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期中测试卷 04
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．若双曲线 的一个焦点为 ，则 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由双曲线性质： ， ，∴ ， ，故选B。
2．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ，
则 的长为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】建立以 为原点的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
∴ ，故选C。
3．若点 是直线 ： 外一点，则方程 表示( )。
A、过点 且与 垂直的直线 B、过点 且与 平行的直线
C、不过点 且与 垂直的直线 D、不过点 且与 平行的直线
【答案】D
【解析】∵点 不在直线 ： 上，∴ ，
∴直线 不过点 ，
又直线 与直线 ： 平行，故选D。
4．已知圆 ： 和两点 、 ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由 得点 在圆 上，因此由两圆有交点得：
，即 的最小值为 ，故选A。
5．若圆 上有且仅有两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围为( )。
A、 B、C、 D、
【答案】B
【解析】由题意已知圆与圆 相交，∴ ，
解得 且 ，故选B。
6．如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， 是棱 的中点，已知 ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】∵ 平面 ，∴ 、 ，
过点 作 ，又 ，则 、 、 两两垂直，
如图，以 为坐标原点，直线 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，又 为 中点，
则
故 ， ， ∴
，
设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，故选C。
另解：还原长方体，则 ， ，
则异面直线 与 所成的角为 与 所成的角即 ，
在 中， ，
，
，
∴ ，故选C。
7．已知 、 是椭圆上关于原点对称的两点， 是椭圆上任意一点，且直线 、 的斜率分别为 、
( )，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率为 ( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】设 ， ，则 ，可得 ， ， ，
又 时 ， ∴ ， ∴
，
又∵ ，∴ ，故选D。
8．已知双曲线 ( ， )与抛物线 ( )有相同的焦点 ，且双曲线的一条渐近
线与抛物线的准线交于点 ， ，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】由题意知抛物线 ( )的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
由 在抛物线的准线上，则 ，则 ，则焦点坐标为 ，
∴ ，则 ，解得 ，
∴双曲线的渐近线方程是 ，将 代入渐近线的方程 ，即 ，
则双曲线的离心率为 ，故选C。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】AC
【解析】设所求直线方程为 ( 、 不同时为 )，
显然，当 或 时，所得直线方程不满足题意，故 、 均不为 ，
当 时， ，当 时， ，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则 ，
令 ，则 ，整理，得 ，
解得 ，或 ，则 ，或 ，
故所求直线方程为 或 ，故选AC。
10．给出下列命题，其中正确的有( )。
A、空间任意三个向量都可以作为一组基底
B、已知向量 ，则 、 与任何向量都不能构成空间的一组基底
C、 、 、 、 是空间四点，若 、 、 不能构空间的一组基底，则 、 、 、 共面
D、已知 是空间向量的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底
【答案】BCD
【解析】A选项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错，
B选项，若 ，则 、 与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B对，
C选项，若 、 、 不能构空间的一组基底，则 、 、 共面，
又 、 、 过相同的点 ，则 、 、 、 四点共面，故C对，
D选项，∵ 是空间向量的一组基底，则 、 与向量 一定不共面，
∴ 也可以构成空间向量的一组基底，
故选CBD。
11．设抛物线 ： ( )的焦点为 ，点 在 上， ，若以 为直径的圆过点 ，
则 的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD
【解析】设 ，则 ，则 ，又 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，将 代入，
得 ，即 ， ，由 得： ，
解得 或 ，则方程为 或 ，故选BD。
12．我们把离心率为 的双曲线 ( ， )称为黄金双曲线。如图所示， 、
是双曲线的实轴顶点， 、 是虚轴顶点， 、 是焦点，过右焦点 且垂直于 轴的直线交双曲线于
、 两点，则下列命题正确的是( )。A、双曲线 是黄金双曲线
B、若 ，则该双曲线是黄金双曲线
C、若 ，则该双曲线是黄金双曲线
D、若 ，则该双曲线是黄金双曲线
【答案】BCD
【解析】A选项， ，不是黄金双曲线；
B选项， ，化成 ，即 ，
又 ，解得 ，是黄金双曲线；
C选项，∵ ，∴ ，∴ ，
化简得 ，由②知是黄金双曲线；
D选项，∵ ，∴ 轴， ，且 是等腰 ，∴ ，
即 ，由②知是黄金双曲线；
综上，BCD是黄金双曲线，故选BCD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知入射光线经过点 ，被直线 ： 反射，反射光线经过点 ，则反射
光线所在直线的方程为 。
【答案】
【解析】设点 关于直线 ： 的对称点为 ，则反射光线所在直线过
点 ，
∴ ，∴解得 ， ，又反射光线经过点 ，
∴所求直线的方程为 ，即 。
14．如图所示， 平面 ， ， ， ，则二面角 的余弦值大
小为________。
【答案】
【解析】以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
∵ 、 、 、
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ，
则 且 ，
∴ 可 取 ， ， ∴
。
15．抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 、 两点，且满足 ，点 为原点，
则 的面积为 。
【答案】
【解析】如图，由题意可知 ， ，
由 得 ，
又根据 ∽ 可得 ，
即 ，即 ，解得 ， ，
∴ 点的坐标为 或 ，∴ 。
16．如图所示，在正四棱柱 中， ， ，动点 、 分别在线段 、
上，则线段 长度的最小值是 。
【答案】
【解析】如图建系，则 ， ， ， ，
设点 ， ， ，则 ，
，则 ，
设点 ， ， ，
则 ， ，则 ，
∴，
则当且仅当 、 时，线段 长度取最小值是 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知圆 上一定点 ， 为圆内一点， 、 为圆上的动点。
(1)求线段 中点的轨迹方程；
(2)若 ，求线段 中点的轨迹方程。【解析】(1)设 的中点为 ，由中点坐标公式可知， 点坐标为 ，
2分
∵ 点在圆 上，∴ ， 4分
故线段 中点的轨迹方程为 ； 5
分
(2)设 的中点为 ，在 中， ， 6
分
设 为坐标原点，连接 ，则 ，
∴ ， 8分
∴ ，
故线段 中点的轨迹方程为 。 10
分
18．（本小题满分12分）
已知点 ，点 是圆 ： 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 。
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若直线 与点 的轨迹有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以 为直径的圆的内部，求实
数 的取值范围。
【解析】(1)由题意知： ， ，∴ ， 2分
∴ 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，其轨迹方程为 ； 3分
(2)设 、 ，则将直线与椭圆的方程联立得 ，消去 得：
5分
，由 得： ，① 7分
∴ ， ， 8
分
∵原点 总在以 为直径的圆的内部，∴ ，即 ， 9分
而 ，∴ ， 10
分
即 ，∴ ，且满足①式 的取值范围是 。 12
分
19．（本小题满分12分）
如图所示，已知三棱柱 ，底面三角形 为正三角形，侧棱 底面 ， ，， 为 的中点， 为 的中点。
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值。
【解析】(1)证明：由题意可知，三棱柱 为直三棱柱，则四边形 为矩形，
连接 交 于点 ，连 、 ，则 为 和 的中点，
又∵ 为 的中点，∴ ， 2分
又∵ 为 的中点， ∴ ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ， 4分
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ； 5分
(2)∵三角形 为正三角形，∴ ，又 底面 ，∴ 底面 ，
以 为原点， 、 、 为 、 、 轴建立直角坐标系，如图建系， 6分
则 ， ， ， ，
， ， 7分
设平面 的法向量为 ，又 ， ，
则 ，得 ，
令 ， 则 ， ， 则 ，
9分
又 可 知 平 面 的 法 向 量 为 ，
10分
设平面 与平面 的夹角的平面角为 ，
则 ，∴平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值 。 12分
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 ： ( )的左、右顶点分别为 、 ，其离心率 ，过点 的直
线 与椭圆 交于 、 两点(异于 、 )，当直线 的斜率不存在时， 。
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 交于点 ，试问：点 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请
说明理由。
【解析】(1)由题意可设椭圆的半焦距为 ，由题意得： ， ， ， 2分
解得 ， ， ，∴椭圆 的方程为： ； 4分
(2)由题意可知直线 的倾角不为 ，
设直线 的方程为 ， 、 ，
5分
联立 ，由题意可知 恒成立，
6分
由 、 是上方程的两根可知： ，
， 7
分
直线 的方程为： ，直线 的方程为： ， 8
分
得： ，
10分
把 代入得：
，
11分
即 ，故点 恒在定直线 上。 12分
21．（本小题满分12分）
如图所示，在多面体 中，底面 是梯形， ， ， ， 底面 ， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上。
(1)证明： 平面 ；
(2)如果直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求点 的位置。
【解析】(1)证明：在梯形 中，∵ ，则 ，
∴ ， ，∴ ， 1分
∵点 为 的中点，∴ ，∴ ， 2分
∴四边形 是平行四边形， ，∴ ， 3分
又∵ 底面 ， 底面 ，∴ ， 4分
又 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ； 5分
(2)解：以 建系，则 、 、 、
、 ，
∴ ， ， ，
6分
设 ( )，则 ，
则 ， ，
7分
设平面 的法向量为 ，由 得 ，
8分
令 得平面 的一个法向量为 ，
9分
则
，
解得 或 (舍)，即 ， 11分
∴当点 与点 重合时直线 与平面 所成的角的正弦值为 。 12分
22．（本小题满分12分）已知椭圆 ： ( )上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 倍，且点
在椭圆 上。
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 的 、 两点， 与直线 ：
交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ，求证： 。
【解析】(1)∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为 、 ，
∴依题意有： ， 1
分
∵ ，∴ ，故可设椭圆 的方程为： ， 2分
∵点 在椭圆 上，∴将其代入椭圆 的方程得 ，
3分
∴椭圆 的方程为 ； 4分
(2)依题意，直线 不可能与 轴垂直，故可设直线 的方程为： ，
即 ， 5
分
设 与椭圆 的两个交点为 、 ，
将 代入方程 化简得：
， 6
分
∴ 恒成立，∴ ， ， 7
分
∴
，
9分又由 ，解得 ， ， 10分
即 点的坐标为 ，∴ ，
11分
∴ ，原命题得证。 12
分
