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期中测试卷 01
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．对于空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，有如下关系： ，则( )。
A、四点 、 、 、 必共面
B、四点 、 、 、 必共面
C、四点 、 、 、 必共面
D、五点 、 、 、 、 必共面
【答案】B
【解析】由 得： ，可得四点 、 、 、 必共面，故选B。
2．已知平面 、 的法向量分别为 、 且 ，则 的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由已知得 ，即 ，则 ，故选A。
3．若 ( )，则直线 被圆 所截得的弦长为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵圆心 到直线 的距离 ，
因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ，∴弦长为 ，故选
D。
4．已知三条直线 、 和 中没有任何两条平行，但它们不能构成三角
形的三边，则实数 的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立 解得这两条直线的交点为
，
代入 可得 ，故选A。5．直线 ： ( 是不等于 的整数)与直线 的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，
那么满足条件的直线 有( )。
A、 条 B、 条 C、 条 D、无数条
【答案】B
【解析】联立 ，∴ ，即 ， ，
∴ 或 或 或 ，∵ ，∴ 值有 个，直线有七条，故选B。
6．过点 的直线 与圆 ： 交于 、 两点，当 时，直线 的斜
率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由题意得 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时直线 与圆相切，不合题意，舍去，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，则 ，
解得 ，故选A。
7．已知 、 两点，则直线 与空间直角坐标系中的 平面的交点坐标
为( )。
A、 B、 C、
D、
【答案】B
【解析】设 连线与平面 的交点为 ，
∵ 、 、 三点共线，则 ，
则 ，
则 ，解得 ，则
，故选B。
8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 ( 且
)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点 、 间的距离为 ，动点 与 、 距离
之比为 ，当 、 、 不共线时， 面积的最大值是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D【解析】如图，以经过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建系， 、
，
设 ，∵ ，∴ ，
两边平方并整理得： ，
∴ 面积的最大值是 ，故选D。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若平面内两条平行线 ： 与 ： 间的距离为 ，则实数 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD
【解析】∵ ，∴ ，解得 或 ，
时 ，符合，当 时 ，符合，故选BD。
10．已知 、 、 和 为空间中的 个单位向量，且 ， 可能等于( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】CD
【解析】∵ ，而 ，
∴ ，
又∵ 、 、 、 是单位向量，且 ，∴ 、 、 一定不共线，
∴ ，故选CD。
11．给出下列命题，其中不正确的为( )。
A、若 ，则必有 与 重合， 与 重合， 与 为同一线段
B、若 ，则 是钝角
C、若 ，则 与 一定共线
D、非零向量 、 、 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 、 、 必共面
【答案】ABD
【解析】对于A，考虑平行四边形 中，满足 ，
不满足 与 重合， 与 重合， 与 为同一线段，故A错，
对于B，当两个非零向量 、 的夹角为 时，满足 ，
但它们的夹角不是钝角，故B错，
对于C，当 时， ，则 与 一定共线，故C对，对于D，考虑三棱柱 ， 、 、 ，
满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，但 、 、 不共面，故D错，
故选ABD。
12．已知圆 ： ，过点 向圆 作切线，切点为 ，再作斜率为 的割线交圆
于 、 两点，则 的面积为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD
【解析】由题意知 ，过点 作斜率为 的割线 ，
则直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离为 ，
则弦 ，
过点 作圆 的切线，其中一条为 轴，切点为 轴，
则点 到直线 的距离 ，
∴ 的面积即为 的面积，故 ，
又另一条切线为 ，设直线 的方程为 ，由题意得 ，
且点 到直线 的距离 ，解得 ，
则直线 的方程为 ，
与圆 的方程联立易得 ，
点 到直线 的距离 ，
故 ，
综上所述 的面积为 或 ，故选BD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知正方体 中， ，若 ，则 ，
。（本小题每空2.5分）【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴ ， 。
14．已知直线 及直线 截圆 所得的弦长均为 ，则圆 的面积是 。
【答案】
【解析】∵已知的两条直线平行且截圆 所得的弦长均为 ，
∴圆心到直线的距离 为两平行直线距离的一半，即 ，
又直线截圆 所得的弦长为 ，∴圆的半径 ，∴圆 的面积是 。
15．如图所示，平行六面体 中， ， ，
，则线段 的长度是 。
【答案】
【解析】∵ ，
∴
，
∴ 。
16．已知点 是直线 ： ( )上的动点，过点 作圆 ： 的切线 ，
为切点。若 最小为 时，圆 ： 与圆 外切，且与直线 相切，则 的值为 。
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
当 与 垂直时， 的值最小，此时点 到直线 的距离为 ，
由勾股定理得 ，又 ，解得 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
∵圆 与圆 外切，∴ ，∴ ，
∵圆 与直线 相切，∴ ，解得 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
如图所示，三棱柱 中， 、 分别是 、 上的点，且 ，。设 ， ， 。
(1)试用 、 、 表示向量 ；
(2)若 ， ， ，求 的长。
【解析】(1) 2分
；
4分
(2) 6分
，
8分
即 ，∴ 。 10
分
18．（本小题满分12分）
过点 作直线 分别交 、 轴正半轴于 、 两点。
(1)当 面积最小时，求直线 的方程。
(2)当 取最小值时，求直线 的方程。
【解析】设直线 ： ( ， )，∵直线 经过点 ，∴ ， 2
分
(1) ，∴ ，当且仅当 ， 时等号成立， 4分
∴当 ， 时， 最小，
此时直线 的方程为 ，即 ； 6
分(2)∵ ， ， ，
∴ ， 9分
当且仅当 ， 时等号成立， 10分
∴当 取最小值时，直线 的方程为 。 12分
19．（本小题满分12分）
如图所示，在 中， ， 为 边上一点，且 ， ，
平面 ，且 。
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值。
【解析】(1)证明：∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， 1分
又 平面 ， 平面 ，∴ ， 2分
又∵ 平面 ， ，
∴ 平 面 ， 即 平 面 ，
3分
又 平面 ，∴平面 平面 ； 4分
(2)解：以 、 、 所在射线分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ， 则 ， ， 则 ， ，
， ，
∴ ， ， ，
6分
设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， ∴ ， ∴
，
令 ，则 ， ，∴ ，
9分
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 。 12分
20．（本小题满分12分）
已知平行四边形 的三个顶点的坐标为 、 、 。
(1)在 中，求边 中线所在直线方程； y
(2)求平行四边形 的顶点 的坐标及边 的长度； A
(3)求 的面积。 C
【解析】如图建系，
O x
(1)设 边中点为 ，则 点坐标为 ， B 1
分
∴直线 ，∴直线 的方程为： ， 3分
即： ，∴ 边中线所在直线的方程为： ； 4
分
(2)设点 的坐标为 ，由已知得 为线段 的中点，
有 ， 解 得 ， ∴ ，
6分
又 ∵ 、 ， 则 ；
8分
(3) 由 、 得 直 线 的 方 程 为 ： ，
9分
∴ 到直线 的距离 ，∴ 。 12
分
21．（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形 中， ， ， ， ， 是 的中点， 是
与 的交点。将 沿 折起到 的位置，如图2。
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值。【解析】(1)证明：在图1中，∵ ， ， 是 的中点， ，∴ ，
即在图2中， 、 ， 1分
又 ， 、 平面 ， 平面 ， 3
分
又 ，∴ 平面 ； 4
分
(2)解：由已知，平面 平面 ，又由(1)知， 、 ，
∴ 为 二 面 角 的 平 面 角 ， ∴ ，
5分
如图，以 为原点， 、 、 为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐标系，
∵ ， ，
∴ 、 、 、 ，
∴ ， ， ，
7分
设 平 面 的 法 向 量 ， 则 ， 即
，
令 ， 则 、 ， 则 ，
9分
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
令 ， 则 、 ， 则 ，
11分
设平面 与平面 的夹角的平面角为 ，∴ 。
12分
22．（本小题满分12分）
如图所示，直四棱柱 的底面是菱形， ， ， ， 、 、 分
别是 、 、 的中点。
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值。
【解析】(1)由题可得，四边形 为菱形，且 ，连接 ，则 ，
又∵ 为 的中点，则 ，∴ ，即 ， 2分
又∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
则 ， ，
∴以 为原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 4分
由 为 中点， 为 中点， 为 中点， ， ，
可得， ， ， 5
分
则 ， ， ， 则 ，
，
则 ，∴ ，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ； 7分
(2)由题可得， ， ， ，
设 平 面 的 法 向 量 为 ， 平 面 的 法 向 量 为
，
∴ ， ， ，
，∴由 可得： ，
令 ， 则 ， ， 则 ，
9分
∴由 可得： ，
令 ， 则 ， ， 则 ，
11分
设二面角 为 ，则 ，
则 ，∴二面角 的正弦值为 。
12分
