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期中押题测试卷
学校： 班级： 姓名： 得分：
考试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章
一、单选题（每小题5分，共8小题，总计40分）
1．已知集合 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 的最大值为1，
故选：C.
2．设全集为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为全集为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
3．已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 或 ，
学科网（北京）股份有限公司所以解集为 ，
又因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以 是 的真子集，所以 ，
故选：C.
4．关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当 时，不等式为 恒成立， ；
当 时，不等式可化为： ，
， （当且仅当 ，即 时取等号）， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：B.
5．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论
错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
【答案】C
【详解】由题意，不等式 的解集为 ，
可得 ，且方程 的两根为 和 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以A正确；因为 ， ，所以 ，可得 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，所以B正确；由
，
当且仅当 时，即 时取等号，所以 的最小值为 ，所以C错误；
由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，所以D正确．
故选：C．
6．已知函数 ，且 ，则 （ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
【答案】A
【详解】 ,
.
,解得 ．
故选：A.
7．若函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当a=0时，函数 在R上单调递增，
所以 在 上单调递增，则a＝0符合题意；
当 时，函数 是二次函数，又 在 上单调递增，
由二次函数的性质知， ，解得 .
综上，实数a的取值范围是 ,
故选:A.
8．已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都
有 ，不等式 的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于 ，
令 则 ，即 ，
则 ，
由于 ，则 ，
即有 ，
由于对于 ，都有 ，
学科网（北京）股份有限公司则 在 上递减，
不等式 即为 ．
则原不等式即为 ，即有 ，
即有 ，即解集为 ．
故选：D．
二、多选题（每小题5分，共4小题，总计20分）
9．下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．函数 的最小值为2
C．若 ，则 的最大值为2
D．若 ， ，且 ，则 的最小值为4
【答案】AC
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所
以A正确，对于B，若 ，则 ，所以B错误，对于C，由 ，得 ，令
，则
，
因为 ，所以 ，所以 的最大值为2，所以C正确，
对于D，因为 ， ，且 ，所以
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以由对勾函数的性质可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，所以D错误，
故选：AC
10．已知幂函数 ，则（ ）
A． B．定义域为
C． D．
【答案】AC
【详解】 为幂函数， ，得 ，A对；
函数 的定义域为 ，B错误；
由于 在 上为增函数， ，C对；
， ，D错误，
故选：AC.
学科网（北京）股份有限公司11．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． 与
【答案】CD
【详解】对于选项A， ， ，对应法则不同，故不是同一函数，选项A错误；
对于选项B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不
相同，故不是同一函数，选项B错误；
对于选项C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故是同一函
数，选项C正确；对于选项D， 与 的定义域和对应法则均相同，
故是同一函数．选项D正确；故选：CD．
12．已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ， ；②
，当 时， ；③ .则下列选项成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D． ， ，使得
【答案】ACD
【详解】由 ， 得：函数 是R上的偶函数，
由 ， ， 得： 在 上单调递增，
对于A， ，A正确；对于B， ，又函数
的图象是连续不断的，
学科网（北京）股份有限公司则有 ，解得 ，B不正确；对于C，由 及 得， ，解得
或 ，
由 得： ，解得 ，
化为： 或 ，解得 或 ，即 ，C正确；对于D，因
上的偶函数 的图象连续不断，且 在 上单调递增，
因此， ， ，取实数 ，使得 ，则 ， ，D正确.
故选：ACD
三、填空题（每小题3分，共4小题，总计12分）
13．已知集合 ，则 __________．
【答案】
【详解】由题意集合 是由集合 的所有子集构成的集合，
集合 是由集合 的所有子集构成的集合，
它们有公共元素 和 ，
所以 ．
故答案为： ．
14．已知 均为正实数，且 ，那么 的最大值为__________．
【答案】
【详解】因为 均为正实数，所以由题可得： ，即
， ， ，三式相加得： ，所以
所以 的最大值为4
故答案为：4
15．函数 ，若 ，则实数m的取值范围是____________．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【详解】因为
所以 是偶函数，作出 的图象如下：
由 得， ，
∴ ．
故答案为：
16．若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 为函数 的一个“倒值区间”．已知
定义在R上的奇函数 ，当 时， ．那么当 时， ______；求函
数 在 上的“倒值区间”为______．
【答案】
【详解】设 ，则 ，
，
由 为奇函数，可得 ，
故当 ， ，
学科网（北京）股份有限公司对称轴方程为 ，
所以 时， ，
设 是 在 上的“倒值区间”，则值域为 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
，即 ，
解得 ，
所以函数 在 上的“倒值区间”为 .
故答案为： ；
四、解答题（共6大题，共70分）
17．（10分）已知集合 ， 或 ， .
(1)当 时，求 ， ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 或 ，
(2)
【详解】(1)将 代入集合 中的不等式得： ，
∵ 或 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ 或 ， ，
则 ；
(2)∵ ， 或 ，
当 时， ；此时满足 ，
当 时， ，此时也满足 ，
当 时， ，若 ，则 ，解得： ；
综上所述，实数 的取值范围为
18．（12分）设函数 ， .
(1)解关于x的不等式 ；
(2)当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.；(2) .
【详解】(1)当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 .
(2)因为 ，所以由 可得 ， ，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 .
19．（12分）用基本不等式证明不等式
（1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证： ；
学科网（北京）股份有限公司（2）已知a，b，c为正实数，且 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】证明：（1）∵ 正数，∴ ， ， ，
又 是不全相等的正数，上述三个等号不能同时取到，
∴ ，即 ，
（2）∵a，b，c为正实数，且 ，
∴
．
20．（12分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，
空气中释放的浓度 (单位：毫克/立方米)随着时间 (单位：天)变化的函数关系式近似为
，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放
的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够
持续有效去污，试求 的最小值.(精确到0.1，参考数据： 取1.4)
【答案】(1) 天；(2)
【详解】（1）解：∵一次喷洒 个单位的净化剂，∴浓度 ，则当 时，
由 ，解得 ，∴此时 ．当 时，由 ，解得 ，∴此时 ．
学科网（北京）股份有限公司综合得 ，若一次投放 个单位的制剂，则有效净化时间可达 天．
（2）解：设从第一次喷洒起，经 天，浓度
，∵ ，而 ，∴ ，
故当且仅当 时， 有最小值为 ．令 ，解得 ，∴ a的
最小值为 ．
21．（12分）已知函数
(1)证明： 为偶函数；
(2)判断 的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
【答案】(1)证明见解析
(2) 为 上的增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）证明： 的定义域为 ，
又 ，故 为偶函数；
（2）解： ，所以 为 上的增函数，
证明： 任取 ， ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴ ，又 ，
∴ ，即 ，
∴ 为 上的增函数；
（3）解：不等式 ，
等价于
即 ，
∵ 为 上的增函数，
∴ ，解得 ，故不等式的解集为 .
22．（12分）定义域为 的函数 ，对于给定的非空集合 ， ，若对于 中的任意元素 ，
学科网（北京）股份有限公司都有 成立，则称函数 是“集合 上的 函数”.
(1)给定集合 ，函数 是“集合 上的 函数”，求证：函数 是周期函数；
(2)给定集合 ， ，若函数 是“集合 上的 函数”，求实数 、 、 所
满足的条件；
(3)给定集合 ，函数 是集合 上的 函数，求证：“ 是周期函数”的充要条件是
“ 是常值函数”．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ， ， ；
(3)证明见解析.
【详解】(1)证明：由题意可知，对任意的 ， ，可得 ，
对任意的 ， ，所以， ，
因此，函数 为周期函数.
(2)解：由题意可知，对任意的 ， ，
即 ，可得 对任意的 恒成立，
所以， ，即 ， ， .
(3)证明：若函数 是周期函数，设其周期为 ，
因为函数 是集合 上的 函数，
则存在 、 ，使得 ，
所以， ， ，
学科网（北京）股份有限公司对任意的 ， ，
所以， ，
所以，对任意的 ， ，
对任意的 ， ，
并且 ，
所以，对任意的 ， 为常数，
即“ 是周期函数” “ 是常值函数”；
若函数 是常值函数，对任意的 、 ， 成立，
且 ，所以，函数 是周期函数.
即“ 是周期函数” “ 是常值函数”.
综上所述，“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”.
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