文档内容
期中押题模拟卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．如图，在棱长为1的正方体 中，M，N分别为 和 的中点，那么直线AM与CN
夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示空间直角坐标系：
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
2．空间四边形OABC中， ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
故选：A.
3．已知直线 与以点 为圆心的圆相交于A，B两点，且 ，则圆C的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意， 为等腰直角三角形，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
所以圆C的方程为 ，
故选：C.4．椭圆 的焦点为 、 ，椭圆上的点 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 椭圆 的焦点为 、 ，椭圆上的点 满足 ，
由椭圆定义得： ，
，①
由余弦定理得： ，②
联立①②，得： ，
∴ ，
故选：C.
5．已知A，B，C是椭圆 上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐
标为 ，直线AB的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 的中点 ，
因为原点O是△ABC的重心，所以 三点共线，
所以 ，
由于 ，所以 ，
故选：B.
6．已知O为坐标原点，设F，F 分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过
1 2
点F 作∠FPF 的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（ ）
1 1 2
A．1 B．2
C．4 D．
【答案】A
【解析】如图所示，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司延长FH交PF 于点Q，由PH为∠FPF 的平分线及PH⊥FQ，易知 ，所以|PF|＝|PQ|.
1 2 1 2 1 1
根据双曲线的定义，得|PF|－|PF|＝2，即|PF|－|PQ|＝2，
2 1 2
从而|QF|＝2.
2
在△FQF 中，易知OH为中位线，则|OH|＝1.
1 2
故选：A.
7．如图，点A，B，C在抛物线 上，抛物线的焦点F在 上， 与x轴交于点D， ，
，则 （ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】B
【解析】依题意设 ，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因 ，则 ，即 ，
则 ，因F(1，0)在直线AB上，则 ，而 ，
有 ，即 ，点A在直线 上，
又 是等腰三角形，点F，点D关于直线 对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
8．如图，在四棱锥 中， 平面 ， 与底面 所成的角为 ，底面 为直角梯形， ，点 为棱 上一点，满足 ，下列结
论错误的是（ ）
A．平面 平面 ；
B．点 到直线 的距离 ；
C．若二面角 的平面角的余弦值为 ，则 ；
D．点A到平面 的距离为 ．
【答案】D
【解析】A选项，因为 平面 ， 平面 ，
所以 CD，
故∠PBA即为 与底面 所成的角， ，
因为 ，
所以PA=AB=1，
因为 ，
取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，
则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，
所以AC⊥CD，
又因为 ，
所以CD⊥平面PAC，
因为CD 平面PCD，
所以平面 平面PCD，A正确；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，
因为 平面PAC
所以CD⊥PC，
故点P到直线CD的距离即为PC的长度，
其中
由勾股定理得： ，B正确；
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
其中平面ACD的法向量为 ，设平面ACE的法向量为 ，
则 ，令 得： ，所以 ，
设二面角 的平面角为 ，显然 ，
其中 ，解得： 或 ，
因为 ，所以 ，C正确；
过点A作AH⊥PC于点H，
由于CD⊥平面APC， 平面APC，
所以AH⊥CD，
因为 ，
所以AH⊥平面PCD，
故AH即为点A到平面PCD的距离，
因为PA⊥AC，
所以 ，D选项错误
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆 ： 和圆 ： 则（ ）
A．两圆相交 B．公共弦长为
C．两圆相离 D．公切线长
【答案】AB
【解析】圆 的标准方程为： ，圆心为（5，5）半径为
圆 的标准方程为： ，圆心为（3，-1）半径为
所以两圆心的距离： ，
两圆相交，选项A正确，选项C错误；
设两圆公共弦长为L，则有：
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司，选项B正确，选项D错误.
故选：AB
10．已知方程 表示的曲线为 则以下四个判断正确的为（ ）
A．当 时，曲线 表示椭圆
B．当 或 时，曲线 表示双曲线
C．若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则
D．若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】若曲线 ： 表示椭圆，则 且 ，故A不正确；
若曲线 ： 表示双曲线，则 或 ，故B正确；
若曲线 ： 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，故C正确；
若曲线 ： 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，故D正确；
故选：BCD
11．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是
60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．向量 与 的夹角是60°D．直线 与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】对于 ，
，
所以 ，选项 错误；
对于
，所以 ，即 ，
，所以 ，即 ，因为
， 平面 ，所以 平面 ，选项 正确；
对于 ：向量 与 的夹角是 ，所以向量 与 的夹角也是 ，选项 错误；
对于 ，
所以 ，
，
同理，可得
，
所以 ，所以选项 正确．
故选：AC．
12． 为椭圆 ： 上的动点，过 作 切线交圆 ： 于 ， ，过 ， 作
切线交于 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的轨迹是 D． 的轨迹是
【答案】AC
【解析】根据题意，作图如下：
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司不妨设点 的坐标为 ，点 坐标为 ，
故切点 所在直线方程为： ；
又点 为椭圆上的一点，
故切线方程 所在直线方程为： ；
故可得 .即
不妨设直线 交 于点 ，故
设直线 方程为： ，
故 ，又 ，
故可得三角形 的面积
，
当且仅当 ，且 时，即 时取得最大值.
因为点 在椭圆上，故 ，
又 ，故可得 ，整理得 .
故动点 的轨迹方程为： .
故选： .
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线 与圆 交于 两点，则 ________
【答案】
【解析】圆 可化为
即圆心坐标为 ，半径
圆心到直线 的距离
故
故答案为：
14．二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 .已知
， ， ， ，则该二面角的大小为________．
【答案】
【解析】由条件，知 ， ，
.
∴ .
∴ ，又∵ ，∴ ，∴二面角的大小为 .
故答案为： .
15．设抛物线 ： ( )的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线 上一点，以 为圆心， 为半
径的圆交 于 、 两点，若 ， 的面积为 ，则 _______.
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司又∵ ，∴ ， ，
∴ 到准线 的距离 ，
∴ ，解得 .
故答案为：１.
16．已知 为双曲线 的右焦点，经过 作直线 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足
为 ，直线 与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为 ．若 ，则双曲线的离心率为
______．
【答案】
【解析】
由题意可设： ，
由 得： ，即 ；由 得： ，即 ；
， ，即 ，
，即 ， ，解得： ，
即双曲线的离心率为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
如图，在直三棱柱 中，底面ABC为等腰直角三角形， ，AB＝AC＝2， ，M
是侧棱 上一点，设 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ，求直线 与平面ABM所成角的正弦值；
(3)若 ，求点M到平面 的距离．
【解析】（1）由题意可得AB，AC， 两两垂直，以A为原点，AB，AC， 所在直线分别为x轴、y
轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
当h＝1时， ， ， ，
则 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司∵
∴ ．
（2）当h＝2时， ， ， ， ，
， ， ，设平面ABM的法向量
则 ，取y＝1，得 是平面ABM的一个法向量
设直线 与平面ABM所成角为
则
∴直线 与平面ABM所成角的正弦值为 ．
（3）当h＝3时， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
取a＝2，得 是平面 的一个法向量
∴点M到平面 的距离 ．
18．（12分）
已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)经过点 的直线 交 于 两点，且 为线段 的中点，求 的方程.
【解析】(1)双曲线 的渐近线为 ，即 ，
所以 ，
又焦点 到直线 的距离 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，所以双曲线方程为(2)设 ， ，直线 的斜率为 ，则 ， ，
所以 ， ，
两式相减得 ，即
即 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
经检验直线 与双曲线 有两个交点，满足条件，
所以直线 的方程为 .
19．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点 和 ，直线 的方程为 .
(1)求圆C的方程；
(2)过点 作圆C切线，求切线方程；
(3)当 时，Q为直线 上的点，若圆C上存在唯一的点P满足 ，求点Q的坐标.
【解析】(1)设圆的方程为 ，将M，N坐标代入，得： ，
解得 ，所以圆的方程为 ；
(2)当切线斜率不存在时，直线 与圆相切；
当切线斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
由圆心 到直线的距离 ，
解得 ，故切线方程为 ，
综上，切线方程为 或 ；
(3)设 ， ，则 ，
化简得 ，
此圆与圆C相切，
所以有 ，解得 ，
所以 或 .
20．（12分）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司如图，在三棱柱 中， ， ， 是 的中点，点 在平面 上的射影为
的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的正切值．
【解析】（Ⅰ）连结 交 于 ，连结 ．
∵ 是三棱柱，∴四边形 是平行四边形．
则 ．
在 中，∵ ，∴ ．
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）因为 平面 ， 与平面 所成角为 ，即 ，
又因为在 中， ，故 ， ，
在 中，由余弦定理求得 ，
过 作 ， ，
分别以 、 、 作为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．
则 ， ， ，
， ， ，
故 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ．
，取 ，
又平面 的法向量为 ，
故 ，所以 ，
故 ，
即所求二面角的平面角的正切值为 ．
21．（12分）
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为 ，且其右焦点到直线 的距离为
2．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且 ?若存在，请求出k的
取值范围，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0，-1)，由题意，可设椭圆的方程
，则其右焦点 ，由F到直线 的距离d=3，解得 ，所以椭
圆的方程 .
（2）假设存在直线 符合题意.
与椭圆方程联立，得： ，消去y得: .
设
则有 ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司所以
所以MN的中点P的坐标 .
因为AN=AM，所以AP是线MN的垂直平分线，所以AP⊥MN.
根据斜率之积为-1，可得 ，将其代入 ，
并整理得： ，解得： .
故存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围 .
22．（12分）
如图，椭圆 的离心率是 ，短轴长为 ，椭圆的左､右顶点为 、 .过椭圆与抛
物线的公共焦点 的直线 与椭圆相交于 两点，与抛物线 相交于 两点，点 为 的中点.
（1）求椭圆 和抛物线 的方程；
（2）记 的面积为 的面积为 ，若 ，求直线 在 轴上截距的范围.
【解析】（1）根据题意得： ，解得 ， ， ，抛物线焦点 ，
因此椭圆 ，拋物线
（2）设 ，联立 与椭圆 ，
整理得： ，判别式：
弦长公式： ，所以联立 与抛物线 ，整理得： ，判别式：
弦长公式： ，
所以 ，
因为 ，因此 ，解得：
在 轴上截距 或 ，因此在 轴上截距取值范围是 .
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司
