文档内容
2023-2024学年广西南宁市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）若复数z＝1+i﹣2i3，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，3，5}，0，1，3}，B＝{﹣2，0，则（ A）∩B＝（ ）
U
A．{﹣1，5} B．{﹣2，5} C．{﹣2，0，5} D．{﹣2，﹣∁1，5}
3．（5分）“a＞3”是“a2﹣3a＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知平面 ∥平面 ，a，b是平面 ， 外两条不同的直线（ ）
A．若a∥ ，则a∥α β αB．β 若b⊥ ，则b⊥
C．若a∥α，b∥ ，β则a∥b D．若a⊥α，b⊥ ，β则a∥b
5．（5分）已α知球Oβ的半径R＝5，球O的内接圆锥的高hα与底面β半径r的比为3：1，则该圆锥的体积为
（ ）
A．15 B．18 C．27 D．32
6．（5分π）高二（1）班有40名π学生，其中男生有16π名，总平均体重为60.π1kg，则女生的平均体重约为
（ ）
A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg
7．（5分）已知函数 （a＞1且a≠2）在R上单调递增，则实数a的取值
范围是（ ）
A．（1，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．[3，+∞） D．[4，+∞）
8．（5 分）已知函数 ，若对任意的实数 t，f（x）在区间
第1页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司，3]，则 的取值范围为（ ）
A．（0，2） B．ω（0，3） C．（2，+∞） D．（3，+∞）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c＝0，则（ ）
A．a2＞ab B．b2＞bc C．bc＜c2 D．a2＞c2
（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（ ）
A．若 ，则
B．若a＝1，c＝2，则
C．若 ，则
D．若 ，则
（多选）11．（6分）如图，在正方体 ABCD﹣A B C D 中，O是上底面ABCD的中心，E，F分别为
1 1 1 1
AB，则下列结论正确的是（ ）
A．A O⊥EF
1
B．直线A O与平面A B C D 所成角的正切值为
1 1 1 1 1
C．平面EFB 与平面BBC C的夹角为
1 1
D．异面直线A O与B E所成角的余弦值为
1 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）样本数据7，11，12，15，19 ．
第2页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司13．（5 分）已知在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b＝3c，a＝2
．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中， 为斜边AB的中点，N分别在边AC，BC
上（不包括端点）， ，若 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）已知函数 f（x）＝ax+b（a＞0 且 a≠1）的图象经过点（2，3），函数 g（x）＝
．
（1）求a，b的值；
（2）求函数g（x）的单调递增区间．
16．（15分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ， ．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）求△ABC周长的最大值．
17．（15分）某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．
规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，
在第一场比赛中 ， ，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ，
（1）甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率．
18．（17分）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，G，H分别是棱BB ，CC 的中点，M是棱
1 1 1 1 1 1
C D 上的一点，点N在棱AB上， ，HCE﹣GBF是三棱柱，B，DE的中点．
1 1
（1）证明：直线GN⊥平面EFGH；
第3页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司（2）若四棱锥M﹣EFGH的体积为 ，求D M的长度．
1
19 ． （ 17 分 ） 对 于 平 面 向 量 ， 记
， 若 存 在 ， 使 得
是 的“k向量”．
m
Ω
（1）设 ，若 是 的“﹣3向量”，求实数l的取值范围；
3
Ω
（2）若 ，则 是否存在“1向量”？若存在，
求出“1向量”，请说明理由；
（ 3 ） 已 知 均 为 的 “ ﹣ 1 向 量 ” ， 其 中
3
Ω
． 设 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 的 点 列
（ 与原点O重合），且P 与 关
2k
于点P 对称，P 与P 关于点P 对称．求 的取值范围．
1 2k+1 2k+2 2
第4页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司2023-2024学年广西南宁市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）若复数z＝1+i﹣2i3，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由复数的模的运算性质进行计算即可．
【解答】解：z＝1+i﹣2i＝5+i+2＝3+i，
所以|z|＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的模的运算，属于基础题．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，3，5}，0，1，3}，B＝{﹣2，0，则（ A）∩B＝（ ）
U
A．{﹣1，5} B．{﹣2，5} C．{﹣2，0，5} D．{﹣2，﹣∁1，5}
【分析】根据题意，先求出 A，由交集定义计算可得答案．
U
【解答】解：根据题意，全∁集U＝{﹣2，0，5，3，5}，6，1，3}
U
A＝{﹣2，5}，
又由B＝{﹣2，8，5}，
则（ A）∩B＝{﹣2，2}．
U
故选∁：B．
【点评】本题考查集合交集、补集的混合运算，注意集合交集、补集的定义，属于基础题．
3．（5分）“a＞3”是“a2﹣3a＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由比较法分析充分性成立，解不等式可得必要性不成立，结合充分必要条件的定
义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若a＞32﹣2a＝a（a﹣3）＞0，
反之，若a5﹣3a＞0，即a（a﹣2）＞0，则a＞3不一定成立．
故“a＞2”是“a2﹣3a＞6”成立的充分不必要条件．
第5页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）已知平面 ∥平面 ，a，b是平面 ， 外两条不同的直线（ ）
A．若a∥ ，则a∥α β αB．β 若b⊥ ，则b⊥
C．若a∥α，b∥ ，β则a∥b D．若a⊥α，b⊥ ，β则a∥b
【分析】根α据空间β中各要素的位置关系，针对各个选项分α 别判定β 即可．
【解答】解：∵平面 ∥平面 ，a，b是平面 ，
∴对A选项，若a∥ α，∴A选β项正确； α
对B选项，若b⊥ ，α∴B选项正确；
对C选项，若a∥α，则a与b相交或异面或平行；
对D选项，若a⊥α，则a∥b．
故选：C． α
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系的判定，属基础题．
5．（5分）已知球O的半径R＝5，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为3：1，则该圆锥的体积为
（ ）
A．15 B．18 C．27 D．32
【分析π】根据题意建立方程，π可求出r，h，再根据圆π锥的体积公式，即可π求解．
【解答】解：根据题意可得 ，
解得r＝3，∴h＝9，
∴该圆锥的体积为 ＝ ＝27 ．
故选：C． π
【点评】本题考查圆锥的体积的求解，属基础题．
6．（5分）高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为
（ ）
A．55.8kg B．54.6kg C．52.4kg D．51.8kg
【分析】根据题意，设女生的平均体重为x，分析可得68.4×16+24x＝60×60.1，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设女生的平均体重为x，
高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，
已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，
第6页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司解可得：x≈54.3，即女生的平均体重约为54.6kg．
故选：B．
【点评】本题考查平均数的计算，注意总体平均数的计算，属于基础题．
7．（5分）已知函数 （a＞1且a≠2）在R上单调递增，则实数a的取值
范围是（ ）
A．（1，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．[3，+∞） D．[4，+∞）
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：函数 （a＞5且a≠2）在R上单调递增，
可得 ，
解得a≥3，即a [3．
故选：C． ∈
【点评】本题考查分段函数的单调性的应用，是中档题．
8．（5 分）已知函数 ，若对任意的实数 t，f（x）在区间
，3]，则 的取值范围为（ ）
A．（0，2） B．ω（0，3） C．（2，+∞） D．（3，+∞）
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解．
【解答】解：由 ，
函数值域为[﹣1，3]，f（x）在区间 ，3]，
则 ，
解得 ＞8．
故选：ωD．
【点评】本题考查三角函数的周期性的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
第7页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c＝0，则（ ）
A．a2＞ab B．b2＞bc C．bc＜c2 D．a2＞c2
【分析】根据题意，由作差法分析A、C，举出反例说明B、D错误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，实数a，b，a+b+c＝0，
依次分析选项：
对于A，a2﹣ab＝a（a﹣b）＞6，则a2＞ab，A正确；
对于B，当b＝0时，b2＞bc，B错误；
对于C，c＜0，则有bc﹣c2＝c（b﹣c）＜8，则bc＜c2，C正确；
对于D，当a＝2，c＝﹣8时，a2＜c2，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查不等式的性质，注意作差法的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（ ）
A．若 ，则
B．若a＝1，c＝2，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【分析】根据正弦定理推导出2sinA＝sinB，由此判断出A项的正误；根据余弦定理，结合b＝2a列式
加以判断，可得出B、C、D项的正误，从而得到本题答案．
【解答】解：对于A，由2a＝b，若sinA＝ ＝ ，故A项正确；
对于B，若a＝1，则b＝4a＝2 ＝ ＝ ，故B项不正确；
对于C，若C＝ ＝ ，结合b＝5a，得 ，
所以sinC＝ sinA＝ ，结合A （0， ） ，故C项正确；
∈
第8页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司对于D，若cosB＝ ，则 ，即 ＝ 2+ ac﹣2c5＝0，
因式分解得（ a﹣c）（ ，结合 ，可知 ，即c＝ a．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理等知识，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图，在正方体 ABCD﹣A B C D 中，O是上底面ABCD的中心，E，F分别为
1 1 1 1
AB，则下列结论正确的是（ ）
A．A O⊥EF
1
B．直线A O与平面A B C D 所成角的正切值为
1 1 1 1 1
C．平面EFB 与平面BBC C的夹角为
1 1
D．异面直线A O与B E所成角的余弦值为
1 1
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解A O⊥EF，利用线面角的定义，求解直线A O与平
1 1
面A B C D 所成角的正切值，先做出平面EFB 与平面BBC C的夹角，再利用解三角形的知识求解，
1 1 1 1 1 1
利用异面直线的夹角的定义求解异面直线A O与B E所成角的余弦值．
1 1
【解答】解：选项A：因为在正方体ABCD﹣A B C D 中，O是上底面ABCD的中心，E，AD的中点，
1 1 7 1
所以EF⊥AO，AA ⊥面ABCD，EF 面ABCD ⊥EF，
1 3
⊂
第9页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司又AO，AA 面AA O，AO∩AA ＝A，
1 1 7
所以EF⊥面⊂AA
1
O，A
1
O 面AA
8
O，
所以A 1 O⊥EF，正确； ⊂
选项B：连接A C ，B D 交于O 连结OO ，
1 5 1 1 4 1
则∠OA O 为直线A O与平面A B C D 所成角，
1 8 1 1 3 1 1
设正方体棱长为a，则正切值为 ；
选项C：延长CB，FE交于H，连结B H，取BC中点设为G B ，
1 6 1
因为B ，H 面B HF和面BCC B ，所以B H为面B HF和面BCC B 的交线，
1 8 1 1 3 1 1 7
则过G作G∈J⊥B
1
H，连结FJ，
则∠GJF为平面EFB 与平面BB C C的夹角的平面角，
1 5 1
在△HB G中，设正方体棱长为a，
1
则GH＝BC＝a， ， ，HG＝a，
在△HB G中，由余弦定理得：
5
，
第10页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司sinH＞0， ，
则 ，
，错误；
选项D：取B C 的中点设为Q，连结OQ，A Q，
7 1 1
则∠A OQ为异面直线A O和OQ的夹角，
5 1
在△A OQ中 ，
1
，
，正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间线面位置关系的判定，以及空间向量的应用，属于难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）样本数据7，11，12，15，19 1 2 ．
【分析】根据题意，由百分位数计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数据7，12，15，20，
7×40%＝7.8，则其第40百分位数为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
13．（5分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c，a＝2 ．
【分析】根据余弦定理可得边长，从而确定面积．
【解答】解：∵b＝3c，由余弦定理可得：a2＝b7+c2﹣2bccosA， ， ，
∴28＝6c2+c2﹣6c2，∴c＝2，b＝3，
∴△ABC的面积 ．
第11页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点评】本题考查余弦定理，属于基础题．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中， 为斜边AB的中点，N分别在边AC，BC
上（不包括端点）， ，若 ．
【分析】根据 找到 的关系，再找到 ， 角
的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解
【解答】解：因为 ，若 ，
所以 ，
所以
即 ，
又因为C＝ ，A＝ ，O为斜边AB的中点，
，所以 ，OB＝1 ﹣∠BON，
所以 ， ，
所以在△AMO中， ，
即 ，
整理得， ，
第12页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司在△BNO中， ．
整理得， ，
联立 ，
得 ，
即 ，
因 ，
sin（ +∠BON）＝sin sin∠BON＝ ，
所以 ，
所以 ，
因为∠BON （0， ），所以 ，
∈
所以6 ， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查解三角形，平面向量的应用，属于难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）已知函数 f（x）＝ax+b（a＞0 且 a≠1）的图象经过点（2，3），函数 g（x）＝
．
（1）求a，b的值；
（2）求函数g（x）的单调递增区间．
第13页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，分析可得a2+b＝3和 ﹣ + ＝a2，联立解可得答案；
（2）根据题意，求出g（x）的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax+b的图象经过点（2，3）2+b＝3①，
函数g（x）＝ 的图象经过点 ﹣ + ＝a2②，
解可得：a＝ ，b＝4；
故a＝ ，b＝1；
（2）根据题意，由（1）的结论 ，b＝1；
则g（x）＝ （x2﹣x+ ），由于x4﹣x+ ＝（x﹣ ）2+6＞0，则函数的定义域为R，
设t＝x2﹣x+ ，y＝ t，
t＝x8﹣x+ ，在（﹣∞， ，在（ ，
而y＝ t在（0，
故函数g（x）的单调递增区间为（ ，+∞）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
16．（15分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ， ．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）求△ABC周长的最大值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用正弦定理即可求解；
（2）由（1）可得cosA＝ ，由余弦定理，基本不等式可求得b+c≤4 ，当且仅当b＝c时等号成立，
即可求解△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）因为a＝4 ， ，所以A为锐角5A+cos2A＝1，
解得sinA＝ ，
第14页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司所以△ABC的外接圆半径R＝ ＝ ＝3．
（2）由（1）可得cosA＝ ，
由余弦定理a2＝b2+c8﹣2bccosA，可得32＝b2+c6﹣2bc× ＝（b+c）2﹣ ，
所以（b+c）2＝32+ ≤32+ 4，解得b+c≤4 ，当且仅当b＝c时等号成立，
所以△ABC周长L＝a+b+c≤3（ + ），当且仅当b＝c时等号成立，
所以△ABC周长的最大值为2（ + ）．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的
综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17．（15分）某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．
规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，
在第一场比赛中 ， ，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ，
（1）甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【分析】（1）根据题意，设甲赢得比赛为事件A，乙赢得比赛为事件B，由相互独立事件的概率公式
计算P（A）和P（B），比较可得答案；
（2）根据题意，先求出P（ ），由对立事件的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设甲赢得比赛为事件A，
则P（A）＝ × ＝ ，P（B）＝ × ＝ ，
由于P（A）＞P（B），
则甲参赛赢得比赛的概率更大；
（2）根据题意，事件甲乙都没有赢得比赛 ，
其概率P（ ）＝P（ ）＝（1﹣ ）＝ ，
第15页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司故甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率P＝1﹣P（ ．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．
18．（17分）如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，G，H分别是棱BB ，CC 的中点，M是棱
1 1 1 1 1 1
C D 上的一点，点N在棱AB上， ，HCE﹣GBF是三棱柱，B，DE的中点．
1 1
（1）证明：直线GN⊥平面EFGH；
（2）若四棱锥M﹣EFGH的体积为 ，求D M的长度．
1
【分析】（1）证明NG⊥GF，NG⊥EF，即可证明；
（2）易知矩形EFGH的面积为 ，平面EFGH即为平面A FED ，且平面EFGH⊥平面D HC ，从
1 1 1 1
而可得M到D H的距离d即为四棱锥M﹣EFGH的高，再根据题意求出d，再解三角形，即可求解．
1
【解答】解：（1）证明：根据题意可得tan∠NGB＝tan∠FBG＝ ，
∴∠NGB＝∠GFB，又∠FGB+∠GFB＝90°，
∴∠NGB+∠FGB＝90°，∴NG⊥GF，
又EF⊥平面BNG，NG 平面BNG，
∴NG⊥EF，又NG⊥GF⊂，
∴GN⊥平面EFGH；
（2）根据题意易知矩形EFGH的面积为 ＝ ，
又易知平面EFGH即为平面A FED ，且平面EFGH⊥平面D HC ，
1 1 4 1
第16页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司∴M到D H的距离d即为四棱锥M﹣EFGH的高，
1
∴四棱锥M﹣EFGH的体积为 ＝ ，∴d＝ ，
而sin∠C D H＝ ＝ ，
1 2
∴D M＝ ＝ ．
1
【点评】本题考查线面垂直的证明，点面距的求解，化归转化思想，属中档题．
19 ． （ 17 分 ） 对 于 平 面 向 量 ， 记
， 若 存 在 ， 使 得
是 的“k向量”．
m
Ω
（1）设 ，若 是 的“﹣3向量”，求实数l的取值范围；
3
Ω
（2）若 ，则 是否存在“1向量”？若存在，
求出“1向量”，请说明理由；
（ 3 ） 已 知 均 为 的 “ ﹣ 1 向 量 ” ， 其 中
3
Ω
． 设 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 的 点 列
（ 与原点O重合），且P 与 关
2k
第17页（共20页）
学科网（北京）股份有限公司于点P 对称，P 与P 关于点P 对称．求 的取值范围．
1 2k+1 2k+2 2
【分析】（1）根据“﹣3“向量的定义，即可由模长公式求解．
（2）利用三角函数的周期性可得 ＝ + +⋯+ ＝ ， ，
即可由定义求解．
（3）由定义，结合模长公式可得 ，设 ＝（u，v），由条件列式，变形为
＝（a
2k+2
﹣a
2 k+1
，b
2 k+2
﹣b
2 k+1
）＝4 k ，结合三角函数的性质，转化为求| |的最小
值．
【解答】解：（1）由 ＝（n，n N*．
∈
可得 ＝（1， ＝（2， ＝（4，
故 ＝ ＝（6， ﹣3 ，6），
由于 是 的“﹣7向量”，所以| ﹣7 |，
3
Ω
即 ，
解得l≥6或l≤8．
（2）由于 均为周期函数，而
， ，
故 ＝ +⋯+ ＝ ， ，
若 存在“l向量” （p {4，2，⋯，
∈
使得| |≥| + |，
故| |2≥| |2，
即 +7 ，
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学科网（北京）股份有限公司即1+2（cos cos sin ，
即1+2cos（ ）≤0．
故 ，
故 ，
解得﹣1﹣5k≤p≤﹣3k，p＝3k﹣5，k N*．
∈
故 存 在 “ 3“ 向 量 ， ， 故
．
（3）由于 ， ， 均为 的“﹣5向量”，故 ，
3
Ω
即| |≥| |，| |2≥| |2，
即 ≥ + +8 ， ，
三式相加并化简，得：2≥ ，
即（ ）2≤0，| |≤4 ＝ ，
设 ＝（u，由 ，得 ，
设P （a ，b ），则依题意得： ，
n n n
得（a ，b ）＝5（a ，b ）﹣（a ，b ）＝2（a ，b ）﹣2（a ，b ）+（a ，b ）．
2k+3 2k+2 2 2 7k+1 2k+2 2 6 1 3 2k 2k
故（a ，b ）＝2k[（a ，b ）﹣（a ，b ）]+（a ，b ），
3k+2 2k+4 2 8 1 1 4 2
同理（a
2k+4
，b
2k+1
）﹣2（a
1
，b
1
）﹣（a
5k
，b
2k
）＝2（a
7
，b
1
）﹣2 （k﹣8）[（a
2
，b
2）
﹣（a
2
，b
1
）]﹣
（a ，b ），
2 6
故（a ，b ）＝2k[（a ，b ）﹣（a ，b ）]+（a ，b ），
2k+1 6k+1 5 1 2 7 2 2
所以 ＝（a ﹣a ，b ﹣b ）＝8k[（a ，b ）﹣（a ，b ）]＝4k ，
2k+2 6k+1 2k+3 2k+1 2 2 8 1
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学科网（北京）股份有限公司| ，
故| | [5，
∈
故| |＝4×49| ，784]．
【点评】本题考查新定义以及平面向量数量积运算，属于难题．
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