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9月月考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知命题p：∀x∈R，−x2 +4x+3>0，则命题p的否定为( )
A. ∀x∈R，−x2 +4x+30 B. ∀x∈R，−x2 +4x+3<0
C. ∃x∈R，−x2 +4x+30 D. ∃x∈R，−x2 +4x+3<0
【答案】C
2.下列各组函数是同一函数的是（ ）
x
A. y = 与y =1 B. y = (x−1)2 与y=x−1
x
x2 x3+x
C. y = 与y = x D. y = 与y = x
x x2 +1
【答案】D
b
3. “a>b”是“ <1”的（ ）
a
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
b
【解析】a>0时，由 <1，解得：a>b，a<0时，解得：ab也推不出 <1，比如a=0,b=−1，不是充分条件，
a
b
故“a>b”是“ <1”的既不充分也不必要条件．
a
故选：D．
4. 若a>b，d >c，且 ， ，则( )
A. bb， ，所以ba或d c，所以d a，
学科网（北京）股份有限公司综上：b0的解集为 x −2< x<1 ，则函数 y=ax2 −bx+c的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
{ }
【详解】因为ax2 −bx+c>0的解集为 x −2< x<1 ，
所以方程ax2 −bx+c=0的两根分别为−2和1，且a<0，
b
−2+1= ,
a b=−a,
则 变形可得
(−2 )×1=
c
,
c=−2a,
a
故函数y =ax2 −bx+c=ax2 +ax−2a=a ( x+2 )( x−1 ) 的图象开口向下，
学科网（北京）股份有限公司且与x轴的交点坐标为 ( 1,0 ) 和 (−2,0 ) ，故A选项的图象符合.
故选：A
7. 关于x的不等式x2−(1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A． { a −2≤a<−1或3 时，原不等式解得10,b>0,ab+2(a+b)=14，则下列正确的是（ ）
3 3
A．ab的最大值为11−6 2 B． + 的最小值为 2
a+2 b+2
C．(a+1)b最大值为8 D．2a+b的最大值为6
【答案】BC
【详解】依题意，a>0,b>0,ab+2(a+b)=14，
A选项，ab+2(a+b)=14≥ab+2×2 ab，
( )2
ab +4 ab−14≤0，解得0< ab ≤−2+3 2，
a=b
当且仅当
ab+2(a+b)=14
，即a=b=−2+3 2时等号成立，
( )2
所以01}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.
【答案】(−∞,1]
1
13. 函数 f(x)= + 1−x 的定义域是_________．
x
【答案】
(−∞,0 )∪(
0,1
]
1
14. ．定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是b−a，其中a，b∈R．已如集合M ={x|m≤x≤m+ }，
2
3
N ={x|n− ≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，则集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ；
5
6 3
若m= ，集合M ∪N 的“长度”大于 ，则n的取值范围是 .
5 5
1 8 17 9
【答案】 /0.1
, ∪ ,2
10 5 10 5
1 3
【详解】集合M ={x|m≤x≤m+ }，N ={x|n− ≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，
2 5
m≥1 3
3 n− ≥1 8
由 1 ，可得1≤m≤ ，由 5 ，可得 ≤n≤2．
m+ 2 ≤2 2 n≤2 5
要使M ∩N 的“长度”最小，只有当m取最小值、n取最大或m取最大、n取最小时才成立.
7 3 3 7 1
当m=1，n=2，M ∩N =x ≤x≤ ，“长度”为 − = ，
5 2 2 5 10
3 8 3 8 8 3 1
当m= ，n= ，M ∩N =x ≤x≤ ，“长度”为 − = ，
2 5 2 5 5 2 10
1
故集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ；
10
6 6 17
若m= ，M =x ≤x≤ ，
5 5 10
3 3 17 3 6 3
要使集合M ∪N 的“长度”大于 ，故n− < − 或n> + ,
5 5 10 5 5 5
17 9 8 8 17 9
即n< 或n> ,又 ≤n≤2，故n∈ , ∪ ,2 .
10 5 5 5 10 5
1 8 17 9
故答案为： ； , ∪ ,2 .
10 5 10 5
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2x−1 { }
15. (13分)已知R为全集，集合A=x| ≤1,x∈R，集合B= x a−1≤ x≤a+1 ．
x+1
(1)求集合A；
学科网（北京）股份有限公司(2)若B∩C Α= B，求实数a的取值范围．
R
【答案】(1)A={ x −12}
因为 B∩A=B ，所以B⊆ A，
{ }
又B= x a−1≤ x≤a+1 ，
因为a−12，
解得：a≤−2或a>3，
综上：实数a的取值范围为(−∞,−2 ](3,+∞)
.
16.（15分）已知集合A= { x x2−5x−6<0 } ，B={ x m+1m+1⇒m>2
命题p:∃x∈A,x∈B是真命题，可知AB≠∅，
因为A={x|−12
，∴2m+1
7
m+1≥−1 ，解得20， 且a+2b+3c=4．
(2b+3c)2 (a+3c)2 (a+2b)2
(1)证明: + + ≥8．
a+2b 2b+3c a+3c
1 1 a
(2)若2b=3c， 求 − + 的最小值．
2a+1 2b+3 3c+3
(2b+3c)2 (2b+3c)2
【详解】（1） +a+2b≥2 ⋅(a+2b) =2(2b+3c)，①
a+2b a+2b
(a+3c)2 (a+3c)2
+2b+3c≥2 ⋅(2b+3c) =2(a+3c)②
2b+3c 2b+3c
(a+2b)2 (a+2b)2
+a+3c≥2 ⋅(a+3c) =2(a+2b)③
a+3c a+3c
(2b+3c)2 (a+3c)2 (a+2b)2
①+②+③得 + + +2(a+2b+3c)≥4(a+2b+3c)，
a+2b 2b+3c a+3c
(2b+3c)2 (a+3c)2 (a+2b)2
即 + + ≥2(a+2b+3c)=8，
a+2b 2b+3c a+3c
4
当且仅当a=2b=3c= 时，等号成立．
3
（2）由2b=3c，得a+4b=4，即a=4−4b，
1 1 a 1 1 4−4b 1 1 −4b−6+10
所以 − + = − + = − +
2a+1 2b+3 3c+3 2a+1 2b+3 2b+3 2a+1 2b+3 2b+3
1 9
= + −2
2a+1 2b+3
1
由a+4b=4，得2a+8b=8，得(2a+1)+4(2b+3)=21，即
(2a+1)+4(2b+3)
=1，
21
1 9 1 1 9 1 4(2b+3) 9(2a+1)
所以 + = + (2a+1)+4(2b+3) = 37+ +
2a+1 2b+3 212a+1 2b+3 21 2a+1 2b+3
1
4(2b+3) 9(2a+1)
7
≥ [37+2 ⋅ = ．
21 2a+1 2b+3 3
学科网（北京）股份有限公司1 1 a 7 1
所以 − + 的最小值为 −2= ，
2a+1 2b+3 3c+3 3 3
4(2b+3) 9(2a+1) 3
当且仅当 = ，即a=1,b= 时，等号成立．
2a+1 2b+3 4
18. （17分）LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的
年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，
1 100
W(x)= x2 +x，在年产量不小于6万件时，W(x)=7x+ −39.每件产品售价为6元．假设该产品每年
2 x
的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动
成本)
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】解：(1)每件产品售价为6元，∴x万件产品的销售收入为6x万元，
1 1
依题意得，当0< x<6时，L(x)=6x− x2 +x−4=− x2 +5x−4，
2 2
当x6时，
1 17
(2)当0< x<6时，L(x)=− (x−5)2 + ，
2 2
17
当x=5时，L(x)取得最大值 .
2
100 100
当x6时，L(x)=35−x+ 35−2 x⋅ =35−20=15，
x x
100
当且仅当x= ，即x=10时，L(x)取得最大值15.
x
，
∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．
1 2 1 2 1 2 b
19. 问题：正实数a，b满足a+b=1，求 + 的最小值.其中一种解法是： + = + (a+b)=1+
a b a b a b a
2a b 2a
+ +2≥3+2 2，当且仅当 = 且a+b=1时，即a= 2−1且b=2− 2时取等号.学习上述解法并解
b a b
决下列问题：
学科网（北京）股份有限公司2 3
(1)若正实数x，y满足x+y=1，求 + 的最小值；
x y
x2 y2
(2)若实数a，b，x，y满足 − =1，求证：a2−b2 ≤(x−y)2；
a2 b2
(3)求代数式M = 3m−5− m−2的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【分析】（1）利用“1”的代换
凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
x2 y2 b2x2 a2y2
（2）利用已知，a2−b2 =(a2−b2)×1=(a2−b2)( − )=x2+y2−( + )，然后由基本不等式进行
a2 b2 a2 b2
b2x2 a2y2
放缩： + ≥2 xy ，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
a2 b2
x2 y2
x2 y2 − =1
（3）令x= 3m−5，y= m−2，构造 − =1，即以x2−3y2 =1，即 1 1 ，然后利用（2）的
a2 b2
3
结论可得．
【详解】（1）因为x>0,y>0,x+y=1，
2 3 2 3 3x 2y 3x 2y
所以 + =(x+y)( + )=5+ + ≥5+2 × =5+2 6，
x y x y y x y x
3x 2y
当且仅当 = ，即x= 6−2,y=3− 6时取等号，
y x
所以x+y的最小值是5+2 6．
x2 y2 b2x2 a2y2
（2）a2−b2 =(a2−b2)×1=(a2−b2)( − )=x2+y2−( + )，
a2 b2 a2 b2
b2x2 a2y2 b2x2 a2y2 b2x2 a2y2
又 + ≥2 ⋅ =2 xy ，当且仅当 = 时等号成立，
a2 b2 a2 b2 a2 b2
b2x2 a2y2
所以x2+y2−( + ) ≤x2+y2−2 xy ≤x2+y2−2xy=(x−y)2，
a2 b2
b2x2 a2y2 x2 y2
所以a2−b2 ≤(x−y)2，当且仅当 = 且x,y同号时等号成立．此时x,y满足 − =1.
a2 b2 a2 b2
3m−5≥0
（3）令x= 3m−5，y= m−2，由 得m≥2，
m−2≥0
x2−y2 =(3m−5)−(m−2)=2m−3>0，
又x>0,y>0，所以x> y，
x2 y2
构造 − =1，
a2 b2
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
− =1 1
由x2−3y2 =1，可得 1 1 ，因此a2 =1,b2 = ，
3
3
1 6
由（2）知M = 3m−5− m−2 =x−y≥ a2−b2 = 1− = ，
3 3
1
取等号时， x2 =3y2且x,y同正，
3
6 6 6 13
结合x2−3y2 =1，解得x= ,y= ，即 3m−5= ，m= ．
2 6 2 6
13 6
所以m= 时，M 取得最小值 ．
6 3
b2
2−1
综上：
4
( a2+c2) 的最大值为
2
.
学科网（北京）股份有限公司
