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期中押题模拟卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、3.1椭圆
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设直线l的斜率为k，且 ，则直线l的倾斜角 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线l的倾斜角为 ，则 ，由 ，得 ，
∴ ．
故选：D．
2．如图，OABC是四面体，G是 的重心， 是OG上一点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】连接AG并延长交BC于N，连接ON，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司由G是 的重心，可得 ，
则
则
故选：D
3．若椭圆 与椭圆 ，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等
【答案】B
【解析】椭圆 ，可知 ， ， ，
长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是 ；离心率是： ．
椭圆 中，
， ， ，
长轴长是 ，短轴长是 ；焦距是8；焦点坐标是 ；离心率是 ．
椭圆 与椭圆 关系为有相等的焦距．
故选：B．
4．点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为 ，则点P的坐标
为（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
【答案】B【解析】根据题意，设点 的坐标为 ，则
，故直线 为： ，即 ，
故 到直线 上的距离为： ，
又因为 ，
所以由 得 ，
解得 或 ，即 为 或 .
故选：B.
5．已知圆C： ，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则 的最小值
为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】易知直线 ，过定点 ，
圆的标准方程是 ，圆心为 ，半径为 ，
而 ，所以 ．
故选：B．
6．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，且 ，则 的内切圆的
半径 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】椭圆 中， ， ，则 ，、∴ ， ，
∴ ．∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 ．
故选：C．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司7．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设坐标原点为 ，以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
把圆 与圆 相减，得： ，
直线 经过两圆的交点，即切点 .
所以直线 即为圆 与圆 的公共弦所在的直线，
AB方程为: .
故选：B.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点 满足 ，直线l：
与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，
则当 面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，由题意得 ，化简可得动点Q的轨迹方程为 ，
圆心为 ，半径为 ．
又由 ，可得 ．
则由 解得 所以直线l过定点 ，
因为 ，所以点 在圆C的内部．作直线 ，垂足为D，设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以当 ，即 时， ．
此时 ，又 ，
所以直线l的斜率为 ，所以直线l的方程为 ，
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 表示
B．方程 表示的直线的斜率一定存在
C．直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为
D．经过两点 ， 的直线方程为
【答案】BD
【解析】对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如 但不能用
表示，故A选项错误；
对于B选项，方程 表示的直线的斜率为－m，故B选项正确；
对于C选项，若 ，则直线斜率不存在，故C选项错误；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司对于D选项，经过两点 ， 的直线斜率 ，而 ，则直线斜率存在，
结合直线点斜式方程可知，D选项正确.
故选：BD.
10．下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 ，若 ，则
B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
C．已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底
D．任意向量 满足
【答案】ABC
【解析】对于 ：空间向量 ，若 ，则 ，故 正确；
对于B：若对空间中任意一点 ，有 ，由于 ，则 四点共
面，故B正确；
对于C：已知 是空间的一组基底，若 ，则 两向量之间不共线，故也是空间的一
组基底，故C正确；
对于D：任意向量 满足 ，由于 是一个数值， 也是一个数值，则说明 和 存
在倍数关系，由于 是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．
故选：ABC．
11．如图，在棱长为1的正方体 中（ ）
A． 与 的夹角为 B．二面角 的平面角的正切值为
C． 与平面 所成角的正切值 D．点 到平面 的距离为
【答案】BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，则 ，
∴ ， ，即 ， 与 的夹角为 ，故A错误；
设平面 的法向量为 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
平面 的法向量可取 ，二面角 的平面角为 ，
则 ，所以 ，故B正确；
因为 ，设 与平面 所成角为 ，
则 ，故C正确；
因为 ，设点 到平面 的距离为 ，则
，故D正确.
故选：BCD.
12．已知椭圆 ： ， ， 分别为它的左右焦点， ， 分别为它的左右顶点，点 是椭圆上
的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得 B． 的最小值为
C． ，则 的面积为9 D．直线 与直线 斜率乘积为定值
【答案】ABC
【解析】设椭圆 短轴顶点为 ，由题知椭圆 ： 中， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司所以， ， ， ， ，
对于A选项，由于 ， ，所以 的最大角为钝角，
故存在P使得 ，正确；
对于B选项，记 ，则 ，
由余弦定理：
，当且仅当 时取“=”，B正确；
对于C选项，由于 ，故 ，所以 ，
C正确；
对于D选项，设 ，则 ， ，于是
,故错误.
故选：ABC
第ⅠⅠ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则 ______.
【答案】3
【解析】因为 ， ， 共面，所以存在唯一实数 ，使 ，
即 ，
则 ，解得 ， ， .
故答案为：3
14．设两圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为_______
【答案】
【解析】因为圆 ，圆 ，
由 得， ，所以两圆的公共弦所在的直线方程为 .
故答案为： .
15．已知椭圆 与过点 、 的直线l有且只有一个公共点，且长轴长是短轴
长的2倍，则该椭圆的方程为______．
【答案】
【解析】依题意 ，所以椭圆方程为 ，即 .
直线 的方程为 ，即 ，
由 消去 并化简得 ，
由于直线 与椭圆只有一个公共点，
所以 ，
所以椭圆方程为 .
故答案为：
16．如图所示，长方体 的底面 是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在
､AC上，且 ，则直线EF与直线 的距离为___________.
【答案】
【解析】
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则
，
设 ，又 ，则 ，
则 ，又 ，则 ，解得
，
则 ，连接 并延长交 于 ，由 得 为 中点，同理可得连接
并延长也交 于 点，
，画出 的平面图，作 于 ，
由余弦定理得 ，则 ， ，
又 ，则直线EF与直线 的距离为 .故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
设 ， ， .
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：连接DE，
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以 ，
故 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 .
（2）由题意得： 均为等边三角形且边长为1，
所以
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司， ，
所以
，
设异面直线AG和CE所成角为 ，
则
18．（12分）
在①过点 ，②圆E恒被直线 平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点 ，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【解析】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为 ，
则 ，解得 ，
则圆E的方程为 .
方案二：选条件②.
直线 恒过点 .
因为圆E恒被直线 平分，所以 恒过圆心，
所以圆心坐标为 ，
又圆E经过点 ，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为 ，即 .
方案三：选条件③.
设圆E的方程为 .由题意可得 ，解得 ，
则圆E的方程为 ，即 .
（2）设 .
因为M为线段AP的中点，所以 ，
因为点P是圆E上的动点，所以 ，即 ，
所以M的轨迹方程为 .
19．（12分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点 作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求 面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当 取得最小值时直线l的方程．
【解析】（1）∵点 在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，
∴直线l的斜率 ，
则设直线l的方程为 ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ．
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号
成立．
∴ 面积的最小值为6．
此时直线l的方程为 ，即 ．
（2）设 ， ， ， ．
∵A，P，B三点共线，∴ ，整理得 ，
∴ ，当且仅当
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∴当 取得最小值时，直线l的方程为 ，即 ．
20．（12分）
图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，其中 ， ，
．将该图形沿 ， 折起使得 与 重合，连接 ，如图2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角 的平面角的余弦值．
【解析】（1）证明：∵四边形 和 分别是矩形和菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ， 四点共面．
（2）在平面 内过点 作 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ．
∴ ， ， ， ．设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ．
令 ，则 ．∴ ．
设平面 的一个法向量为 ．则 ，令 ，可得 ．
∴ ，显然二面角 为锐角．
∴二面角 的平面角的余弦值为 ．
21．（12分）
已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线 上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C
于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为 ，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：
若不是，请说明理由.
【解析】（1）由于圆心在 ，故设圆的方程为 ，将A（1，2），B（2，1）代入
可得 ，解得 ，
所以圆的方程为：
（2）当直线 轴时， ，
当直线 有斜率时，设其方程为： ，
联立直线与圆的方程 ，消元得 ，
设 ,则 ， ，
由于点 在圆外，所以 ，
因此 ，
综上，无论l的位置如何变化， ，为定值.
22．（12分）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司已知椭圆 的左，右焦点分别为 且经过点 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求 面积的最大值（O为坐标原点）
【解析】（1）由椭圆的定义，
可知
解得 ，又 .
椭圆C的标准方程为 .
（2）设直线l的方程为 ，
联立椭圆方程，得 ，
，得
设 ，则 ，
，
点 到直线 的距离 ，
.
当且仅当 ，即 时取等号；
面积的最大值为 .学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司
