数学答案-湖北武汉洪山高级中学2024年高一上学期9月考试_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年9月试卷_0928湖北武汉洪山高级中学2024年高一上学期9月考试数学

9月月考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知命题p：∀x∈R，−x2 +4x+3>0，则命题p的否定为( )
A. ∀x∈R，−x2 +4x+30 B. ∀x∈R，−x2 +4x+3<0
C. ∃x∈R，−x2 +4x+30 D. ∃x∈R，−x2 +4x+3<0
【答案】C
2.下列各组函数是同一函数的是（ ）
x
A. y = 与y =1 B. y = (x−1)2 与y=x−1
x
x2 x3+x
C. y = 与y = x D. y = 与y = x
x x2 +1
【答案】D
b
3. “a>b”是“ <1”的（ ）
a
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
b
【解析】a>0时，由 <1，解得：a>b，a<0时，解得：a<b，不是必要条件，
a
b
反之a>b也推不出 <1，比如a=0,b=−1，不是充分条件，
a
b
故“a>b”是“ <1”的既不充分也不必要条件．
a
故选：D．
4. 若a>b，d >c，且 ， ，则( )
A. b<a<c<d B. b<c<a<d C. D. b<c<d <a
【答案】B
解：因为a>b， ，所以b<c<a，
又因为 ，所以d >a或d <b，
因为d >c，所以d <b不合要求，所以d >a，
学科网（北京）股份有限公司综上：b<c<a<d.
故选：B
【解析】
 1   2k+1 
5. 已知集合A=x x=2k+ ,k∈Z，B=x x= ,k∈Z，则（ ）
 3   3 
A. A⊆B B. A∩B=∅ C. A= B D. A⊇ B
【答案】A
 1   6k+1 
【详解】A=x x=2k+ ,k∈Z=x x= ,k∈Z，
 3   3 
当k∈Z时，2k+1表示2的整数倍与1的和，6k+1表示6的整数倍与1的和，
故A⊆B，
故选：A
{ }
6. 不等式ax2 −bx+c>0的解集为 x −2< x<1 ，则函数 y=ax2 −bx+c的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
{ }
【详解】因为ax2 −bx+c>0的解集为 x −2< x<1 ，
所以方程ax2 −bx+c=0的两根分别为−2和1，且a<0，
 b
−2+1= ,
  a b=−a,
则 变形可得
(−2 )×1=
c
,
c=−2a,
 a
故函数y =ax2 −bx+c=ax2 +ax−2a=a ( x+2 )( x−1 ) 的图象开口向下，
学科网（北京）股份有限公司且与x轴的交点坐标为 ( 1,0 ) 和 (−2,0 ) ，故A选项的图象符合.
故选：A
7. 关于x的不等式x2−(1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A． { a −2≤a<−1或3<a≤4 } B． { a −2≤a≤−1或3≤a≤4 }
 1 3   1 3 
C．a −1≤a<− 或 <a≤2 D．a −1≤a≤− 或 ≤a≤2
 2 2   2 2 
【答案】C
【解析】由x2−(1+2a)x+2a<0可得(x−1)(x−2a)<0，
1
当a= 时，(x−1)(x−2a)=(x−1)2 ≥0，即原不等式无解，不满足题意；
2
1
当a> 时，原不等式解得1<x<2a，由于解集中恰有2个整数，
2
3
所以该整数解为2和3，因此可得3<2a≤4，即 <a≤2；
2
1
当a< 时，原不等式解得2a<x<1，由于解集中恰有2个整数，
2
1
所以该整数解为−1和0，因此由数轴法可得−2≤2a<−1，即−1≤a<− ；
2
1 3 1 3
综上：−1≤a<− 或 <a≤2，所以实数a的取值范围为{a|−1≤a<− 或 <a≤2}．故选：C．
2 2 2 2
8. 已知[ x ]表示不超过x的最大整数，集合A= { x∈Z 0<[x]<3 } ，B= { x ( x2+ax )( x2+2x+b ) =0 } ，且
A∩ B=∅，则集合B的子集个数为（ ）．
R
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【详解】由题设可知，A={ x∈Z|0<[x]<3 }={1,2}，
( )
又因为A∩  B =∅，所以A⊆B，
R
而B= { x| ( x2+ax )( x2+2x+b ) =0 } ，
因为x2ax0的解为x=0或x=−a，x2+2x+b=0的两根x ,x 满足x +x =−2，
1 2 1 2
所以1,2分属方程x2ax0与x2+2x+b=0的根，
12+1×a=0 a=−1
若1是x2ax0的根，2是x2+2x+b=0的根，则有 ，解得 ，
22+2×2+b=0 b=−8
学科网（北京）股份有限公司代入x2ax0与x2+2x+b=0，解得x=0或x=1与x=2或x=−4，
故B={0,1,2,−4}；
22+2×a=0 a=−2
若2是x2ax0的根，1是x2+2x+b=0的根，则有 ，解得 ，
12+2×1+b=0 b=−3
代入x2ax0与x2+2x+b=0，解得x=0或x=2与x=1或x=−3，
故B={0,1,2,−3}；
所以不管1,2如何归属方程x2ax0与x2+2x+b=0，集合B总是有4个元素，
故由子集个数公式可得集合B的子集的个数为24=16.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9.已知非空集合A,B,C都是R的子集，满足B⊆ A，A∩C =∅，则( )
A. A∪B = A B.
A∩(
C
)=
A C. B∩C = B D.
B∩(
C
)=B
R R
【答案】ABD
解：对于A选项，由B⊆ A ，可得 A∪B = A，故A选项正确；
对于B选项，由A∩C =∅，可得A⊆ C，从而A∩( C )= A，故B选项正确；
R R
对于C、D选项，结合B⊆ A与 A∩C =∅，可知B∩C =∅，
又B⊆ A⊆C，所以B∩( C )=B，故C选项错误，D选项正确.
R R
故选：ABD.
x+2,x≤−1
10. 已知函数 f(x)= ，下列关于函数 f(x)的结论正确的是（ ）
x2+1,−1<x<2
A． f(x)的定义域是R B． f(x)的值域是(−∞,5)
C．若 f(x)=3，则x= 2 D． f(x)的图象与直线y=2有一个交点
【答案】BCD
【详解】A选项， f (x)的定义域是(−∞,2)，所以A选项错误.
B选项，当x≤−1时，x+2≤1，
当−1<x<2时，0≤x2 <4,1≤x2+1<5，
学科网（北京）股份有限公司所以 f(x)的值域是(−∞,5)，所以B选项正确.
C选项，由B选项的分析可知，若 f(x)=3，
−1<x<2
则 ，解得x= 2，所以C选项正确.
x2+1=3
D选项，画出 f (x)的图象如下图所示，由图可知，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知a>0,b>0,ab+2(a+b)=14，则下列正确的是（ ）
3 3
A．ab的最大值为11−6 2 B． + 的最小值为 2
a+2 b+2
C．(a+1)b最大值为8 D．2a+b的最大值为6
【答案】BC
【详解】依题意，a>0,b>0,ab+2(a+b)=14，
A选项，ab+2(a+b)=14≥ab+2×2 ab，
( )2
ab +4 ab−14≤0，解得0< ab ≤−2+3 2，
a=b
当且仅当
ab+2(a+b)=14
，即a=b=−2+3 2时等号成立，
( )2
所以0<ab≤ −2+3 2 =22−12 2，所以A选项错误.
B选项，ab+2(a+b)=14，ab+4+2(a+b)=(a+2)(b+2)=18，
3 3 a+2+b+2 1
+ =3× = (a+2+b+2)
a+2 b+2 (a+2)(b+2) 6
1 1
≥ ×2 (a+2)⋅(b+2) = × 18= 2，
6 3
当且仅当a+2=b+2,a=b=−2+3 2时等号成立，所以B选项正确.
1 1b+2a+2 2
D选项，14=ab+2(a+b)= b(2a+2)+b+2a≤
 
+b+2a，
2 2 2 
整理得(b+2a)2+12(b+2a)−108≥0，(b+2a+18)(b+2a−6)≥0,b+2a≥6，
当且仅当b=2a+2=4时等号成立，所以D选项错误.
C选项，14=ab+2(a+b)=ab+b+2a+b=b(a+1)+2a+b，
学科网（北京）股份有限公司由D选项的分析可知：b(a+1)=14−(2a+b)≤14−6=8，所以C选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.
【答案】(−∞,1]
1
13. 函数 f(x)= + 1−x 的定义域是_________．
x
【答案】
(−∞,0 )∪(
0,1
]
1
14. ．定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是b−a，其中a，b∈R．已如集合M ={x|m≤x≤m+ }，
2
3
N ={x|n− ≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ；
5
6 3
若m= ，集合M ∪N 的“长度”大于 ，则n的取值范围是 .
5 5
1 8 17 9 
【答案】 /0.1

, ∪ ,2

10 5 10 5 
1 3
【详解】集合M ={x|m≤x≤m+ }，N ={x|n− ≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，
2 5
m≥1  3
 3 n− ≥1 8
由 1 ，可得1≤m≤ ，由 5 ，可得 ≤n≤2．
  m+ 2 ≤2 2  n≤2 5
要使M ∩N 的“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大或m取最大、n取最小时才成立.
 7 3 3 7 1
当m=1，n=2，M ∩N =x ≤x≤ ，“长度”为 − = ，
 5 2 2 5 10
3 8  3 8 8 3 1
当m= ，n= ，M ∩N =x ≤x≤ ，“长度”为 − = ，
2 5  2 5 5 2 10
1
故集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ；
10
6  6 17
若m= ，M =x ≤x≤ ，
5  5 10
3 3 17 3 6 3
要使集合M ∪N 的“长度”大于 ，故n− < − 或n> + ,
5 5 10 5 5 5
17 9 8 8 17 9 
即n< 或n> ,又 ≤n≤2，故n∈  , ∪ ,2 .
10 5 5 5 10 5 
1 8 17 9 
故答案为： ；  , ∪ ,2 .
10 5 10 5 
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
 2x−1  { }
15. (13分)已知R为全集，集合A=x| ≤1,x∈R，集合B= x a−1≤ x≤a+1 ．
 x+1 
(1)求集合A；
学科网（北京）股份有限公司(2)若B∩C Α= B，求实数a的取值范围．
R
【答案】(1)A={ x −1<x≤2 }
(2)
(−∞,−2 ](3,+∞)
2x−1 2x−1 x−2
（1） ≤1，即 −1≤0， ≤0，
x+1 x+1 x+1
(x−2)(x+1)≤0
等价于 ，解得：−1<x≤2，
x+1≠0
故A={ x −1<x≤2 } ；
（2）由（1）得：A={ x −1<x≤2 } ，
所以A={ x x≤−1或 ，
𝑥𝑥 >2}
因为 B∩A=B ，所以B⊆ A，
{ }
又B= x a−1≤ x≤a+1 ，
因为a−1<a+1，故B≠∅，
则a+1≤−1或a−1>2，
解得：a≤−2或a>3，
综上：实数a的取值范围为(−∞,−2 ](3,+∞)
.
16.（15分）已知集合A= { x x2−5x−6<0 } ，B={ x m+1<x<2m−1 } 且B≠∅.
(1)若“命题p:∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若s:x∈B是t:x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1) {m|2<m<5}
 7
(2)m|2<m≤ 
 2
【详解】（1）因为B≠∅，所以2m−1>m+1⇒m>2
命题p:∃x∈A,x∈B是真命题，可知AB≠∅，
因为A={x|−1<x<6}，B={x|m+1<x<2m−1}，
 m>2
 ，∴2<m<5,
−1<m+1<6
学科网（北京）股份有限公司故m的取值范围是{m|2<m<5}
.
（2）若s:x∈B是t:x∈A的充分不必要条件,得B是A的真子集，B≠∅，
2m−1>m+1
 7
 m+1≥−1 ，解得2<m≤ ，
 2
 2m−1≤6
 7
故m的取值范围是m|2<m≤ .
 2
17. （15分已知a,b,c>0， 且a+2b+3c=4．
(2b+3c)2 (a+3c)2 (a+2b)2
(1)证明: + + ≥8．
a+2b 2b+3c a+3c
1 1 a
(2)若2b=3c， 求 − + 的最小值．
2a+1 2b+3 3c+3
(2b+3c)2 (2b+3c)2
【详解】（1） +a+2b≥2 ⋅(a+2b) =2(2b+3c)，①
a+2b a+2b
(a+3c)2 (a+3c)2
+2b+3c≥2 ⋅(2b+3c) =2(a+3c)②
2b+3c 2b+3c
(a+2b)2 (a+2b)2
+a+3c≥2 ⋅(a+3c) =2(a+2b)③
a+3c a+3c
(2b+3c)2 (a+3c)2 (a+2b)2
①+②+③得 + + +2(a+2b+3c)≥4(a+2b+3c)，
a+2b 2b+3c a+3c
(2b+3c)2 (a+3c)2 (a+2b)2
即 + + ≥2(a+2b+3c)=8，
a+2b 2b+3c a+3c
4
当且仅当a=2b=3c= 时，等号成立．
3
（2）由2b=3c，得a+4b=4，即a=4−4b，
1 1 a 1 1 4−4b 1 1 −4b−6+10
所以 − + = − + = − +
2a+1 2b+3 3c+3 2a+1 2b+3 2b+3 2a+1 2b+3 2b+3
1 9
= + −2
2a+1 2b+3
1
由a+4b=4，得2a+8b=8，得(2a+1)+4(2b+3)=21，即 

(2a+1)+4(2b+3)

=1，
21
1 9 1  1 9  1  4(2b+3) 9(2a+1)
所以 + =  +    (2a+1)+4(2b+3)  = 37+ + 
2a+1 2b+3 212a+1 2b+3 21 2a+1 2b+3 
1
4(2b+3) 9(2a+1)
7
≥ [37+2 ⋅ = ．
21 2a+1 2b+3  3

学科网（北京）股份有限公司1 1 a 7 1
所以 − + 的最小值为 −2= ，
2a+1 2b+3 3c+3 3 3
4(2b+3) 9(2a+1) 3
当且仅当 = ，即a=1,b= 时，等号成立．
2a+1 2b+3 4
18. （17分）LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的
年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，
1 100
W(x)= x2 +x，在年产量不小于6万件时，W(x)=7x+ −39.每件产品售价为6元．假设该产品每年
2 x
的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动
成本)
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】解：(1)每件产品售价为6元，∴x万件产品的销售收入为6x万元，
1  1
依题意得，当0< x<6时，L(x)=6x− x2 +x−4=− x2 +5x−4，
2  2
当x6时，
1 17
(2)当0< x<6时，L(x)=− (x−5)2 + ，
2 2
17
当x=5时，L(x)取得最大值 .
2
 100 100
当x6时，L(x)=35−x+ 35−2 x⋅ =35−20=15，
 x  x
100
当且仅当x= ，即x=10时，L(x)取得最大值15.
x
，
∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．
1 2 1 2 1 2 b
19. 问题：正实数a，b满足a+b=1，求 + 的最小值.其中一种解法是： + = +  (a+b)=1+
a b a b a b a
2a b 2a
+ +2≥3+2 2，当且仅当 = 且a+b=1时，即a= 2−1且b=2− 2时取等号.学习上述解法并解
b a b
决下列问题：
学科网（北京）股份有限公司2 3
(1)若正实数x，y满足x+y=1，求 + 的最小值；
x y
x2 y2
(2)若实数a，b，x，y满足 − =1，求证：a2−b2 ≤(x−y)2；
a2 b2
(3)求代数式M = 3m−5− m−2的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【分析】（1）利用“1”的代换
凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
x2 y2 b2x2 a2y2
（2）利用已知，a2−b2 =(a2−b2)×1=(a2−b2)( − )=x2+y2−( + )，然后由基本不等式进行
a2 b2 a2 b2
b2x2 a2y2
放缩： + ≥2 xy ，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
a2 b2
x2 y2
x2 y2 − =1
（3）令x= 3m−5，y= m−2，构造 − =1，即以x2−3y2 =1，即 1 1 ，然后利用（2）的
a2 b2
3
结论可得．
【详解】（1）因为x>0,y>0,x+y=1，
2 3 2 3 3x 2y 3x 2y
所以 + =(x+y)( + )=5+ + ≥5+2 × =5+2 6，
x y x y y x y x
3x 2y
当且仅当 = ，即x= 6−2,y=3− 6时取等号，
y x
所以x+y的最小值是5+2 6．
x2 y2 b2x2 a2y2
（2）a2−b2 =(a2−b2)×1=(a2−b2)( − )=x2+y2−( + )，
a2 b2 a2 b2
b2x2 a2y2 b2x2 a2y2 b2x2 a2y2
又 + ≥2 ⋅ =2 xy ，当且仅当 = 时等号成立，
a2 b2 a2 b2 a2 b2
b2x2 a2y2
所以x2+y2−( + ) ≤x2+y2−2 xy ≤x2+y2−2xy=(x−y)2，
a2 b2
b2x2 a2y2 x2 y2
所以a2−b2 ≤(x−y)2，当且仅当 = 且x,y同号时等号成立．此时x,y满足 − =1.
a2 b2 a2 b2
3m−5≥0
（3）令x= 3m−5，y= m−2，由 得m≥2，
m−2≥0
x2−y2 =(3m−5)−(m−2)=2m−3>0，
又x>0,y>0，所以x> y，
x2 y2
构造 − =1，
a2 b2
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
− =1 1
由x2−3y2 =1，可得 1 1 ，因此a2 =1,b2 = ，
3
3
1 6
由（2）知M = 3m−5− m−2 =x−y≥ a2−b2 = 1− = ，
3 3
1
取等号时， x2 =3y2且x,y同正，
3
6 6 6 13
结合x2−3y2 =1，解得x= ,y= ，即 3m−5= ，m= ．
2 6 2 6
13 6
所以m= 时，M 取得最小值 ．
6 3
b2
2−1
综上：
4
( a2+c2) 的最大值为
2
.
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