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期中测试卷 03
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．已知两个非零向量 ， ，则这两个向量在一条直线上的充要条件是
( )。
A、
B、
C、
D、存在非零实数 ，使
2．已知焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为( )。
A、
B、
C、
D、
3．若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
4．点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A、
B、
C、
D、
5．若 、 分别为直线 与 上任意一点，则 的最小值为( )。
A、B、
C、
D、
6．已知椭圆 ： ( )的左焦点 ，过点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的
弦长为 ，则椭圆的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
7．已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过 作抛物线
的切线，切点为 ，若点 恰好在以 、 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
8．如图所示， 是棱长为 的正方体， 、 分别是棱 、 上的动点，且 。
当 、 、 、 共面时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为( )。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知经过点 和点 的直线 与经过点 和点 的直线 互相
垂直，则实数 ( )。
A、
B、
C、
D、
10．已知椭圆 ： ( )的左右焦点分别 、 ，过 且斜率为 的直线交椭圆 于 、
两点，若 为直角三角形，则该椭圆 的离心率 ( )。
A、
B、
C、
D、
11．下列命题中不正确的是( )。
A、若 、 、 、 是空间任意四点，则有
B、若 ，则 、 的长度相等而方向相同或相反
C、 是 、 共线的充分条件
D、对空间任意一点 与不共线的三点 、 、 ，若 ( )，则 、
、 、 四点共面
12．已知 、 是双曲线 ( ， )的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近线的垂线，垂
足为点 ，交另一条渐近线于点 ，且 ，则该双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．动点 与定点 、 的连线的斜率之积为 ，则点 的轨迹方程是 。14．过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 ： 和圆 ： (
)作切线，切点分别为 、 ，若 的最小值为 ，则 。
15．如图所示， 是正四棱锥， 是正方体，其中 ， ，则点 到
平面 的距离为 。
16．如图所示，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且依次交抛物线及圆
于 、 、 、 四点，则 的最小值为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知两圆 ： 和 ： 。
(1)求证：圆 和圆 相交；
(2)求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。18．（本小题满分12分）
如图，已知 的边 所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边
所在直线上且满足 。
(1)求 边所在直线的方程；
(2)求 外接圆的方程；
(3)若动圆 过点 ，且与 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程。
19．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱 中，底面 为正三角形， 在底面 上的射影是棱 的中点 ，
于 点。
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值。20．（本小题满分12分）
椭圆 ： ( )的长轴长等于圆 ： 的直径，且 的离心率等于 。直线 和
是过点 且互相垂直的两条直线， 交 于 、 两点， 交 于 、 两点。
(1)求 的标准方程；
(2)当四边形 的面积为 时，求直线 的斜率 ( )。21．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱 中，四边形 为菱形， ， 平面 平
面 ， ， ， 为 的中点。
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的大小。
22．（本小题满分12分）
已知椭圆 ，抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和 的顶点均为原点 ，从 、 上分别取两个
点，将其坐标记录于下表中：(1)求 、 的标准方程；
(2)若直线 ： ( )与椭圆 交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点
，求实数 的取值范围。
