文档内容
期中测试卷 04
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．若双曲线 的一个焦点为 ，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
2．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ，
则 的长为( )。
A、
B、
C、
D、
3．若点 是直线 ： 外一点，则方程 表示( )。
A、过点 且与 垂直的直线
B、过点 且与 平行的直线
C、不过点 且与 垂直的直线
D、不过点 且与 平行的直线
4．已知圆 ： 和两点 、 ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
5．若圆 上有且仅有两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、6．如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， 是棱 的中点，已知 ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。
A、
B、
C、
D、
7．已知 、 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上任意一点，且直线 、 的斜率分别为 、
( )，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率为 ( )。
A、
B、
C、
D、
8．已知双曲线 ( ， )与抛物线 ( )有相同的焦点 ，且双曲线的一条渐近
线与抛物线的准线交于点 ， ，则双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。
A、
B、
C、D、
10．给出下列命题，其中正确的有( )。
A、空间任意三个向量都可以作为一组基底
B、已知向量 ，则 、 与任何向量都不能构成空间的一组基底
C、 、 、 、 是空间四点，若 、 、 不能构空间的一组基底，则 、 、 、 共面
D、已知 是空间向量的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底
11．设抛物线 ： ( )的焦点为 ，点 在 上， ，若以 为直径的圆过点 ，
则 的方程为( )。
A、
B、
C、
D、
12．我们把离心率为 的双曲线 ( ， )称为黄金双曲线。如图所示， 、
是双曲线的实轴顶点， 、 是虚轴顶点， 、 是焦点，过右焦点 且垂直于 轴的直线交双曲线于
、 两点，则下列命题正确的是( )。
A、双曲线 是黄金双曲线
B、若 ，则该双曲线是黄金双曲线
C、若 ，则该双曲线是黄金双曲线
D、若 ，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知入射光线经过点 ，被直线 ： 反射，反射光线经过点 ，则反射
光线所在直线的方程为 。
14．如图所示， 平面 ， ， ， ，则二面角 的余弦值大
小为________。
15．抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，且满足 ，点 为原点，则 的面积为 。
16．如图所示，在正四棱柱 中， ， ，动点 、 分别在线段 、
上，则线段 长度的最小值是 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知圆 上一定点 ， 为圆内一点， 、 为圆上的动点。
(1)求线段 中点的轨迹方程；
(2)若 ，求线段 中点的轨迹方程。
18．（本小题满分12分）
已知点 ，点 是圆 ： 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 。
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以 为直径的圆的内部，求实
数 的取值范围。19．（本小题满分12分）
如图所示，已知三棱柱 ，底面三角形 为正三角形，侧棱 底面 ， ，
， 为 的中点， 为 的中点。
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值。20．（本小题满分12分）
已知椭圆 ： ( )的左、右顶点分别为 、 ，其离心率 ，过点 的直
线 与椭圆 交于 、 两点(异于 、 )，当直线 的斜率不存在时， 。
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 交于点 ，试问：点 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请
说明理由。
21．（本小题满分12分）
如图所示，在多面体 中，底面 是梯形， ， ， ， 底
面 ， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上。
(1)证明： 平面 ；
(2)如果直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求点 的位置。22．（本小题满分12分）
已知椭圆 ： ( )上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 倍，且点
在椭圆 上。
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 的 、 两点， 与直线 ：
交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ，求证： 。
