文档内容
2024～2025 学年度第二学期期中学业水平诊断
高一数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区
书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 已知复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，解得
所以 ，所以复数 的虚部为 .
故选：B.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B【详解】由 ，
因为 ，所以上式 ，
故选：B.
3. 在平面直角坐标系中，已知 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由已知得：
根据 在 投影向量公式可得：
，
故选：C.
4. 在 中， ，M是AN上一点，且 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为 三点共线，设 ，
又因为 ，可得
，
因为 ，可得 ，可得 .
故选：D.
5. 斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已
知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角 （如图2），主塔AB的高度
为h，则 间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】在 中， ，
在 中， ，所以
，
故选：A．
6. 若函数 在 上的最小值为 ，则t的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由 ，可得 ，
因为 ，
要使得 上 最的小值为 ，则满足 ，
解得 ，所以 ，所以 的最大值为 .
故选：D.
7. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题得 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
所以 ，
故选：C．
8. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，
边上的中线 相交于点P，且 ，则四边形 的面积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【详解】由 ，结合正弦定理边化角得： ，
因为 ，所以上式化为 ，再由内角和为 可化为 ，
利用三角恒等变形得： ，因为 ，所以 ，
即上式变形为 ，又因为 ，所以 ，再由余弦定理得：
即 ，解得 ，
可得 或 ，因为 ，所以 ，
则 的面积为 ，
因为 边上的中线 相交于点P，所以点P是 的重心，
即 ， ，
由 ，所以 ，
即四边形 的面积为 ，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若向量 满足 且 ，则
B. 对于任意向量 ，都有C. 对于任意向量 ，都有
D. 若向量 共线，则存在实数 ，使得
【答案】BC
【详解】对于A，若 ，则 ，
若 ，则 ，显然 ，故A错误；
对于B， ，因为 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，根据向量三角不等式， ，故C正确；
对于D，若 ，则不存在实数 ，使得 ，故D错误；
故选：BC．
10. 函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 在 上单调递减C. 函数 在 上恰有6个零点
D. 若 ，在 上有n个不同的解 ，则
【答案】ABD
【详解】
由图象可得： ，
因为 ，由 ，可得 ，
所以 ，再代入最高点 可得：
，即
因为 ，所以 ，即 ，
对于A，当 时， ，故A正确；
对于B，当 ，则 ，满足正弦函数的递减区间，故B正确；
对于C，当 ，则 ，根据正弦函数在该区间内有 个零点，故C错误；对于D，当 ，作图分析可知;
方程 在 上存在四个解，可知它们分别关于直线 对称，
即有 所以有
即 故D正确；
故选：ABD.
11. 已知 的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则下列说法正确的有（
）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A中，由余弦定理得 ，
因为 ，可得 和 ，可得 ，
又由正弦定理，可得 ，即 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，
可得 ，解得 ，
因为 ，所以 或 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，且 ，可得 ，所以 ，
因为 ，由正弦定理 ，可得 ，
又由 ，
所以 的面积为 ，所以C正确；
对于D中，由 ，可得
可得 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，即 ，等号成立，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 ，且 ，则 _________．【答案】
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
故答案为： ．
13. 已知 ，则 _________.
【答案】
【详解】由 ，可得 ，
因 为 ，可得 ，
又由
.
故答案为： .
14. 如图，在四边形ABCD中， ， ，设 .
①当 时，BF的长为______，②四边形BFDE面积的最大值为__________.【答案】 ①. ②.
【详解】解：由 ，且 ，
所以 为 的中点，且 为 的平分线，
因为 ，可得 ，
所以 ，
则 ，
所以 .
由 ，可得 ，且 ，
所以 ， ，
因为 为 的中点，可得 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，则 ，当 时，即 时，可得 的最大值为 .
四、解答题.本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数 .
（1）若 为纯虚数，求复数 的值；
（2）若 为虚数且在复平面内对应的点在直线 上，求 的值.
【答案】（1） ;
（2） .
【小问1详解】
由 为纯虚数，
可得 ，解得 ，此时 ，
则 .
【小问2详解】
由 为虚数且在复平面内对应的点在直线 上，
则 ，解得 或 ，
由于 为虚数，所以 舍去，故 则 ，
则 .
的
16. 一条东西方向 河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东 .河南岸有一码头A，码头A正
对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为 .
（1）求货船航行速度的大小；
（2）若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
以 为坐标原点，以东向方向为 轴，以垂直对岸的方向为 轴建立直角坐标系如图所示.
货船从码头 航行到货站 的最短路径要求合速度方向由 指向 .
设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即 ,
合速度为水流速度与船速的矢量和：
由题意，合速度方向与向量 同向，且大小为 .
设合速度为 ，则：
因此，合速度为 .
联立方程：
货船速度大小为：
【小问2详解】
货船要垂直到达正对岸 ，需使合速度的东向分量为0.设船速为 ，则：
由（1）知船速大小为 ，故：
合速度的北向分量为 ，河宽 ，所需时间为：
17. 已知函数 图象的相邻两条对称轴间的距离为 .
（1）求 的值及函数 的单调递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），
得到函数 的图象，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】（1） ;
（2）
【小问1详解】
由 ，
由其图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，可知最小正周期为 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由 ， ，解得 ， ，所以函数 的单调递增区间为 ， .
【小问2详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度可得， ，
再把各点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，
即 ，
对任意的 ，有 ，此时 ，
此时有 ，
要使得不等式 恒成立，则只需要满足 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围这 .
18. 在 中，内角 所对的边分别为a，b，c.从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个
条件分别解答，按第一个解答计分.① ；② .
（1）求角B；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【小问1详解】选①：
由 ，利用正弦定理边化角得： ，
因为 ，所以有 ，
可得 ，
因为 ，所以 ；
选②：
由 ，利用正弦定理边化角得： ，
因为 ，所以有 ，
可得： 因 为，所以 ，且 ；
【小问2详解】
若 ，求 的取值范围.
用正弦定理边化角可得：
，
因为 ，所以 ，即 ，则 ，所以 ，即 ，
则 .
19. 在 中， .
（1）求 ；
（2）若 的面积为18， 的平分线与边BC交于点D，求AD的长.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：在 中，可得 ，
所以 ，
且 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，所以 .【小问2详解】
解：由 的面积为18，可得 ，所以 ，
因为 ，且 ，可得 为锐角，所以 ，
又由 ，
所以 ，
由正弦定理，可得 ，即 ，
联立方程组 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
又因为 的平分线与边BC交于点D，设 ，
因为 ，所以 ，
即 .
