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期中测试卷 02
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．已知平面向量 ， ，若存在实数 ，使得 ，则实数 的值为( )。
A、
B、
C、
D、
2．下列说法中错误的是( )。
A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行
B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
D、斜二测坐标系取的角可能是
3．在下列命题中，正确命题的个数为( )。
①两个复数不能比较大小；
②若 是纯虚数，则实数 ；
③ 是虚数的一个充要条件是 ；
④若 、 是两个相等的实数，则 是纯虚数；
⑤ 的一个充要条件是 ；
⑥ 的充要条件是 。
A、
B、
C、
D、
4．设 、 是两个不同的平面，则 的充要条件是( )。
A、平面 内任意一条直线与平面 垂直
B、平面 、 都垂直于同一条直线
C、平面 、 都垂直于同一平面
D、平面 内存在一条直线与平面 垂直5．如图，在长方体 中，用截面截下一个棱锥 ，则棱锥 的体积与剩
余部分的体积之比为( )。
A、
B、
C、
D、
6．四面体 中， ， ， ，则四面体 外接
球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
7．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为
，且相邻的圆都相切， 、 、 、 是其中四个圆的圆心，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
8．在长方体 中， ， ， 、 分别为上底面的边 、 的中点，
过 、 的平面与底面 交于 、 两点， 、 分别在下底面的边 、 上， ，平
面 与棱 交于点 ，则直线 与侧面 所成角的正切值为( )。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．设 为虚数单位，则下列命题错误的是( )。
A、 ，复数 是纯虚数
B、在复平面内 对应的点位于第三象限
C、若复数 ，则存在复数 ，使得
D、 ，方程 无解10．如图所示，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则图中阴影部分在正方
体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的( )。
A、 B、
C、 D、
11．设 、 、 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有( )。
A、
B、
C、 不与 垂直
D、
12．如图，在直角梯形 中， ， ，且 为 的中点， 、 分别是 、
的中点，将三角形 沿 折起，则下列说法正确的是( )。
A、不论 折至何位置(不在平面 内)，都有 平面
B、不论 折至何位置(不在平面 内)，都有
C、不论 折至何位置(不在平面 内)，都有
D、在折起过程中，一定存在某个位置，使
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．计算 。
14．已知在正四面体 中， 是棱 的中点， 是点 在底面 内的射影，则异面直线 与
所成角的余弦值为 。15．已知非零向量 、 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 的取值范围是 。
16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕
圆锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程为 ，则这个圆锥的体积为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知 、 ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知三个点 ， ， 。
(1)求证： ；
(2)若四边形 为矩形，求点 的坐标以及矩形 两对角线所夹锐角的余弦值。19．（12分）如图，底面为菱形的直棱柱 中， 、 分别为棱 、 的中点。
(1)在图中作一个平面 ，使得 ，且平面 ；(不必给出证明过程，只要求作出 与直棱柱
的截面。)
(2)若 ， ，求点 到所作截面 的距离。20．（本小题满分12分）
如图，在以 、 、 、 、 、 为顶点的五面体中，平面 平面 ， ，
，四边形 为平行四边形，且 。
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求此五面体的体积。
21．（本小题满分12分）
如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， ， 和平面
所成的角为 ，且点 在平面 上的射影落在 的平分线上。
(1)求证： 平面 ；
(2)求多面体 的体积。22．（本小题满分12分）
如图所示，已知四棱锥 ， 平面 ，底面 是直角梯形，其中 ，
， ， 为 边上的中点。
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
(3)求三棱锥 的体积。
