所成角的余弦值.
【详解】（1）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，
，设 ，
,
若 ，则 ，
则棱 上存在一点M，满足 ，且 .
（2） ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 ，
设直线BC与平面 所成角为 ，
，所以 .
即直线BC与平面 所成角的余弦值为 .19．已知抛物线C： 的焦点为F， 是抛物线C上的点，且 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且 的中点为 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出 即可.
（2）用横截式设出直线 的方程以及 的坐标，联立直线与抛物线方程，得到 及韦达定理，
再利用线段 的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段 的长度，用点到直线的距离
公式求出点 到直线 的距离，进而可求出 的面积.
【详解】（1）由抛物线的定义知 ，解得 ，则抛物线的方程为
故：答案为 .
（2）由线段 的中点为 知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 ， ，联立直线与抛物线方程，
有 ，即 ，所以有 ，
且 ，则所以 ，即
所以直线 ， ，
点 到直线 的距离 .
所以 .
故：答案为 .
20．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， 分别是线
段 的中点，二面角 为直二面角.
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先证明 ，然后证明 平面 ，可得 ，即可证明；
（2）首先证明 平面 ，然后以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，设 ，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得
答案.
【详解】（1）连接 ，由题设知四边形 为菱形， ，
分别为 中点， ；
又 为 中点， ，
因为二面角 为直二面角，
即平面 平面 ，平面 平面 平面
平面 ，又 平面 ；
又 平面 平面 .
（2） ，
为等边三角形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 ，
则以 为坐标原点， 所在直线为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ，
设 ，则 ，
；
由（1）知： 平面 平面 的一个法向量 ；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ；
，
令 ，则 ；
，即锐二面角 的余弦值的取值范围为 .
21．已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，证明 是等差数列；
(3)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 的通项公式；
（2）由已知条件变形可得出 ，令 可求得 的值，令 ，由
可得 ，两式作差结合等差中项法
可证得结论成立；
（3）推导出 ，利用不等式的基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为 ， ，则 且 ，
所以，数列 是等比数列，且该数列的首项和公比均为 ，
， .
（2）解：对任意的 ， ，所以， ，
当 时， ，解得 ；
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，即 ，
所以， ，故 ，
化简可得 ，因此，数列 为等差数列.
（3）解： ，所以， ，
，
所以， .
因此，对任意的 ， .
【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出 ，再利用数列
求和结合不等式进行推导，从而证得结论成立.
22．双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，过点 且垂直于 轴的直线 与该双曲线
交于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动点 ， 在曲线 上，已知点 ，直线 ， 分别与 轴相交的两点关于原点对称，点在直线 上， ，证明：存在定点 ，使得 为定值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用代入法，结合直线斜率公式进行求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数关系，结合垂直直线的性质进行求解即可.
【详解】（1）当 轴时，把 代入双曲线方程中，得 ，
设 ， ，
，
所以 ，得 ，
所以 的方程： ；
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ，
，整理得 ，
则 ， ， ，
直线 ， 分别与 轴相交的两点为 ， ，
∴直线 方程为 ，
令 ，则 ，同理 ，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ， 分
当 时， ，
此时直线 方程为 恒过定点 ，显然不可能，
∴ ，直线 方程为 ，恒过定点
∵ ，设 中点为 ，∴
∴ 为定值，∴存在 使 为定值 ．
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
