数学答案-辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年9月试卷_0910辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

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辽宁省名校联盟 2024-2025 学年高一第一次月考—数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列关系式，其中正确的是（ ）。
A、0∈∅ B、{0}⊆{x|x2 =x}
x+2y=5
C、{0}⊆ N D、{1，2}⊆{(x，y)| }
+ 3x−y=1
【答案】B
【解析】A选项，∅是没有任何元素的集合，错，
B选项，∵{x|x2 =x}={0，1}，∴{0}⊆{x|x2 =x}，对，
C选项，N 是正整数集合，错，
+
x+2y=5
D选项，{(x，y)| }={(1，2)}，元素是点坐标，错，
3x−y=1
故选B。
2．已知命题 p：∀x∈[0，+∞)，x2 +1≥1，则命题 p的否定为（ ）。
A、∃x∉[0，+∞)，x2 +1<1 B、∃x∈[0，+∞)，x2 +1<1
C、∀x∉[0，+∞)，x2 +1<1 D、∀x∈[0，+∞)，x2 +1≤1
【答案】B
【解析】命题 p：∀x∈[0，+∞)，x2 +1≥1否定为∃x∈[0，+∞)，x2 +1<1，故选B。
3．已知a、b、c∈R，则下列命题正确的是（ ）。
1 1
A、若ab≠0且a<b，则 > B、若0<a<1，则a3 <a
a b
b+1 b
C、若a<b<0，则 < D、若c<b<a且ac<0，则cb2 <ab2
a+1 a
【答案】B
1 1
【解析】A选项，当a<0<b时，满足ab≠0且a<b，但是不满足 > ，错，
a b
B选项，0<a<1，∴a2 <1，∴a⋅(a2 −1)<0，即a3−a<0，即a3 <a，对，
b+1 b b+1 b
C选项，当−1<a<0时，a(a+1)<0，若 < 成立，则需[a⋅(a+1)]⋅ > ⋅[a⋅(a+1)]，
a+1 a a+1 a
∴ab+a>ab+b，∴a>b与a<b<0矛盾，错，
D选项，当b=0时，若c<b<a且ac<0，则cb2 =ab2不能得出cb2 <ab2，错，
故选B。
4．已知 p：0<x<1，那么 p的一个充分条件是（ ）。
1
学科网（北京）股份有限公司1 3 1
A、1<x<3 B、−1<x<1 C、 <x< D、 <x<5
3 4 2
【答案】C
【解析】A选项，∵1<x<3推不出0<x<1，∴1<x<3不是 p：0< x<1的充分条件，错，
B选项，∵−1<x<1推不出0<x<1，∴−1<x<1不是 p：0< x<1的充分条件，错，
1 3 1 3
C选项，∵ <x< 一定能推出0<x<1，∴ <x< 是 p：0< x<1的充分条件，对，
3 4 3 4
1 1
D选项，∵ <x<5推不出0<x<1，∴ <x<5不是 p：0< x<1的充分条件，错，
2 2
故选C。
5．设全集U ={1，2，3，4，5，6}，且U 的子集可表示由0、1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符
为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集
合A、B，我们定义集合运算A−B={x|x∈A且x∉B}，A∗B=(A−B)(B−A)。若A={2，3，4，5}、B={3，5，6}，则
A∗B表示的6位字符串是（ ）。
A、101010 B、011001 C、010101 D、000111
【答案】C
【解析】由题意可得若A={2，3，4，5}、B={3，5，6}，则A∗B={2，4，6}，
∴此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，
其余字符均为0，即A∗B表示的6位字符串是010101，故选C。
6．已知方程x2 +2ax+a+6=0的两根分别是x 和x ，且满足x2⋅x +x ⋅x2 ≥10，则实数a的取值范围为（ ）。
1 2 1 2 1 2
A、[−5，−1] B、[1，5] C、[−5，−2] D、(3，5]
【答案】C
【解析】∵方程x2 +2ax+a+6=0的两根分别是x 和x ，
1 2
∴∆=4a2 −4(a+6)≥0，解得a≤−2或a≥3，x +x =−2a、x ⋅x =a+6，
1 2 1 2
∵x2⋅x +x ⋅x2 =x ⋅x ⋅(x +x )≥10，∴(a+6)⋅(−2a)≥10，解得−5≤a≤−1，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴实数a的取值范围为[−5，−2]，故选C。
7．已知命题 p：|1−2x|≤5，命题q：x2 −4x+4−9m2 ≤0（m>0）。若命题q是命题 p的充分不必要条件，则实数
m的取值范围为（ ）。
1 1 1 4 1 4
A、(0，) B、(0，] C、( ，) D、[ ，]
3 3 3 3 3 3
【答案】B
【解析】由题意 p：|1−2x|≤5中，解得−2≤x≤3，在q：[x−(2+m)][x−(2−m)]≤0（m>0）中，
−3m+2≥−2

解得−3m+2≤x≤3m+2，∵q是 p的充分不必要条件，∴3m+2≤3 ，等号不同时成立，

m>0
2
学科网（北京）股份有限公司1 1
∴0<m≤ ，∴实数m的取值范围为(0，]，故选B。
3 3
1 1 a(b+2c)
8．若关于x的不等式 x2 +bx+c<0（ab>1）的解集为空集，则T = + 的最小值为（ ）。
a 2(ab−1) ab−1
A、 2 B、2 C、2 2 D、4
【答案】D
1 4c ab2 1 a(b+2c) 1+2ab+a2b2
【解析】 >0，b2 − ≤0，得c≥ ，∴T = + ≥ ，
a a 4 2(ab−1) ab−1 2(ab−1)
1+2(m+1)+(m+1)2 m 2
令ab−1=m，则m>0，∴T ≥ = + +2≥4，故选D。
2m 2 m
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知集合P={(x，y)|x−y=0}、集合Q={(x，y)|x⋅y=1}，则下列说法正确的是（ ）。
A、PQ=R B、PQ={(1，1)，(−1，−1)}
C、PQ={(x，y)|x=±1，y=±1} D、PQ有3个真子集
【答案】BD
1
【解析】由题意得集合P表示直线y=x上所有的点，集合Q表示y= 上所有的点，PQ是点集，A选项错，
x
y=x
 x=1 x=−1
由
1
得 或 ，∴PQ={(1，1)，(−1，−1)}，∴B选项对，C选项错，
y= y=1 y=−1
 x
∴PQ有3个真子集：∅、{(1，1)}、{(−1，−1)}，D选项对，
故选BD。
10．已知条件 p：{x|x2 +x−6=0}，条件q：{x|mx+1=0}，且 p是q的必要条件，则实数m的值可以是（ ）。
1 1 1
A、− B、0 C、 D、
2 3 2
【答案】ABC
【解析】设集合A={x|x2 +x−6=0}={x|(x+3)(x−2)={−3，2}、集合B={x|mx+1=0}={x|mx=−1}，
∵ p是q的必要条件，∴B⊆ A，
当B=∅时，由mx+1=0无解可得m=0，符合题意，
1
当B≠∅时，B={2}或B={−3}，当B={2}时，由2m+1=0解得m=− ，
2
1
当B={−3}时，由−3m+1=0解得m= ，
3
1 1
综上所述，实数m的取值为0、− 、 ，故选ABC。
2 3
3
学科网（北京）股份有限公司x x+1 4x+a
11．已知关于x的方程 + = 只有一个实数根，则实数a的可能取值为（ ）。
x+1 x x(x+1)
1
A、 B、1 C、0 D、5
2
【答案】ABD
x x+1 4x+a
【解析】对方程 + = ，去分母可得：2x2 −2x+1−a=0，且x≠−1且x≠0，
x+1 x x(x+1)
此时∆=(−2)2 −4×2×(1−a)=8a−4，
1 1
当∆=0时，即a= 时，此时方程为2x2 −2x+ =0，即4x2 −4x+1=(2x−1)2 =0，
2 2
1
解得x= ，符合题意，
2
1 1− 2a−1 1+ 2a−1
当∆>0，即a> 时，方程2x2 −2x+1−a=0有两根x = 、x = >0，
2 1 2 2 2
当x =−1或x =0时，x 为增根，此时方程只有一个实根，
1 1 1
1− 2a−1
当x = =−1时，a=5，符合题意，
1
2
1− 2a−1
当x = =0时，a=1，符合题意，
1 2
1
综上所述，实数a的可能取值为 或1或5，故选ABD。
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知实数a满足：a+a−1 =3，则a3+a−3 = 。
【答案】18
【解析】a3 +a−3 =(a1+a−1)⋅(a2 +a1⋅a−1+a−2)=(a1+a−1)⋅[(a1+a−1)2 −3]=18。
b
13．若两个正实数a、b满足4a+b=ab，且存在这样的a、b使不等式a+ <m2 +3m有解，则实数m的取值范围
4
为 。
【答案】(−∞，−4)(1，+∞)
1 4
【解析】∵两个正实数a、b满足4a+b=ab，两边同除以ab得 + =1，
a b
b 1 4 b b 4a b 4a
∴a+ =( + )(a+ )=1+1+ + ≥2+2× ⋅ =4，
4 a b 4 4a b 4a b
b 4a b
当且仅当 = ，即a=2、b=8时，等号成立，则a+ 的最小值为4，
4a b 4
b
若不等式m2 +3m>a+ 有解，则m2 +3m>4，即m2 +3m−4=(m+4)(m−1)>0，
4
4
学科网（北京）股份有限公司解得m<−4或m>1，∴实数m的取值范围为(−∞，−4)(1，+∞)。
x2 −2x−8>0
14．已知关于x的不等式组 仅有一个整数解，则实数k 的取值范围为 。
 2x2 +(2k+7)x+7k <0
【答案】[−5，3)(4，5]
【解析】由不等式x2 −2x−8=(x+2)(x−4)>0，解得x<−2或x>4，
7
解方程2x2 +(2k+7)x+7k =0，解得x =− 、x =−k，
1 2 2
7 7 7
①若−k <− ，即k > 时，不等式2x2 +(2k+7)x+7k <0的解集为(−k，− )，
2 2 2
若不等式组只有一个整数解，则−5≤k <−4，解得4<k ≤5，
7 7 7
②若−k >− ，即k < 时，不等式2x2 +(2k+7)x+7k <0的解集为(− ，−k)，
2 2 2
若不等式组只有一个整数解，则−3<−k ≤5，解得−5≤k <3，
综上所述，实数k 的取值范围为[−5，3)(4，5]。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，经计算n（n∈N∗）年内的总维修保养费用为
4n2 +20n万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入。假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元。（纯利润=
累计收入-总维修保养费用−投资成本）
（1）写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；
（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目；
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由。
【解析】（1）由题意可知y=100n−(4n2 +20n)−144=−4n2 +80n−144（n∈N∗）， 2分
令y>0，即−4n2 +80n−144>0，即n2 −20n+36=(n−2)(n−18)>0，解得2<n<18，
∴从第3年起开始盈利； 5分
（2）若选择方案①，设年平均利润为y 万元，
1
y 36 36
则y = =80−4×(n+ )≤80−4×2 n⋅ =32，
1 n n n
36
当且仅当n= 时，即n=6时等号成立，∴当n=6时，y 取得最大值32， 8分
n 1
此时该项目共获利32×6+72=264（万元），
若选择方案②，纯利润y=−4n2 +80n−144=−4(n−10)2 +256，
∴当n=10时，y取得最大值256，此时该项目共获利256+8=264（万元）， 11分
以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年，
5
学科网（北京）股份有限公司∴仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展。 13分
16．（本小题满分15分）根据要求完成下列问题：
（1）已知x+ y=4，是否存在正实数x、y使得x⋅y=5？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由；
（2）已知a、b、c、d∈R，比较(a2 +b2)(c2 +d2)与(ac+bd)2的大小并说明理由；
（3）利用（1）的结论解决下面问题：已知m、n均为正数，且m2 +n2 =5，求2m+n的最大值。
【解析】（1）不存在，∵x>0、y>0，∴x+ y≥2 xy ，又∵x+ y=4，∴4≥2 xy ，∴x⋅y≤4，
∴不存在x、y使得x⋅y=5； 5分
（2）(a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac+bd)2，证明如下：
(a2 +b2)(c2 +d2)−(ac+bd)2 =a2d2 +b2c2 −2abcd =(ad −bc)2 ≥0，
当且仅当ad =bc时等号成立，∴(a2+b2)(c2 +d2)≥(ac+bd)2； 10分
（3）由（1）得(22 +12)(m2 +n2)≥(2m+n)2，∴(2m+n)2 ≤5×5=25，∴2m+n≤5，
当且仅当m=2n，即m=2、n=1时等号成立，∴2m+n的最大值为5。 15分
17．（本小题满分15分）根据要求完成下列问题：
x−4
（1）已知命题 p： <0，命题q：x2 −(a+1)x+a<0（a∈R），且命题 p是命题q的必要不充分条件，求实数a
x+3
的取值范围。
（2）已知不等式|2x−1|<2的解集与关于x的不等式−x2 − px+q>0（ p、q∈R）的解集相同，若实数a，b∈R 满
+
1 4
足a+b= p+4q，求 + 的最小值。
a b
x−4
【解析】（1）命题 p： <0，解得−3<x<4，设命题 p表示集合A={x|−3<x<4}， 2分
x+3
⊂
设命题q表示集合B，∵命题 p是命题q的必要不充分条件，∴B ≠ A， 4分
x2 −(a+1)x+a<0，即(x−1)(x−a)<0， 5分
⊂
当a=1时，B=∅，B ≠ A，符合要求，可取，
⊂
当a<1时，解得a<x<1，∵B ≠ A，∴a≥−3，解得−3≤a<1，经检验，符合要求，可取，
⊂
当a>1时，解得1<x<a，∵B ≠ A，∴a≤4，解得1<a≤4，经检验，符合要求，可取，
综上所述，实数a的取值范围为[−3，4]； 8分
1 3
（2）由|2x−1|<2得−2<2x−1<2，解得− <x< ， 10分
2 2
1 3
又由−x2 − px+q>0得x2 + px−q<0，其解集为− <x< ，
2 2
1 3 1 3 1 3
∴− 和 是方程x2 + px−q=0的两根，根据韦达定理得− + =−p、− × =−q，
2 2 2 2 2 2
3
∴ p=−1、q= ，∴a+b=2， 13分
4
6
学科网（北京）股份有限公司1 4 1 1 4 1 b 4a 1 b 4a 9
则 + = (a+b)( + )= ×( + +5)≥ ×(2 ⋅ +5)= ，
a b 2 a b 2 a b 2 a b 2
b 4a 2 4 9
当且仅当 = 时，即b=2a时取等号，即a= 、b= 时，有最小值为 。 15分
a b 3 3 2
18．（本小题满分17分）根据要求完成下列问题：
（1）已知函数y=(k2 +4k−5)x2 +4(1−k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k 的取值范围；
（2）关于x的不等式(m−2)⋅x2 −mx−1≥0的解集为[x，x ]，且1≤|x −x |≤3，求实数m的取值范围。
1 2 1 2
【解析】（1）当k2 +4k−5=0时，即(k+5)(k−1)=0时，解得k =−5或k =1， 1分
当k =−5时，y=24x+3的图像不可能都在x轴上方，不符合题意，舍去， 2分
当k =1时，y=3的图像都在x轴上方，符合题意，可取， 3分
当k2 +4k−5≠0时，若函数y=(k2 +4k−5)x2 +4(1−k)x+3的图像都在x轴上方，
则只需k2 +4k−5>0且∆=16(1−k)2 −12(k2 +4k−5)<0，
即(k+5)(k−1)>0且(k−1)(k−19)<0，解得1<k <19， 7分
综上所述，1≤k <19，即实数k 的取值范围为[1，19)； 8分
（2）由题意可知m−2<0且方程(m−2)⋅x2 −mx−1=0的两根为x 、x ，
1 2
则∆=m2 +4(m−2)=m2 +4m−8=(m+2)2 −12>0，解得m≤−2 3−2或m≥2 3−2，
∴m≤−2 3−2或2 3−2≤m<2， 10分
m 1
根据韦达定理得x +x = 、x ⋅x =− ， 11分
1 2 m−2 1 2 m−2
m 4 m2 +4m−8
又∵1≤|x −x |≤3，∴1≤(x +x )2 −4x ⋅x ≤3，∴1≤( )2 + = ≤3，
1 2 1 2 1 2 m−2 m−2 m2 −4m+4
3 3 5− 3
∴m≥ 且m2 −8m+10≥0，∴ ≤m≤ ， 16分
2 2 2
3 5− 3 3 5− 3
综上所述， ≤m≤ ，∴实数m的取值范围为[ ， ]。 17分
2 2 2 2
19．（本小题满分17分）根据要求完成下列问题：
（1）已知集合A={x|ax2 +x+1=0}、集合B={x|x≥0}，且满足AB=∅，求实数a的取值范围；
1
（2）设数集C 满足：1∉C，又若实数m是数集C 中的一个元素，则 一定也是数集C 中的一个元素，求证：
1−m
①若2∈C，则集合C 中还有其他两个元素；
②集合C 不可能是单元素集合。
【解析】（1）当a=0时，A={x|x+1=0}={−1}，此时AB=∅， 1分
当a≠0时，∵AB=∅，∴A=∅或关于x的方程ax2 +x+1=0的根均为负数， 2分
7
学科网（北京）股份有限公司1
当A=∅时，关于x的方程ax2 +x+1=0无实数根，∴∆=1−4a<0，解得a> ，4分
4
当关于x的方程ax2 +x+1=0的根x 、x 均为负数时，
1 2

∆=1−4a≥0
  1
 1 a≤ 1
有x +x =− <0，解得 4，即0<a≤ ， 7分
1 2
 a  a>0 4
 1
xx = >0
 1 2 a
综上所述，实数a的取值范围为[0，+∞)； 8分
1 1 1 1 1
（2）若2∈C，则 =−1∈C，若−1∈C，则 = ∈C ，若 ∈C，则 =2∈C， 11分
1−2 1−(−1) 2 2 1
1−
2
1
∴当2∈C时，集合C 中必含有另两个元素−1、 ； 12分
2
1
（2）假设集合C 中只有1个元素n（n∈R），由题意可知 ∈C，
1−n
1
∵集合C 为单元素集合，∴n= ，
1−n
即n2−n+1=0，而∆=1−4=−3<0，则此方程无实数解，
∴假设不成立，∴集合C 不可能是单元素集合。 17分
8
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