期中测试卷03（人教A版2019）（测试范围：必修第二册第六、七、八章）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_必修2_03.期中测试

期中测试卷 03 （本卷满分150分，考试时间120分钟） （人教A版2019） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1．设复数 满足 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】A 【解析】由 得 ，∴ ， ∴ 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限，故选A。 2．设 是虚数单位，若复数 ，则 的共轭复数为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】复数 ，根据共轭复数的概念得到 的共轭复数为： ，故选A。 3．在 中， ，点 满足 ，若 ，则 的值为( )。 A、 B、 C、D、 【答案】C 【解析】取 的中点为 ，连接 ，则 ， ∴ ， 设 ，则 ，解得 ， ∴ 是等边三角形，∴ ，故选C。 4．如图所示，在多面体 中，已知四边形 是边长为 的正方形，且 、 均为正 三角形， ， ，则该多面体的体积为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥，在梯形 中易知 ， ∴ ， 则该几何体体积为 ，故选A。 5．已知正四棱柱 中， ， ， 为 的中点，则直线 与平面 的距离为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】连接 交 于 ，连结 ，由题意得 ， ∴ 平面 ，直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，也等于点 到平面 的距离，作 于 ， ， ，则 为 中点， 为所求，故选A。 6．已知正三角形 的边长为 ， 是 边的中点，将三角形 沿 翻折，使 ，若三角 锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】正 如图，将三角形 沿 翻折后，注意以 为底面， 形成三角锥 ，则 平面 ， ∵ ， ，∴ ， 三角锥 的外接球球心一定在经过底面 的外心且垂直于底面 的垂线上， 设球心为 ，外心为 ， 中点为 ，外接球半径为 ，由底面可知 ， 做剖面 ，则 ，过 做 ，垂足为 ， 则 为 中点， ， 在 中， ，则 ，故选A。 7．半径为 的圆 上有三点 、 、 满足 ，点 是圆内一点，则 的取值范围为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A【解析】如图， 与 交于点 ，由 得： 四边形 是菱形，且 ，则 ， ， 由图知 ， ，而 ， ∴ ， 同理 ， ，而 ， ∴ ， ∴ ， ∵点 是圆内一点，则 ，∴ ，故选A。 8．如图为一个正方体 与一个半球 构成的组合体，半球 的底面圆与正方体的上底面 的四边相切，球心 与正方形 的中心重合，将此组合体重新置于一个球 中(球 未画 出)，使正方体的下底面 的顶点均落在球 的表面上，半球 与球 内切，设切点为 ，若四棱锥 的表面积为 ，则球 的表面积为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设球 、半球 的半径分别为 、 ， 则由正方体与半球 的位置关系易知正方体的棱长为 ， 设正方体的下底面的中心为 ，连接 ，则四棱锥 的高 ， 易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为 ， 由题意得 ，得 ， 根据几何体的对称性知球 的球心 在线段 上，连接 、 ， 在 中， ， ， ， 则 ，解得 ， ∴球 的表面积 ，故选B。 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．若复数 满足 ，则关于复数 的说法正确的是( )。 A、复数 的实部为 B、复数 的虚部为 C、复数 的模长为 D、复数 对应的复平面上的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】设 ( )，则 ， 化简得 ，根据对应相等得： ， 解得 ， ，∴ ， ，复数 对应的复平面上的点在实轴上， 故选ABC。 10．两平行平面截半径为 的球，若截面面积分别为 和 ，则这两个平面间的距离是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】AD 【解析】如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧， 则 ， 如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧， 则 ，故选AD。 11．已知 、 、 为三条不同的直线，且 平面 ， 平面 ， ，则下列命题中错误的是 ( )。 A、若 与 是异面直线，则 至少与 、 中的一条相交 B、若 不垂直于 ，则 与 一定不垂直 C、若 ，则必有 D、若 、 ，则必有 【答案】BD 【解析】A选项，若 与 是异面直线，则 至少与 、 中的一条相交，对， B选项， 时，若 ，则 ，此时不论 ， 是否垂直，均有 ，错， C选项，当 时，则 ，由线面平行的性质定理可得 ，对， D选项，若 ，则 ， 时， 与平面 不一定垂直， 此时平面 与平面 也不一定垂直，错，故选BD。 12．已知 、 是两个单位向量， 时， 的最小值为 ，则下列结论正确的是( )。 A、 、 的夹角是 B、 、 的夹角是 C、 D、 【答案】ABD 【解析】由题可知， ， ∵ 、 是两个单位向量，且 的最小值为 ， ∴ 的最小值为 ，则 ，解得 ， ∴ 与 的夹角为 或 ， ∴ 或 ，∴ 或 ， 故选ABD。 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设 为虚数单位，已知复数 满足 ，则复数 的虚部为 。 【答案】 【解析】由 得 ， 故复数 的虚部为 。 14．如图所示， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，若 平 面 ，则 。 【答案】 【解析】连接 交 于点 ，连接 ， ∵ 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，∴ ，∴ 。 15．在 中， ， ，若 与线段 交于点 ，且 ， ，则 的最大值为 。 【答案】D 【解析】∵线段 与线段 交于点 ，设 ( )， 则 ，即 ， 又∵ 、 、 三点共线，则 ，即 ， ∵ ，∴当 为 中点时 最小，此时 最大， 又 ，故此时 ，∴ ，即 ，即 的最大值为 ，故选 D。 16．如图所示，长方体 的底面 是正方形，其侧面展开图是边长为 的正方形， 、 分别是侧棱 、 上的动点， ，点 在棱 上，且 ，若 平面 ，则 。 【答案】 【解析】如图，连接 交 于 ，连接 ， ∵ 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，∴ ， 在 上截取 ，连接 ， 则 ，∴ ， ∴四边形 为平行四边形， 则 ，又∵ ， ， ∴ ，从而 。 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 设方程 的根分别为 、 ，且 ，求实数 的值。 【解析】若 、 为实数，则 ， ，解得 ， 4分 若 、 为虚数，则 且 、 共轭，，解得 ， 9 分 综上， 或 。 10 分 18．（本小题满分12分） 若 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 。 (1)若 ，且 ，求 的坐标； (2)若 且 与 垂直，求 与 的夹角 。 【解析】(1)设 ，∵ ， ，∴ ， ， 2 分 又 ，∴ ， 或 ， 或 ， ∴ 或 ； 6分 (2)∵ 与 垂直，∴ ，即 ， 8 分 又 ， ，代入上式解得 ，∴ ， 10 分 又 ，∴ 。 12 分 19．（本小题满分12分） 如图，矩形 中， ， 。 、 分别在线段 和 上， ，将矩形 沿 折起。记折起后的矩形为 ，且平面 平面 。 (1)求证： 平面 ； (2)若 ，求证： ； (3)求四面体 体积的最大值。 【解析】(1)证明：∵四边形 ， 都是矩形， ∴ ， ，∴四边形 是平行四边形， 2分 ∴ ，∵ 平面 ，∴ 平面 ； 4分 (2)证明：连接 ，设 ，∵平面 平面 ，且 ， ∴ 平面 ，∴ ， 又 ，∴四边形 为正方形，∴ ， 6 分 ∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ， 8 分 (3)解：设 ，则 ，其中 ，由(1)得 平面 ， ∴四面体 的体积为： ， 10 分 当 时，四面体 的体积最大，其最大值为 。 12 分 20．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 为线段 上的点，且 ， 。 (1)求证： 平面 ； (2)若 ，求点 到平面 的距离。 【解析】(1)证明：连接 ，由题意可知 ， ， ∴ ，则 ，∴ ， 2分 ∴ ，则 ， 3 分 则 ，即 ，∵平面 平面 ， ∴ 平面 ， 4分 又∵ 平面 ，∴ ，又∵ ， ， ∴ 平面 ； 6分 (2)由(1)得 ，又∵ ，∴ ， ， 8分 在 中， ，∴ ，则 ， 10 分 设点 到平面 的距离为 ，由等体积法可得 ， 即 ，即 ，故点 到平面 的距离为 。 12 分 21．（本小题满分12分） 如图1，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正(主)视图和侧 (左)视图如图2所示。 (1)证明： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积； (3)在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长。 【解析】(1)证明：∵ 平面 ，∴ ， 1 分 又 ， ，∴ 平面 ，∴ ， 2分 由三视图得在 中， ， 为 中点， 3分 ∴ ， ，∴ 平面 ； 4分 (2)由三视图可得 ，由(1)知 ， 平面 ， 5分 又三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积， ∴所求三棱锥的体积 ； 7 分 (3)取 的中点 ，连接 并延长至 ，使得 ，点 即为所求， 8 分 ∵ 为 中点，∴ ，∵ 平面 ， 平面 ， 9 分 ∴ 平面 ，连接 、 ，四边形 的对角线互相平分， 10 分 ∴ 为平行四边形，∴ ， 11分 又 平面 ，∴在 中， 。 12分 22．（本小题满分12分） 如 图 ， 正 方 形 与 直 角 梯 形 所 在 平 面 相 互 垂 直 ， ， ， 。(1)求证： 平面 ； (2)求点 到平面 的距离。 【解析】(1)设 ，取 中点 ，连接 、 ，∵四边形 是正方形， ∴ 是 的中点，又 是 的中点，∴ ， ， 2分 ∵四边形 是直角梯形， ， ，∴ ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ， 4 分 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，即 平面 ； 6分 (2) ∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ， ∵ ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，∴ 平面 ， ∴ ， 8分 ∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， ， ∵ ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴ ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， ，∴ ， 10 分 设点 到平面 的距离为 ， 由 得： ，即 ，∴ 。 12 分