文档内容
期中押题模拟卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．三棱锥 中， 是棱 的中点，若 ，则 值为
（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
【答案】A
【解析】解:由题可知, ,由向量线性运算得，
即 ,
所以, ,则 .
故选：A.
2．直线 与圆 相切，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据题意，得
圆 的圆心为 ，半径为 ，由直线与圆相切，得 ，
即 ，故 .
故选：B.
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司3．“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，且 ，
解得 或 ，
故 是直线 与直线 平行充分不必要条件，
故答案选:A
4．已知圆 关于直线 （ ， ）对称，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，依题意，点 在直线 上，
因此 ，即 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 的最小值为9.
故选：B.
5．如图，在正四棱柱 中， 是棱 的中点，点 在棱 上，且
.若过点 的平面与直线 交于点 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为坐标原点，以 ， ， 的方向分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ，
设 ，则 .
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 ，即 ，即 ,解得 ，故 .
故选：A
6．直线 关于点 对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【解析】设直线 关于点 对称的直线上任意一点 ，
则 关于 对称点为 ，
又因为 在 上，
所以 ，即 。
故选：B
7．在棱长为 的正方体 中， 分别是 的中点，下列说法错误的是（ ）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司A．四边形 是菱形 B．直线 与 所成的角的余弦值是
C．直线 与平面 所成角的正弦值是 D．平面 与平面 所成角的正弦值是
【答案】C
【解析】分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，
， ， ， ，
， ， ，所以 是平行四边形，由正方体知
，因此 为菱形，A正确；
， ，
，B正确；
，设平面 的一个法向量为 ，
由 得： ，取 ，则 ，即 ，
，
，
直线 与平面 所成的角正弦值是 ，C错；
平面 的一法向量是 ，
，
平面 与面 所成角的所以的余弦值为 ，其正弦值为 ，D正确．
故选：C.8．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O： ，则下列结论正确的是（ ）
A．过点P与圆O相切的直线方程为
B．过点P的直线与圆O相切于M，N，则直线MN的方程为
C．过点P的直线与圆O相切于M，N，则|PM|=3
D．过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若∠AOB=90°，则直线m的方程为 或
【答案】D
【解析】对于A：当直线 的斜率不存在时，则直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，所
以 是过点 的圆的切线，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，
过点 的圆的切线方程为 或 ，故A错误，
对于B; 在以 为圆心，以 为直径的圆 ，
直线 为圆 与圆 的公共弦，
两圆方程相减得： ，即直线 的方程为 ，故B错误，
对于C; ， ，故C错误，
对于D：过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 ，
圆心到直线的距离 ，
显然直线的斜率存在，设直线方程为 ，即 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，解得 或7，
直线方程为 或 ，故D正确，
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．直线l过点 且斜率为k，若与连接两点 ， 的线段有公共点，则k的取值可以为
（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】AD
【解析】要使直线l与线段AB有公共点，则需 或 ，
而 ， ，所以 或 ，
所以k的取值可以为 或4，
故选：AD
10．已知空间中三点 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
【答案】AB
【解析】易得 ， ， ， ，A正确;
因为 ，所以 ，B正确，D错误;
而 ，C错误.
故选: AB.
11．已知圆 与圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆 与 轴相切，则
B．若 ，则圆C 与圆C 相离
1 2
C．若圆C 与圆C 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
1 2
D．直线 与圆C 始终有两个交点
1
【答案】BD
【解析】因为 ， ，对A，故若圆 与x轴相切，则有 ，故A错误；
对B，当 时， ，两圆相离，故B正确；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程 ，故C错误；
对D，直线 过定点 ，而 ，故点 在圆
内部，所以直线 与圆 始终有两个交点，故D正确.
故选：BD
12．如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为棱 ， 的中点， 为面对角线
上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．线段 上存在点 ，使 平面
C．线段 上存在点 ，使平面 平面
D．设直线 与平面 所成角为 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】易得平面 平面 ，所以 到平面 的距离为定值，又 为定值，所以三
棱锥 即三棱锥 的体积为定值，故A正确．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司对于B, 如图所示, 以 为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴, 建立空间直角坐标系, 则
， , ， ， ，
所以 ， ， ，
设 （ ），则
所以 ，
平面 即
解之得
当 为线段 上靠近 的四等分点时， 平面 .故B正确
对于C，设平面 的法向量
则 ，取
得
设平面 的法向量 ,
则
取 , 得 ,
平面 平面设 , 即 ,
解得 ， ，不合题意
线段 上不存在点 , 使平面 //平面 ，故C错误．
对于D，平面 的法向量为
则
因为
所以
所以 的最大值为 ．故D正确．
故选：ABD
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.
【答案】 或
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①直线过原点，又由直线经过点 ，此时直线的方程为 ，即 ；
②直线不过原点，设其方程为 ，
又由直线经过点 ，则有 ，解可得 ，
此时直线的方程为 ，
故直线l的方程为 或 .
故答案为： 或 .
14．已知四棱柱 的底面 是正方形，底面边长和侧棱长均为2，
，则对角线 的长为________．
【答案】
【解析】由题可知四棱柱 为平行六面体， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司所以
，
所以 .
故答案为： .
15．已知圆 上有且仅有四个点到直线 的距离为1，则实数c的取值范围是______．
【答案】
【解析】由圆的方程知其圆心为 ，半径 ，
设圆心到直线 的距离为 ，则 ；
圆上有且仅有四个点到直线 的距离为 ，则 ，
解得： ，
所以实数c的取值范围是 .
故答案为： .
16．如图，在正方体 中，M为线段 的中点，N为线段 上的动点，则直线 与
MN所成角的正弦值的最小值为________．
【答案】
【解析】以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 ，0， ， ， ,则 ，
因为 为线段 上的动点，
所以不妨设 ，则得 ， ， ，
所以 ，
则 因为 ， ，所以
，进而
所以， ，故当 最大值 时，
最小，且最小值为
所以直线 与直线 所成角正弦值的最小值为 ．
故答案为: .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）.
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ.
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
【解析】（1）设Q（x，y），由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，可得kMN×kPQ＝﹣1 即
（x≠3）①由已知得kPN＝﹣2，又PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即 （x≠1）②联立①②求解得x＝
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司0，y＝1，∴Q（0，1）；
（2）设Q（x，0），∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝﹣kNP，又∵kNQ ，kNP＝﹣2，∴ 2 解得
x＝1，∴Q（1，0），又∵M（1，﹣1），∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°.
18．（12分）
在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA＝∠DAA ，AC ．
1 1 1 1 1 1 1
(1)求侧棱AA 的长；
1
(2)M，N分别为DC ，C B 的中点，求 及两异面直线AC 和MN的夹角．
1 1 1 1 1
【解析】（1）设侧棱AA＝x，
1
∵在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠AAD＝∠AAB＝60°，
1 1 1 1 1 1
∴ 1， x2， • 0， • ， • ，
又∵ ，
∴ 2＝（ ）2 2 • 2 • 2 • 26，
∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，
即侧棱AA＝4．
1
（2）∵ ， （ ），
∴ （ ）•（ ） （ • • ） （1﹣1+2﹣
2）＝0，
∴两异面直线AC 和MN的夹角为90°．
1
19．（12分）
已知圆 ．
(1)直线 过点 ，且与圆C相切，求直线 的方程；
(2)设直线 与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求 的面积S的最大值．
【解析】（1）由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线 与圆C相切，得 ，解得 ，所以直线 的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，显然与圆C相切．
综上，直线 的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）由题意得圆心C到直线 的距离 ，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以 ，
点P到直线 距离的最大值为 ，
则 的面积的最大值 ．
20．（12分）
如图，在直三棱柱ABC -ABC中，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA＝6，点E，F分别为CA ，AB的中点．
1 1 1 1 1
(1)求直线EF与直线BF所成角的余弦值；
1
(2)求直线BF与平面AEF所成角的正弦值．
1
(3)求平面CEF与平面AEF的夹角的余弦值．
【解析】（1）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司则 ，
，
即直线EF与直线BF所成角的余弦值为 .
1
（2）由（1）知， ， ，
设平面AEF的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
设BF与平面AEF所成角为 ，
1
则直线BF与平面AEF所成角的正弦值为 .
1
（3）由（1）知 ， ，
设平面CEF的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ，
，
，
所以平面CEF与平面AEF的夹角的余弦值为 .
21．（12分）如图1，平面图形 由直角梯形 和 拼接而成，其中 ， ，
， ， ， 与 相交于点 ，现沿着 将其折成四棱锥 （如
图2）．
(1)当侧面 底面 时，求点 到平面 的距离；
(2)在（1）的条件下，线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵ ， ，∴ ．
如下图所示，连接 ，则 ,
所以 ，
所以 ，
结合折叠前后图形的关系可知 ，故四边形 为正方形，
∴ ，即 为 的中点，∴ ，∴ ．
∵侧面 底面 ，侧面 底面 ，
∴ 平面 ，
易知 ， ， 两两垂直．
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ，
则 为平面 的一个法向量，
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（2）假设存在满足题意的点 ，且 （ ）．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
设平面 的法向量为 ，
又∵ ， ，
∴ ，
取 ，则 ， ，
取 为平面 的一个法向量．
易知平面 的一个法向量为 ，
∵二面角 的余弦值为 ，
∴ ，
化简，得 ，
解得 或 （舍去）．
∴线段 上存在满足题意的点 ，且 ．
22．（12分）
已知点 到 的距离是点 到 的距离的2倍.（1）求点 的轨迹方程；
（2）若点 与点 关于点 对称，点 ，求 的最大值；
（3）若过 的直线与第二问中 的轨迹交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在点 ，使
恒为定值?若存在，求出点 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设点 ，由題意可得 ，即 ，
化简可得 .
（2）设 ，由(1)得 点满足的方程 ，
又点 是点 与点 的中点，则 ，代入上式消去可得 ，即 的轨迹为 .
令 ，则 ， 可视为直线 在y轴上的截距，
的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，由
直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，
所以 ， ，所以 .
因此 的最大值为138.
（3）存在点 ，使得 为定值 .
当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 ，显然 ，
设 ， 则 ， ，
又 ， ，
则
要使上式恒为定值，需满足 ，解得 ，此时 ， 为定值 .
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司当直线 的斜率不存在时， ， ，由 可得 .
所以存在点 ，使得 为定值 .学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司
