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期中测试卷 03
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．设复数 满足 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )。
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
2．设 是虚数单位，若复数 ，则 的共轭复数为( )。
A、
B、
C、
D、
3．在 中， ，点 满足 ，若 ，则 的值为( )。
A、
B、
C、
D、
4．如图所示，在多面体 中，已知四边形 是边长为 的正方形，且 、 均为正
三角形， ， ，则该多面体的体积为( )。
A、
B、C、
D、
5．已知正四棱柱 中， ， ， 为 的中点，则直线 与平面
的距离为( )。
A、
B、
C、
D、
6．已知正三角形 的边长为 ， 是 边的中点，将三角形 沿 翻折，使 ，若三角
锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
7．半径为 的圆 上有三点 、 、 满足 ，点 是圆内一点，则
的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
8．如图为一个正方体 与一个半球 构成的组合体，半球 的底面圆与正方体的上底面
的四边相切，球心 与正方形 的中心重合，将此组合体重新置于一个球 中(球 未画
出)，使正方体的下底面 的顶点均落在球 的表面上，半球 与球 内切，设切点为 ，若四棱锥
的表面积为 ，则球 的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若复数 满足 ，则关于复数 的说法正确的是( )。
A、复数 的实部为
B、复数 的虚部为
C、复数 的模长为
D、复数 对应的复平面上的点在第一象限
10．两平行平面截半径为 的球，若截面面积分别为 和 ，则这两个平面间的距离是( )。
A、
B、
C、
D、
11．已知 、 、 为三条不同的直线，且 平面 ， 平面 ， ，则下列命题中错误的是
( )。
A、若 与 是异面直线，则 至少与 、 中的一条相交
B、若 不垂直于 ，则 与 一定不垂直
C、若 ，则必有
D、若 、 ，则必有
12．已知 、 是两个单位向量， 时， 的最小值为 ，则下列结论正确的是( )。
A、 、 的夹角是
B、 、 的夹角是
C、
D、
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设 为虚数单位，已知复数 满足 ，则复数 的虚部为 。
14．如图所示， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，若 平
面 ，则 。15．在 中， ， ，若 与线段 交于点 ，且 ，
，则 的最大值为 。
16．如图所示，长方体 的底面 是正方形，其侧面展开图是边长为 的正方形， 、
分别是侧棱 、 上的动点， ，点 在棱 上，且 ，若 平面 ，则
。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
设方程 的根分别为 、 ，且 ，求实数 的值。
18．（本小题满分12分）
若 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 。
(1)若 ，且 ，求 的坐标；
(2)若 且 与 垂直，求 与 的夹角 。19．（本小题满分12分）
如图，矩形 中， ， 。 、 分别在线段 和 上， ，将矩形 沿
折起。记折起后的矩形为 ，且平面 平面 。
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求证： ；
(3)求四面体 体积的最大值。20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 为线段
上的点，且 ， 。
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离。
21．（本小题满分12分）
如图1，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正(主)视图和侧
(左)视图如图2所示。
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长。22．（本小题满分12分）
如 图 ， 正 方 形 与 直 角 梯 形 所 在 平 面 相 互 垂 直 ， ， ，
。
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离。
