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期中测试卷 03
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．已知两个非零向量 ， ，则这两个向量在一条直线上的充要条件是
( )。
A、 B、
C、 D、存在非零实数 ，使
【答案】D
【解析】A选项， 表示 的单位向量 ， 表示 的单位向量 ，则 ，
但 不一定有 ，错，B选项、C选项不能推出 ，故选D。
2．已知焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】 ，焦点到渐近线的距离为 ，则 ，则 ，
∴双曲线方程为 ，故选B。
3．若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】圆的标准方程为 ，圆心 ，半径 。
∵直线与圆相交，∴ ，解得 或 ，故选D。
4．点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】设中点坐标为 ，那么圆上一点设为 ，满足 ，
，根据条件 ，代入后得到 ，
化简为： ，故选A。
5．若 、 分别为直线 与 上任意一点，则 的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵ ，∴两直线平行，将直线 化为 ，
由题意可知 的最小值为这两条平行直线间的距离，即 ，
∴ 的最小值为 ，故选B。
6．已知椭圆 ： ( )的左焦点 ，过点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的
弦长为 ，则椭圆的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】过点 倾斜角为 的直线方程为： ，即 ，
则圆心 到直线的距离： ，由弦长公式可得： ，
整理可得： ，∴ ， ，则： ， ，故选B。
7．已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过 作抛物线
的切线，切点为 ，若点 恰好在以 、 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由题意，得 、 ，设过 的抛物线 的切线方程为： ，
联立 得 ，
令 ，得 ，即 ，
不妨设 ，由双曲线的定义得 ， ，
则该双曲线的离心率为 ，故选D。8．如图所示， 是棱长为 的正方体， 、 分别是棱 、 上的动点，且 。
当 、 、 、 共面时，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】以点 为原点如图建系，则 、 、 ，
由题意知：当 、 时， 、 、 、 共面，
设平面 的法向量为 ，
， ，则 ，
取 ，解得 ，
设平面 的法向量为 ，
， ，则 ，
取 ，解得 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，故选B。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知经过点 和点 的直线 与经过点 和点 的直线 互相
垂直，则实数 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】BC
【解析】 的斜率 ，
当 时， 的斜率 ，∵ ，∴ ，
即 ，解得 ，
当 时， 、 ，直线 为 轴， ， ，直线 为
轴，显然 ，∴实数 的值为 或 ，故选BC。
10．已知椭圆 ： ( )的左右焦点分别 、 ，过 且斜率为 的直线交椭圆 于 、
两点，若 为直角三角形，则该椭圆 的离心率 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】CD
【解析】当 时，设 ，则由于 ，∴ ， ，
∵ ， ， ∴ 椭 圆 的 离 心 率 为
，
当 时，设 ，则由于 ，∴ ， ，
∵ ， ，∴椭圆 的离心率为 ，
故选CD。
11．下列命题中不正确的是( )。
A、若 、 、 、 是空间任意四点，则有
B、若 ，则 、 的长度相等而方向相同或相反
C、 是 、 共线的充分条件
D、对空间任意一点 与不共线的三点 、 、 ，若 ( )，则 、
、 、 四点共面
【答案】ABD
【解析】A选项， 而不是 ，故A错，
B选项， 仅表示 与 的模相等，与方向无关，故B错，
C选项， ，
即 ，
即 ， 与 方向相反，故C对，
D选项，空间任意一个向量 都可以用不共面的三个向量 、 、 表示，
∴ 、 、 、 四点不一定共面，故D错，
故选ABD。
12．已知 、 是双曲线 ( ， )的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 ，交另一条渐近线于点 ，且 ，则该双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】AC
【解析】(1)当 时，设 ，则 ，设 ，
由题意可知 ， ， ， ，
则 ， ， ，
代入得 ，
即 ，解得 ，则 ，
(2)当 时，设 ， ，设 ，
则 ， ，
由题意可知 ， ， ， ，
则 ， ， ，
则 ，
则 ，
代入得 ，即 ，解得 ，则 ，
故选AC。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．动点 与定点 、 的连线的斜率之积为 ，则点 的轨迹方程是 。
【答案】 ( )
【解析】设 ，则 ， ，
∵动点 与定点 、 的连线的斜率之积为 ，
∴ ，∴ ，即 ，且 ，
综上点 的轨迹方程是 ( )。
14．过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 ： 和圆 ： ()作切线，切点分别为 、 ，若 的最小值为 ，则 。
【答案】
【解析】设 、 是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，
∴
，
显然其最小值为 ， 。
15．如图所示， 是正四棱锥， 是正方体，其中 ， ，则点 到
平面 的距离为 。
【答案】
【解析】方法一：利用等体积法求点到平面距离： ，
又 ，
，
即 ，解得 ；
方法二：利用建系求点到平面距离：以 为原点， 、 、 为 、 、 轴建
系，
则 ， ， ， ，
，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
，
设 ，解得 ， ，则 ，
又点 到平面 的距离 。
16．如图所示，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且依次交抛物线及圆
于 、 、 、 四点，则 的最小值为 。
【答案】
【解析】∵ ，焦点 ，准线 ： ，
由圆： ，圆心 ，半径为 ，
由抛物线的定义得： ，又∵ ，∴ ，
同理： ，当 轴时，则 ，∴ ，
当 的斜率存在且不为 时，设 ： ，
代入抛物线方程，得： ，
∴ ， ，
∴，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
综上所述 的最小值为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知两圆 ： 和 ： 。
(1)求证：圆 和圆 相交；
(2)求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。
【解析】(1)证明：圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
2分
两圆圆心距 ， ，
∴圆 和 相交； 4分
(2)圆 和圆 的方程左、右分别相减，得 ， 6
分
∴两圆的公共弦所在直线的方程为 ， 7
分
圆心 到直线 的距离 ，
9分
故公共弦长为 。 10
分
18．（本小题满分12分）
如图，已知 的边 所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边
所在直线上且满足 。
(1)求 边所在直线的方程；
(2)求 外接圆的方程；
(3)若动圆 过点 ，且与 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程。【解析】(1)∵ ，∴ ，又 在 上，∴ ，∴ 为 ， 1分
又 边所在直线的方程为 ，∴直线 的斜率为 ， 2
分
又∵点 在直线 上，∴ 边所在直线的方程为 ，
即 ； 4
分
(2) 与 的交点为 ，∴由 解得点 的坐标为 ，
5分
∵ ，∴ 为 斜边上的中点，即为 外接圆的圆心， 6
分
又 ，从而 外接圆的方程为 ；7
分
(3)∵动圆 过点 ，∴ 是该圆的半径，又∵动圆 与圆 外切，
∴ ，即 ， 9分
故点 的轨迹是以 、 为焦点，实轴长为 的双曲线的左支， 10分
∵实半轴长 ，半焦距 ，∴虚半轴长 ， 11分
从而动圆 的圆心的轨迹方程为 ( )。 12分
19．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱 中，底面 为正三角形， 在底面 上的射影是棱 的中点 ，
于 点。
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值。
【解析】(1)证明：连接 ，∵ 为正三角形， 为 中点，∴ ，∵ ， ，∴ 平面 ，∴ ， 2
分
又 ， ，∴ ，又 ，
∴ 平面 ，
4分
(2)解：由(1)可知， ， ， ，
故分别以 、 、 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 6分
设 ，则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
8分
设平面 的法向量为 ，则 即
，
设 ，则 、 ，则 ，
10分
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
∴ 与平面 所成角的正弦值为 。 12
分
20．（本小题满分12分）
椭圆 ： ( )的长轴长等于圆 ： 的直径，且 的离心率等于 。直线 和
是过点 且互相垂直的两条直线， 交 于 、 两点， 交 于 、 两点。
(1)求 的标准方程；
(2)当四边形 的面积为 时，求直线 的斜率 ( )。
【解析】(1)由题意得 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， 2分
∴椭圆 的标准方程为 ； 3
分
(2) 直 线 ： ， 则 直 线 ： ， 由 ，
5分得 ， 恒成立， 6
分
设 、 ， 则 ， ，
7分
∴ ， 8
分
∵圆心 到直线 ： 的距离 ， 9
分
又 ，∴ ， 10分
∵ ，∴ ， 11分
由 ，解得 或 ，由 ，得 。 12
分
21．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱 中，四边形 为菱形， ， 平面 平
面 ， ， ， 为 的中点。
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的大小。
【解析】(1)∵四边形 为菱形， ， ， 1
分
∴ ，∴ ， 2分
又平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面
，3分又 ，∴ 平面 ；
4分
(2)取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，∴ 、 ，
又四边形 是菱形， ， 是 的中点，∴ ，
故 、 、 两两互相垂直， 6分
以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ 、 、 、 ，
7分
由图可知，平面 的一个法向量为 ，
8分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，得平面 的一个法向量为 ，
10分
设平面 与平面 所成角的平面角为 ，
则 ，
11分
又∵ ，∴ ，∴平面 与平画 所成角为 。
12分
22．（本小题满分12分）
已知椭圆 ，抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和 的顶点均为原点 ，从 、 上分别取两个
点，将其坐标记录于下表中：
(1)求 、 的标准方程；
(2)若直线 ： ( )与椭圆 交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线过定点
，求实数 的取值范围。
【解析】(1)设抛物线 ： ( )，则有 ( )， 1分据此验证 个点知 、 在抛物线上，易求 ： ，
2分
设椭圆 ： ( )，把点 、 代入得： ，
3分
解得 ， ，∴ 的方程为： ； 4分
(2)设 、 ，将 ( )代入椭圆方程，消去 得：
， 5
分
∴ ，即 ①，
6分
由根与系数关系得： ，则 ， 7
分
∴线段 的中点 的坐标为 ， 8
分
又线段 的垂直平分线 的方程为 ， 9
分
由点 在直线 上，得 ， 10
分
即 ，∴ ，
由①得 ，∴ ，即 或 ， 11分
∴实数 的取值范围是 。
12分
