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山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一上学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若幂函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．4
4．若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．6．关于 的不等式 的解集中恰有2个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ， ， ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，对任意的 ， 恒成立，则实数 的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 是定义在 上的函数；对于任意实数 满足 ，当 时， ，
则（ ）
A．
B．C．方程 有3个实数根
D．若 ，则 或
三、填空题
12．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 .
13．若不等式 的解集为 ，则 的值为
14． ，若 在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．求值：
(1) ；
(2) .
16．已知集合 ， .
(1)若 ，求 ， ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
17．中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本：1000万元；②材料成本： 万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元?(2)若每个人形机器人的售价为 万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如
何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润 售价 销量 成本.
18．已知函数 .
(1)求 的定义域，并求 ， 的值；
(2)观察（1）中的函数值，请猜想 具有的两个性质，并选择其中一个加以证明；
(3)解不等式： .
19．对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，使得函数 在x∈ 时，值域是
，则称 为 的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数 在x∈ 时值域是 ，
则称 为 的“完美区间”.
(1)证明：函数 在定义域里存在“完美区间”；
(2)如果二次函数 在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b；
(3)是否存在实数 ，使得函数 ( )在区间 单调，且 为 的
“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．在 中， ，求 的取值范围．参考答案
1．D
【详解】 ， ，
则 .
故选：D
2．A
【详解】因为 ，所以 或 ，
则 可以推出 ，但 不能推出 ．
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A．
3．D
【详解】设幂函数 ，由于图象经过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，则 .
故选：D.
4．C
【详解】由 在 上单调递减可知， ，即
由 在 上单调递增可知， ，即 ，
综上所述， .
故选：C.
5．D
【详解】由函数 ，
当 时，根据函数 与函数 在 上单调递增，则函数 在 的单调递增，故排除BC；
当 时， ，故排除A，则D正确.
故选：D.
6．A
【详解】由 可得 ；
若 ，则不等式解集为空集；
若 ，则不等式的解集为 ，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为2、3，则 ；
若 ，则不等式的解集为 ，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为 ；所以 ；
综上 或 ，
故选：A
7．A
【详解】因为 恒成立，所以 .
又因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 ，所以 .
故选：A.
8．C
【详解】由题意，函数 ，可得 为奇函数，且在 上单调递增，由 恒成立，即 恒成立，
又由 ，
所以 ，即 ，
把不等式的恒成立转化为“对任意的 ， 恒成立”．
当 时显然不成立，
当 时，则满足 ，解得 ．
故选C．
9．AC
【详解】对于A， ，A正确，
对于B， ，B错误，
对于C，因为 ， ， ， ，
所以 ，C正确，
对于D，因为 ，
，
所以 ，D错误，
故选：AC.
10．ABD
【详解】对于A，因为 的定义域与值域均为 ，所以 是同域函数，A选项正确；
对于B，因为 的定义域与值域均为 ，所以 是同域函数，B选项正确；对于C，对于函数 ，其定义域为 ，当 时， ，所以 不是同域函数，C选
项错误；
对于D，因为 ，由 得 ，
所以 的定义域与值域均为 ，所以 是同域函数，D选项正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】对于A：令 ,则 ，所以 ，故A正确；
对于B：令 ， ，
所以 ，令 ，所以 ，
所以 ，所以 为奇函数，故B错误；
对于C：令 ，所以 ，所以 ，
当 时，所以 ，则 ，
当 时， ，所以 ， ，又 ，
所以 为奇函数，且定义域为 ，所以 ，又 ，
所以方程 有3个实数根，故C正确；
对于D：由 ， ，
又 ，若 ，则 ，
当 时，所以 ，则 ，满足题意，当 时， ，所以 ， ，不满足题意，
当 时， ， ，
又 为奇函数，所以 ，满足题意，
当 时， ，
由 为奇函数，所以 ，不满足题意，
所以，若 ，则 或 ，故D正确，
故选：ACD.
12．
【详解】因为函数 的定义域为 ，
则对于函数 ，令 ，解得 ，
所以函数 的定义域是 ．
故答案为：
13．
【详解】因为不等式 的解集为： ，得： ，
即方程 的两个根为 和 ，
由根与系数的关系得 ， ，
解得： ， ，所以： .
故答案为： .14．
【详解】解：由于函数 在 和 上递减，在 的 上递增，
∵ 在定义域内单调递增；
∴ ,解得 ；
∴实数a的取值范围为： .
15．(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
.
16．(1) ，
(2) 或 .
【详解】（1）当 时， ，
，
或 ，.
（2） ， ，
则当 时， ，解得 ，满足题意；
当 时， ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 或 .
17．(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元
(2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元
【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为 万元，根据题意有
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为 万元，则有 ，
由题知 ，整理得 ，解得 （舍去）或 ，
所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）由 ，得 ，即函数 定义域为 ，
则 ，；
（2）猜想性质1： 为奇函数；
证明：函数 定义域为 ，
则 ，故 为奇函数；
猜想性质2：函数 在定义域 上单调递减，
证明：取 ，
则
，
因为 ，故 ，
则 ，故 ，
即 ，
故 在定义域 上单调递减.
（3）由（2）知 为奇函数，故 即 ，
又 在定义域 上单调递减.，
故 ，解 ，即 ，
解 ，即 ，
解
得 ，故 的解集为 .
19．(1)证明见解析
(2) ， .
(3)存在，
【详解】（1） 在 与 上均为增函数，若 存在完美区间 ，则有
，即 为 的两根．
即 的根，故 ，即存在“完美区间”.
（2）若 存在“2倍美好区间”，则设定义域为 ，值域为
当 时，易得 在区间上单调递减，
则 ，两式相减可得 ，得 ，
则 ，即 ，因为 ，解得 ， .
（3）
，图象如图所示，令 ，解得 或 ，
（ⅰ）当 时， ，由 ，两式相除，，
，
，可得 ,与a,b范围矛盾，即实数 不存在
（ⅱ）当 时， ，由 可得， ，即
，
，由 ，即 ，解得 ，
又 ， ， ，
由 ，可得 ，
综上，符合条件的k的取值范围为 .
20．
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，且 ，且 ，
所以因为 ，且 ，且 ，
所以 ，且 ，且
所以 ，且 ，
令 ，
所以 ，
令 ，易知 在 上是增函数，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
故 ，
