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期中测试卷 02
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．已知平面向量 ， ，若存在实数 ，使得 ，则实数 的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，则 ，解得 或 ，
又 ，∴ ，∴ ，故选D。
2．下列说法中错误的是( )。
A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行
B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
D、斜二测坐标系取的角可能是
【答案】B
【解析】平行于 轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，
由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确，故选B。
3．在下列命题中，正确命题的个数为( )。
①两个复数不能比较大小；
②若 是纯虚数，则实数 ；
③ 是虚数的一个充要条件是 ；
④若 、 是两个相等的实数，则 是纯虚数；
⑤ 的一个充要条件是 ；
⑥ 的充要条件是 。
A、
B、
C、D、
【答案】B
【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错，
时， ，②错，
为实数时，也有 ，③错，
时， ，④错，
⑤⑥正确，
故选B
4．设 、 是两个不同的平面，则 的充要条件是( )。
A、平面 内任意一条直线与平面 垂直
B、平面 、 都垂直于同一条直线
C、平面 、 都垂直于同一平面
D、平面 内存在一条直线与平面 垂直
【答案】D
【解析】若 ，则平面 内存在直线与平面 不垂直，选项A不正确；
若平面 、 都垂直于同一条直线，则平面 与 平行，选项B不正确；
若平面 、 都垂直于同一平面，则平面 、 可以平行，也可以相交，选项C不正确；
若平面 内存在一条直线与平面 垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知 ，
若 ，则由面面垂直的性质定理知，
平面 内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面 ，故选项D正确；
故选D。
5．如图，在长方体 中，用截面截下一个棱锥 ，则棱锥 的体积与剩
余部分的体积之比为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】设 ， ， ，则长方体 的体积 ，
又 ，且三棱锥 的高为 ，
∴ ，则剩余部分的几何体体积 ，
则 ，故选A。6．四面体 中， ， ， ，则四面体 外接
球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】将四面体 置于一个长方体中，
∴四面体 的外接球即为长方体的外接球，
设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，则根据图形可有 ，
则外接球的直径 ，∴ ，
则球的表面积为 ，故选C。
7．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为
，且相邻的圆都相切， 、 、 、 是其中四个圆的圆心，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】如图所示，建立以 、 为一组基底的基向量，
其中 且 、 的夹角为60°，
∴ ， ，
∴ ，故选B。
8．在长方体 中， ， ， 、 分别为上底面的边 、 的中点，
过 、 的平面与底面 交于 、 两点， 、 分别在下底面的边 、 上， ，平
面 与棱 交于点 ，则直线 与侧面 所成角的正切值为( )。
A、
B、
C、D、
【答案】A
【解析】延长 和 交于点 ，连接 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，且 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，又 ，∴ ，
∵ ∽ ，∴ ，且 ，∴ ，
∵ ∽ ，∴ ，且 ，
∴ ，又 ，∴ ，
又直线 与侧面 所成角为 ，则 ，故选A。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．设 为虚数单位，则下列命题错误的是( )。
A、 ，复数 是纯虚数
B、在复平面内 对应的点位于第三象限
C、若复数 ，则存在复数 ，使得
D、 ，方程 无解
【答案】ABD
【解析】A选项，只有当 时，复数 是纯虚数，错，
B选项， ，对应的点位于第一象限，错，
C选项，若复数 ，则存在复数 ，使得 ，对，
D选项， ，方程 成立，错，
故选ABD。10．如图所示，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则图中阴影部分在正方
体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】AC
【解析】A选项为在 上的投影，C选项为在 上的投影。
11．设 、 、 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有( )。
A、
B、
C、 不与 垂直
D、
【答案】BD
【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，
B选项，由向量的减法运算可知 、 、 恰为一个三角形的三条边长，
由“两边之差小于第三边”，故B真，
C选项，∵ ，
∴ 与 垂直，故C假，
D选项， ，成立，故D真，
故选BD。
12．如图，在直角梯形 中， ， ，且 为 的中点， 、 分别是 、
的中点，将三角形 沿 折起，则下列说法正确的是( )。
A、不论 折至何位置(不在平面 内)，都有 平面
B、不论 折至何位置(不在平面 内)，都有
C、不论 折至何位置(不在平面 内)，都有
D、在折起过程中，一定存在某个位置，使
【答案】ABD
【解析】由已知，在未折叠的原梯形中， ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，折叠后如图所示，
A选项，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴点 为 的中点，故 ，又 ， ，
∴平面 平面 ，故 平面 ，对，
B选项，由已知， ， ，∴ ， ，又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，对，
C选项，假设 ，则 与 确定平面 ，从而 平面 ，
平面 ，与 和 是异面直线矛盾，错，
D选项，当 时， ，∵ ， ， ，
∴ 平面 ， 平面 ，∴ ，对，
故选ABD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．计算 。
【答案】
【解析】原式 。
14．已知在正四面体 中， 是棱 的中点， 是点 在底面 内的射影，则异面直线 与
所成角的余弦值为 。
【答案】
【解析】设正四面体的棱长为 ，则 ，高 ，
设点 在底面内的射影是 ，则 ，
∴ 即为所求异面直线 与 所成角，
则 。
15．已知非零向量 、 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 的取值范围是 。
【答案】
【解析】令 ，则 ， 与 的夹角为 ，
∴ ，又 ，∴ ，∴ 的取值范围是 。
16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕
圆锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程为 ，则这个圆锥的体积为 。
【答案】
【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为 ，
由余弦定理可得 ，
∴ ，设底面圆的半径为 ，则有 ，
解得 ，∴这个圆锥的高为 ，
这个圆锥的体积为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知 、 ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的取值范围。
【解析】∵ ，∴ ， 2
分
∴ 对 恒成立， 4分
当 ，即 时，不等式恒成立， 6
分
当 时， ， 9分
综上， 。 10分
18．（本小题满分12分）
已知三个点 ， ， 。
(1)求证： ；
(2)若四边形 为矩形，求点 的坐标以及矩形 两对角线所夹锐角的余弦值。
【解析】(1)证明：∵ ， ， ，∴ ， ， 2分
∵ ，∴ ，即 ； 4分
(2)解：∵ ，四边形 为矩形，∴ ， 5分
设 点坐标为 ，则 ， 6分
∴ ，解得 ，∴点 坐标为 ， 7
分
从而 ， ，
且 ， ， ， 9
分
设 与 的夹角为 ，则 ， 11
分
∴矩形 的两条对角线所夹锐角的余弦值为 。 12
分
19．（12分）如图，底面为菱形的直棱柱 中， 、 分别为棱 、 的中点。
(1)在图中作一个平面 ，使得 ，且平面 ；(不必给出证明过程，只要求作出 与直棱柱
的截面。)
(2)若 ， ，求点 到所作截面 的距离。
【解析】(1)如图，取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
则平面 即为所求平面 ； 6
分
(2)设点 到平面 的距离为 ，由等体积法得： ，
又 ， 8
分
∵ ，又 ，
∴ ， 10分
又由 得： ，∴ 。 12分
20．（本小题满分12分）
如图，在以 、 、 、 、 、 为顶点的五面体中，平面 平面 ， ，
，四边形 为平行四边形，且 。
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求此五面体的体积。
【解析】(1)过 作 交 于 ，连接 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，
得 平面 ，∴ ， 2
分
∵ ， ， ，∴ ≌ ，∴ ，
由已知 得 为等腰直角三角形，∴ ， 4分
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ， ； 6分
(2)取 中点 ，连接 、 ，由(1)可知， ，又 ，
∴四边形 为平行四边形，棱柱 为斜棱柱且 为此斜棱柱的直截面，
在四棱锥 中，由(1)知， ，
又平面 平面 ，∴ 平面 ，
∴
。 12
分
21．（本小题满分12分）
如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， ， 和平面
所成的角为 ，且点 在平面 上的射影落在 的平分线上。
(1)求证： 平面 ；
(2)求多面体 的体积。【解析】(1)证明：由题意知， 、 都是边长为 的等边三角形，
取 中点 ，连接 、 ，
则 ， ，∵平面 平面 ，∴ 平面 ， 2
分
作 平面 ，则 ，根据题意点 落在 上，∴ ，
易求得 ，∴四边形 是平行四边形， ， 4分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ； 5分
(2)解：∵平面 平面 ， ，∴ 平面 ，
又∵ ，∴ 平面 ， 7
分
∴三棱锥 体积 ， 9
分
又三棱锥 体积 ， 11
分
∴多面体 体积为 。 12分
22．（本小题满分12分）
如图所示，已知四棱锥 ， 平面 ，底面 是直角梯形，其中 ，
， ， 为 边上的中点。
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
(3)求三棱锥 的体积。
【解析】(1)如图，取 的中点 ，连接 、 ，∵ 为 中点，∴ ，且 ，∵ ， ，∴ 且 ，
∴四边形 是平行四边形， 2分
∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ； 4分
(2)在直角梯形 中， ，∴ ，
∴ ，即 ， 6分
又 平面 ，∴ ，又 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ； 8
分
(3)∵ 为 边上的中点， 平面 ，
∴ ， 10
分
∵ ， ，∴ 。 12
分
