文档内容
2024-2025 学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研（一）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⃗ ⃗ ，若⃗ ⃗，则实数 的值为( )
a=(3,−1),b=(1,m) a⊥b m
1 1
A. −3 B. 3 C. − D.
3 3
2.若 ，则√1 1√1 cosα ( )
0<α<π − + =
2 2 2 2
α α α α
A. sin B. −sin C. cos D. −cos
4 4 4 4
1 4
3.已知α,β∈(0,π)，且tanα= ,cosβ= ，则α+β=( )
7 5
π 3π π 2π
A. B. C. D.
4 4 6 3
⃗ ⃗ 1 ⃗
4.在▵ABC中， A ⃗ D=2D ⃗ B,P 为CD上一点，且AP=mAB+ AC，则实数m值为( )
2
1 1 1 3
A. B. C. D.
2 3 4 4
5.已知 ( π) ，则 ( π) ( )
cosθ+sin θ+ =1 sin θ+ =
6 3
1 2 √3 √2
A. B. C. D.
2 3 3 2
6.在直角梯形ABCD中，AB//DC,AB⊥AD,AB=BC=2,CD=1，点O､E分别为AB，BC的中点，
则 ⃗ ⃗ ( )
OE⋅OD=
1 3
A. 0 B. C. 1 D.
2 2
7.已知 ( π) cosα ，则 ( 2π) ( )
α∈ 0, ,tan2α= sin α+ =
2 2−sinα 3
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1 1√15+√3 √15−√3 −1−3√5 −1+3√5
A. B. C. D.
8 8 8 8
8.在 ▵ABC 中，
B
⃗
D=D
⃗
E=E
⃗
C,AD=3,AE=√6
，则(
A
⃗
B+A
⃗
C
)
⋅C
⃗
B=
( )
A. 9 B. −9 C. 6 D. −6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
| ⃗ | | ⃗ | π ⃗ ⃗
A. 在▵ABC中，若 AB =1, BC =2,∠ABC= ，则 AB⋅BC=1
3
B. 已知向量⃗OA,⃗OB,⃗OC 满足条件
O
⃗
A+O
⃗
B+O
⃗
C=
⃗
0,
|
O
⃗
A
|
=
|
O
⃗
B
|
=
|
O
⃗
C
|，则 ▵ABC 为等边三角形
C. 在 ▵ABC 中，若|
C
⃗
A−C
⃗
B
|
=
|
C
⃗
A+C
⃗
B
|，则 ▵ABC 为直角三角形
⃗ ⃗
( AB AC ) ⃗
D. 在 ▵ABC 中，若 + ⋅BC=0 ，则 ▵ABC 为等腰三角形
| ⃗ | | ⃗ |
AB AC
10.下列计算正确的是( )
√2
A. cos80∘cos55∘−cos10∘cos35∘=−
2
1
B. sin415∘−cos415∘=−
2
C. sin15∘+cos15∘
=−√3
sin15∘−cos15∘
D. 4cos50∘−tan40∘=√3
π √2 3
11.已知0<α<β< ,cos(α+β)=− ,tanαtanβ= ，则下列结论正确的是( )
2 10 2
√2 √2
A. sinαsinβ= B. cos(α−β)=
5 2
7 1
C. tanα+tanβ= D. tanα−tanβ=−
2 2
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2 1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1⃗
12.已知向量⃗a在向量⃗b上的投影向量为 b，且 |⃗
a
|
=
|⃗
b
| ，则向量⃗a与向量⃗b的夹角为 ．
2
13.若 ( π) 3，则 ( π) ．
sin α+ = cos 2α− =
3 5 3
14.已知cosβ=2cos(2α+β)，则tan(α+β)tanα= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知|⃗| |⃗| ⃗ ⃗ ．
a =√3, b =1,a−b=(1,√3)
(1)
求|⃗
a+2
⃗
b
|；
若⃗ ⃗与⃗ ⃗的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
(2)
a+λb a+2b
λ
16.(本小题12分)
sin2α
已知 =4．
1+sin2α−cos2α
(1)求tanα的值；
若 2 ，求sin(α−β)的值．
(2) tan(α−β)=−
11 cos(α+β)
17.(本小题12分)
已知向量⃗ ⃗ ．
a=(cosx,√3sinx),b=(√3sinx,cosx+2sinx)
若
⃗ ⃗
与 共线， (π )，求 的值；
(1)
√3a−b
⃗b x∈ ,π sin2x
2
设函数 ⃗ ⃗ [ π]，求 的值域．
(2) f (x)=a⋅b,x∈ 0, f (x)
2
18.(本小题12分)
在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=2BC=2CD=4,∠DAB=60∘,M为线段BC中点，AM与BD交
于点P．
求 ⃗ ⃗ 的值；
(1)
AM⋅BD
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3 1(2)求∠APD的余弦值；
(3)求▵APD与△BPM的面积之比．
19.(本小题12分)
π
在▵ABC中，C为钝角，∠ABC= ，点O为▵ABC所在平面内一点，满足(
O
⃗
A+O
⃗
B
)
⊥A
⃗
B
，
6
( ⃗ ⃗ ) ⃗ ，线段 OC 交线段 AB 于点 M ．
OB+OC ⊥BC
⃗ ⃗ 1
(1)若OA⋅AC=− ，求 | ⃗ | ；
OA
2
(2) 在 (1) 的条件下，求|
O
⃗
A+2O
⃗
B+O
⃗
C
|的最大值；
| ⃗ |
设 ⃗ ⃗ ，求 AM 的最小值．
(3) OM=λOC(0<λ<1)
| ⃗ |
AB
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4 1参考答案
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.ACD
11.BC
π
12. /60 ∘
3
7
13.− /−0.28
25
1
14.
3
15. (1)∵ ⃗ a− ⃗ b=(1,√3) ， ∴ (⃗ a− ⃗ b ) 2 =| ⃗ a− ⃗ b|2=(√1+3) 2=4 ，
又 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗，
∵(a−b) 2=a2−2a⋅b+b2=3−2a⋅b+1=4−2a⋅b
⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，
∴4−2a⋅b=4 ∴a⋅b=0
|⃗ ⃗| √ ⃗ ⃗ √⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ．
∴a+2b = (a+2b) 2= a2+4a⋅b+4b2=√7
⃗ ⃗与⃗ ⃗的夹角为锐角，
(2)∵a+λb a+2b
(⃗ ⃗) (⃗ ⃗) ， ⃗ ⃗ (⃗ ⃗) ，
∴ a+λb ⋅ a+2b >0 ∴a2+2λb2+(2+λ) a⋅b >0
3
∵ ⃗ a⋅ ⃗ b=0 ，|⃗ a | =√3 ，|⃗ b | =1 ， ∴ |⃗ a|2+2λ |⃗ b|2>0 ，∴3+2λ>0，∴λ>− 2 ．
又⃗ ⃗与⃗ ⃗不共线， ， ，
a+λb a+2b
∴1×2≠λ ∴λ≠2
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5 13
∴λ>− 且λ≠2．
2
sin2α 2sinαcosα cosα
16.(1)∵ = = =4
1+sin2α−cos2α 2sin2α+2sinαcosα sinα+cosα
3
∴3cosα+4sinα=0，tanα=− ．
4
3 2
− +
tanα−tan(α−β) 4 11 1
(2)因为tanβ=tan[α−(α−β)]= = =− ，
1+tanαtan(α−β) 3 2 2
1+ ×
4 11
所以sin(α−β) sinαcosβ−cosαsinβ tanα−tanβ 2．
= = =−
cos(α+β) cosαcosβ−sinαsinβ 1−tanαtanβ 5
17. ⃗ ⃗
(1)∵a=(cosx,√3sinx),b=(√3sinx,cosx+2sinx)
⃗ ⃗
∴√3a−b=(√3cosx−√3sinx,sinx−cosx)
⃗ ⃗与 共线
∵√3a−b
⃗b
∴(√3cosx−√3sinx)(cosx+2sinx)=√3sinx(sinx−cosx)
(π )
∵x∈ ,π ∴sinx−cosx≠0
2
∴3sinx=−cosx
1
即tanx=−
3
2sinxcosx 2tanx 3
∴sin2x= = =−
sin2x+cos2x tan2x+1 5
⃗ ⃗
(2)f (x)=a⋅b=√3sinxcosx+√3sinx(cosx+2sinx)
=2√3sinxcosx+2√3sin2x=√3sin2x+√3(1−cos2x)=√6sin ( 2x− π) +√3
4
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6 1[ π] π [ π 3π]
∵x∈ 0, ∴2x− ∈ − ,
2 4 4 4
所以当 π [ π π]时 单调递增，当 π [π 3π]时 单调递减，
2x− ∈ − , f (x) 2x− ∈ , f (x)
4 4 2 4 2 4
所以 在[ 3π]上单调递增，在[3π π]上单调递减
f (x) 0, ,
8 8 2
3π π
又f (0)=0,f( )=√6+√3,f( )=2√3
8 2
所以函数 的值域为
f (x) [0,√6+√3]
18.(1)取线段AB的中点N，连接DN，
因AB//DC,AB=2BC=2CD=4，则四边形BCDN为边长为2的菱形，
又∠DAB=60∘，则▵∧¿为等边三角形．
则 ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ) (1 ⃗ ⃗ ) ( ⃗ 1 ⃗ )
AM⋅BD= AB+BM ⋅ BC+CD = BC−BA ⋅ BC+ BA
2 2
1 ⃗ 3 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1 3 1 1
= BC2− BC⋅BA− BA2= ×4− ×2×4× − ×16=−9
2 4 2 2 4 2 2
| ⃗ | √ ⃗ ⃗ √ 1
(2) AM = (BA−BM) 2= 16−2×4×1× +1=√13
2
| ⃗ | √ ⃗ ⃗ √ 1 ，
BD = (AD−AB) 2= 4−2×4×2× +16=2√3
2
⃗ ⃗
AM⋅DB 9 3√39
所以cos∠APD= = =
．
| ⃗ || ⃗ | 2√3√13 26
AM DB
1 1
(3)设
A
⃗
P=λA
⃗
M
，因为M为线段BC的中点，所以⃗AM= ⃗AB+ ⃗AC
2 2
⃗ ⃗ λ ⃗ λ ⃗ λ ⃗ λ( ⃗ 1 ⃗ )
AP=λAM= AB+ AC= AB+ AD+ AB
2 2 2 2 2
3λ ⃗ λ ⃗
= AB+ AD
4 2
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7 13λ λ 4
因为P,B,D三点共线，所以 + =1即λ=
4 2 5
⃗ 4 ⃗ PA
因为AP= AM，所以 =4，
5 PM
⃗ 3 ⃗ 2 ⃗ PD 3
又因为AP= AB+ AD，所以 =
5 5 PB 2
因为S 3 S 1，所以S
▵APD= , ▵BPM = ▵MPD=6
S 2 S 4 S
▵APB ▵APB ▵BPM
19. (1) 因为(
O
⃗
A+O
⃗
B
)
⊥
(
O
⃗
B−O
⃗
A
)
=0⇒
|
O
⃗
A
|
=
|
O
⃗
B
|，
π
同理|
O
⃗
B
|
=
|
O
⃗
C
|所以O为▵ABC的外心，∠AOC=2∠ABC= ，
3
因为O ⃗ A⋅A ⃗ C=O ⃗ A⋅ ( O ⃗ C−O ⃗ A ) =− 1 ，O ⃗ A2cos π −O ⃗ A2=− 1 ，所以 | O ⃗ A | =1 ．
2 3 2
设 ( 2π)，
(2) ∠BOC=θ,θ∈ 0,
3
| ⃗ ⃗ ⃗ | √ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
OA+2OB+OC = OA2+4OB2+OC2+4OA⋅OB+4OB⋅OC+2OA⋅OC
√ ( π) √ ( π)．
= 7+4cosθ+4cos θ+ = 7+4√3sin θ+
3 3
π
所以当θ= 时，最大值为2+√3．
6
(3) 设 A ⃗ M=μA ⃗ B(0<μ<1) ， O ⃗ M−O ⃗ A=μ ( O ⃗ B−O ⃗ A )， λO ⃗ C−O ⃗ A=μO ⃗ B−μO ⃗ A ，
⃗ ⃗ ⃗ ，
μOB=λOC+(μ−1)OA
λ2−λ+1
两边同时平方得，μ2=λ2+(μ−1) 2+2λ(μ−1)，μ= ，
2−λ
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8 1t2−3t+3 3
令2−λ=t∈(1,2)，μ= =t+ −3≥2√3−3，
t t
当且仅当t=√3即λ=2−√3时，等号成立．
| ⃗ |
所以 AM 的最小值为 ．
2√3−3
| ⃗ |
AB
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9 1
