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期中测试卷 02
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．直线 恒过一定点，则此定点为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】直线可变形为： ，若该方程对任意 都成立，
则 ，即 ，直线恒过点 ，故选D。
2．设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则“ ”是“ ”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 ，得： ，是必要条件，
而“ ”不一定有 ，也可能 ，故不是充分条件，故选B。
3．设 是正三棱锥， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若
，则 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
则 ，故选C。
4．已知圆 与直线 及 都相切，圆心在直线 上，则圆 的方程为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】∵两条直线 与 的距离为 ，∴所求圆的半径为 ，
由 得 ，由 得 ，∴直径的两个端点、 ，
因此圆心坐标 ，圆的方程为 ，故选B。
5．在边长为 的等边三角形 中， 于 ，沿 折成二面角 后， ，此时二
面角 的大小为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】 就是二面角 的平面角，
∵ ，∴ ，故选C。
6．已知平面 内的角 ，射线 与 、 所成角均为 ，则 与平面 所成角的余弦值
是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由三余弦公式知 ，∴ ，故选D。
7．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则该棱锥的外接球半径
为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由已知建立空间直角坐标系 ， ， ，
由平面知识得 ，设球心坐标为 ，
则 ，
由空间两点间距离公式知： ，
，
，
解得 ， ， ，∴半径为 ，故选A。
8．已知直线 ： ，点 ， ，若直线 与线段 相
交，则 的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C【解析】直线 方程变形得： 。
由 得 ，∴直线 恒过点 ，
， ，由图可知斜率 的取值范围为： 或 ，
又 ，∴ 或 ，即 或 ，
又 时直线的方程为 ，仍与线段 相交，∴ 的取值范围为 ，故选C。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知直线 经过点 ，且被两条平行直线 ： 和 ： 截得的线段长为 ，
则直线 的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】BC
【解析】若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时与 、 的交点分别为 ，
，
截得的线段 的长 ，符合题意，
若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 ，
解 得 ， 解 得
，
由 ，得 ，
解得 ，即所求的直线方程为 ，
综上可知，所求直线 的方程为 或 ，故选BC。
10．已知 ， 和直线 ： ，若在坐标平面内存在一点 ，使
，且点 到直线 的距离为 ，则 点坐标为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD【解析】设点 的坐标为 ，线段 的中点 的坐标为 ， ，
∴ 的垂直平分线方程为 ，即 ，
∵点 在直线 上，∴ ，
又点 到直线 ： 的距离为 ，∴ ，即
，
联立可得 、 或 、 ，∴所求点 的坐标为 或
，
故选BD。
11．定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1) ，
，且 、 和 构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中
指的指向一致)；(2) 的模 ( 表示向量 、 的夹角)。
如右图所示，在正方体 中，有以下四个结论中，不正确的有( )。
A、 与 方向相反
B、
C、 与正方体表面积的数值相等
D、 与正方体体积的数值相等
【答案】ABD
【解析】对于A、根据向量外积的第一个性质可知 与 的方向相同，故A错，
对于B、根据向量外积的第一个性质可知 与 的方向相反，
不可能相等，故B错，
对于C、根据向量外积的第二个性质可知 ，
则 与正方体表面积的数值相等，故C对，
对于D、 与 的方向相反，则 ，故D错，
故选ABD。
12 ． 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱 中 ， 侧 棱 底 面 ， ，
， 是棱 的中点， 是 的延长线与 的延长线的交点。若点 在直线 上，
则下列结论不正确的是( )。
A、当点 为线段 的中点时， 平面
B、当点 为线段 的三等分点时， 平面C、在线段 的延长线上，存在一点 ，使得 平面
D、不存在点 ，使 与平面 垂直
【答案】ABC
【解析】以 为原点， 、 、 为 轴、 轴、 轴建系，
由 已 知 可 得 ， ， ， ，
，
则 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，则 ，
设在直线 上存在一点 ，使得 平面 ，
设则 ，且 ，
，则 ， ， ，
则 ，若 平面 ，则 与 共线，
则 ，此时 无解，故不存在点 ，使得 平面 ，故选
ABC。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知 是空间任一点， 、 、 、 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足
，则 。
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∵ 是空间任一点， 、 、 、 四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴ ，∴ 。
14．已知 ，方程 表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。
（本小题每空2.5分）
【答案】
【解析】由题意 ， 或 ，
当 时方程为 ，即 ，
圆心为 ，半径为 ，当 时方程为 ， 不表示圆。
15．已知圆 ： 和点 ，若顶点 ( )和常数 满足：对圆 上任意一点
，都有 ，则 。
【答案】
【解析】设 ，∵ ，
∴ ，
任取 、 代入可得 ，
，解得 ， ， 。
16．空间直角坐标系 中，经过点 且法向量为 的平面方程为
，经过点 且一个方向向量为
的直线 的方程为 ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面 的方程为
，直线 是两个平面 与 的交线，则直线 与平面 成角的正
弦值为 。
【答案】
【解析】∵平面 的方程为 ，∴平面 的法向量可取 ，
平 面 的 法 向 量 为 ， 平 面 的 法 向 量 为
，
设两平面的交线的方向向量为 ，
由 ，令 ，则直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
如图所示，已知平行六面体 中，各棱长均为 ，底面是正方形，且
，设 ， ， 。
(1)用 、 、 表示 ，并求 ；
(2)求异面直线 与 所成的角的余弦值。【解析】(1)∵ ， 2分
∴
， 4
分
∴ ； 5
分
(2) ，
则 ， 7分
又 ， ，
∴ ，
9分
∴异面直线 与 所成的角的余弦值为 。 10分
18．（本小题满分12分）
(1)求与向量 共线且满足方程 的向量 的坐标；
(2)已知 ， ， ，求点 的坐标使得 ；
(3)已知 ， ，求：① ；② 与 夹角的余弦值；③确定 、 的值使得
与 轴垂直，且 。
【解析】(1)∵ 与 共线，故可设 ，由 得： ，
故 ， ∴ ；
2分
(2) 设 ， 则 ， ，
，
∵ ，
∴
，∴ 点 坐 标 为 ；
5分
(3)① ，
6分
②∵ ， ，
∴ ，
∴ 与 夹角的余弦值为 ， 9
分
③ 取 轴 上 的 单 位 向 量 ， ， 依 题 意
，
即 ，故 ，
解得 ， 。 12
分
19．（本小题满分12分）
已知点 ，点 ，圆 ： 。
(1)求过点 的圆 的切线方程；
(2)求过点 的圆 的切线方程，并求出切线长。
【解析】由题意得圆心 ，半径 ，
(1)∵ ，∴点 在圆 上，又 ， 2分
∴切线的斜率 ， 4
分
∴过点 的圆 的切线方程是 ，即 ； 5
分
(2)∵ ，∴点 在圆 外部，
当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，即 ， 6分
又点 到直线 的距离 ，即此时满足题意，
7分
∴直线 是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为 ， 8
分即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 ， 9分
∴切线方程为 ，即 ，
10分
综上可得，过点 的圆 的切线方程为 或 ，
∵ ，∴过点 的圆 的切线长为 。 12分
20．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱 中， ， ， 。
(1)证明： ；
(2)若 ，在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 。若存在，求 的长；
若不存在，说明理由。
【解析】(1)证明：连接 ，∵ 为平行四边形，且 ，
∴ 为菱形， ， 2
分
又 ∵ ， ∴ 平 面 ， ∴ ， 又 ∵
，
∴ 平 面 ， ∴ ；
4分
(2)解：∵ ， ， ，∴ ，
∴ 、 、 两两垂直，以 为坐标原点，
、 、 的方向为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 5分
则 、 、 、 、
，设 ，
则 ， ， ，
易知， 平面 ，则平面 的一个法向量 ，
7分
设 是平面 的一个法向量，则 ，∴ ， 得 ，
9分
∴ ，解得 ，
∴在棱 上存在点 ，当 时，得二面角 的大小为 。 12分
21．（本小题满分12分）
如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 梯 形 ， 且 满 足 ， ，
，平面 平面 。
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值。
【解析】(1)取 的中点 ，连接 ，∵ ， ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形， 2分
∴ ，又 ，∴ ， 3分
令 ，则 ， ，
∴ ，∴ ， 4分
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ； 5分
(2)取 的中点 ，连接 、 ，则易知 ， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴ ，∴ 、 、 两两垂直， 6分
故可以以 、 、 所在直线分别 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、
，
∴ 、 、 ，
7分设平面 的法向量为 ，则 ，即
，
∴ ，令 ，则 ，∴ 为平面 的一个法向量，
9分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
11分
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 。 12分
22．（本小题满分12分）
如图所示，在多面体 中，四边形 、 、 均为正方形， 为 的
中点，过 、 、 的平面交 于 。
(1)证明： ；
(2)求二面角 的余弦值。
【 解 析 】 (1) 证 明 ： 由 正 方 形 的 性 质 可 知 ， 且 ，
1分
∴ 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， ∴ ，
2分
又 ∵ 平 面 ， 平 面 ， ∴ 平 面 ，
3分
又∵ 平面 ，平面 平面 ，∴ ；
4分
(2)解：∵四边形 、 、 均为正方形，
∴ ， ， 且 ，
以 为原点，分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴单位正向量，
建立如图所示的空间直角坐标系， 6分
可得点的坐标 、 、 、 、
、 ，
而 点 为 的 中 点 ， ∴ ，
7分
设平面 的法向量为 ，
， ， 则 ， 即
，
令 ， 则 、 ， 则 ，
9分
设平面 的一个法向量 ，
， ， 则 ， 即
，
令 ， 则 、 ， 则 ，
11分
设二面角 的平面角为 ，经观察 为锐角，
∴ 。
12分
