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必修第二册 期中测试卷 02
高一数学 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B A D B B A D AB ABC ABC
ACD
二、填空题
a b b sinA √3
13.【60°或 120°】由正弦定理得 = ，所以sinB= = ，所以
sinA sinB a 2
B=60°或120°
14.【(2√5,√5)或(-2√5,-√5)】设a=(x,y),因为|a|=5,b=(2,1),a//b,所以
{x-2y=0, {x=2√5, {x=-2√5,
解得 或 因此向量a的坐标是
x2+ y2=5, y=√5, y=-√5,
(2√5,√5)或(-2√5,-√5)
a b
15.【2】因为B=2A,a=1,b=√3,由正弦定理有 = ，得
sinA sinB
1 √3 √3 √3 √3
= = = ,所以cosA= ，由余弦定理
sinA sinB sin2A 2sinAcosA 2
a2=b2+c2-2bc cosA，得c=2或 c=1(舍)，所以c=2
16.【(0,12)】设△ABC内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，由题意得|⃗BA|=c=2,由余
弦 定 理 得 a2=b2+4-2b,在 锐 角 △ ABC 中 ， a2+b2>4且 a2+4>b2， 所 以
{ 2b2+4-2b>4,
解 得 1b2,
⃗CA·⃗CB=ab cosC= a2+b2-4 =b2-b= ( b- 1) 2 - 1 ∈(0,12)
2 2 4
1
17.(1) a·b=|a|·|b|cos60°=3×2× =3,
2
(2)因为c⊥d,所以(3a+5b)·(ma-b)=0,
即3ma2-5b2+(5m-3)a·b=0，
29
所以3m×32-5×22+(5m-3)×3=0,所以m= .
42
18.(1)在△ABC 中，由正弦定理得sinBcosA-sinAsinB=0,∵sinB≠0，∴tanA=1,∵π
A∈(0,π)，∴A= .
4
π π
(2)∵AB⊥AD，且∠BAC= ，∴∠CAD= .在△ACD中，AC=2√2,CD=√5,
4 4
π
∠CAD= ,由余弦定理CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD,解得AD=1 或AD=3.
4
19.(1)证明：
∵a2=|a|2=cos2α+sin2α=1,b2=|b|2=cos2β+sin2β=1,
所以(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,得证.
(2)∵|ka+b|=|a-kb|,两边平方得k2+1+2kab=1+k2-2kab,所以
ab=0.∴cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cos(β-α)=0.
π
因为0<β<α<π,∴-π<β<α<0.所以β-α=- .
2
20.(1)由余弦定理，b2=a2+c2-2ac·cosB,得b2=(a+c) 2-2ac(1+cosB).
7
因为a+c=6,b=2,cosB= ,所以ac=9，解得a=3,c=3.
9
4√2 asinB 2√2
(2)在△ABC中，sinB=√1-cos2B= ，由正弦定理得sinA= = .
9 b 3
1
因为a=c,所以A为锐角.所以cosA=√1-sin2A= .
3
10√2
所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= .
27
21.(1)根据题意即正弦定理得b2+c2=a2+bc,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理可得
1 π
cosA= .∵A∈(0,π)，∴A= .
2 3
π √3 1 4√3
(2)由(1)知A= ，则sinA= ,cosA= .因为cosB= ，B∈(0,π)，
3 2 2 7
1 13
所以sinB=√1-cos2B= , 所以sinC=sin(A+B)= , 由正弦定理得：
7 14
asinC 1 13√3
c= =13.∴S = ac sinB= .
sinA △ABC 2 2
( π ) (2π )
22.(1)由题意知f (x)=a·b=msin2x+ncos2x,f(x)过点 ,√3 , ,-2 ,
12 3{ 1 √3
m+ n=√3,
2 2 {m=√3,
所以 解得
√3 1 n=1,
- m- n=-2,
2 2
π
(2)由(1)得f (x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+ )，由题意知
6
( π)
g(x)=f (x+φ)=2sin 2x+2φ+ ,设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x ,2),
6 0
由题意知x 2+1=1,x =0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入
0 0
( π) π
y=g(x)得sin 2φ+ =1,又0<φ<π，所以φ= .
6 6
( π)
所以g(x)=2sin 2x+ =2cos2x,
2
π
由-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z，得- +kπ≤x≤kπ,k∈Z，
2
π
所以y=g(x)的单调递增区间为[- +kπ,kπ],k∈Z
2
