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新高考地区高二期末考试模拟试题一
第I卷（选择题）
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出斜率，进而可得倾斜角
【详解】由直线 得
故直线的斜率为 ，又倾斜角范围为 ，
所以倾斜角为 ．
故选：A．
2．以椭圆 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.
【详解】由椭圆 可得 ，
所以左焦点坐标为 ，
所以以 为焦点的抛物线的标准方程为 ，
故选：C.
3．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 （ ）
A． B． C．18 D．36
【答案】C
【分析】首先通过等差数列的通项公式，计算出等差数列基本量 和 ，然后根据等差数列前 项和公式
求解 即可.【详解】 ， ， ，解得 .
.
故选：C
4．已知 成等差数列， 成等比数列，则 等于（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】根据等差和等比数列通项公式可求得公差 和公比 的平方，由此可得 ，代入即可得到结
果.
【详解】设 构成的等差数列公差为 ， 构成的等比数列公比为 ，
， ，即 ，
， ， ，
.
故选：A.
5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行
②BM与CE垂直
③CE与平面ABCD所成角的正切值为
④CN与BM所成角为
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】根据展开图还原正方体，设其棱长为1，建立空间直角坐标系，即可判断异面直线的位置关系，
计算出夹角，以及CE与平面ABCD所成角的正弦值，进而求出正切值.
【详解】解：根据平面展开图，还原正方体，并建立空间直角坐标系，如下图所示，
设正方体棱长为1，则 ， ， ， ， ， ，
①BM与ED平行，由图可看出BM与ED不平行，错误；
②BM与CE垂直， ，
，即 ，正确；
③CE与平面ABCD所成角的正切值为 ，
由图可知 为平面ABCD的一个法向量，且 ，
设CE与平面ABCD所成的角为 ，
则 ，，
，错误；
④CN与BM所成角为 ，
设CN与BM所成角为 ，
， ，
，
，正确；
故选：C.
6．已知圆 的一条切线 与双曲线 有两个交点，则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得切线斜率 ，由此可得切线方程；根据直线与双曲线
交点个数可得 ，根据 可求得离心率的取值范围.
【详解】错解：
选B，圆心 到切线的距离 ，解得： ，
切线方程为 ；
与双曲线 有两个交点， ， .错因：
求离心率时忘记开方，注意双曲线中 ，
正解：
由圆的方程知：圆心 ，半径 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得： ，
切线方程为 ；
与双曲线 有两个交点， ， ，
即双曲线 的离心率的取值范围为 .
故选：D.
7．已知 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若
点 在 的平分线上，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，得到 ，求出 的取值范围，从而求出 的取值范围.
【详解】如图，直线 与直线 相交于点N，
由于PM是 的平分线，且 ，即PM⊥ ，
所以三角形 是等腰三角形，
所以 ，点M为 中点，因为O为 的中点，
所以OM是三角形 的中位线，
所以 ，
其中 ，
因为P与 的四个顶点不重合，设 ，则 ，
则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
∴ 的取值范围是 .
故选：D.
8．数列 满足 ， ，则数列 的前80项和为（ ）
A．1640 B．1680 C．2100 D．2120
【答案】A
【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.【详解】设 ，因为 的周期为 ，
所以 的周期为 .
又 ， ，所以当n为奇数时， ，
所以当n为偶数时， .
又 ，所以 ， ，
，于是得到 ，同理可求出
， …，
设 ，则数列 是以6为首项，8为
公差的等差数列，所以数列 的前80项和为数列 的前20项和
.故B，C，D错误.
故选：A.
二、多选题
9．已知圆C： ，则下述正确的是（ ）
A．圆C截直线 ： 所得的弦长为
B．过点 的圆C的最长弦所在的直线方程为：
C．直线 ： 与圆C相切
D．圆E： 与圆C相交
【答案】AC
【分析】根据弦长公式可判断A，根据圆的性质可判断B，根据点到直线的距离可判断C，根据两圆的圆心距可判断D.
【详解】由圆C： ，可得 ，圆心为 ，半径为3，
所以圆C截直线 ： 所得的弦长为 ，故A正确；
由圆的性质可知过点 的圆C的最长弦过圆心，
故所在的直线方程 ，即 ，故B错误；
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 ： 与圆C相切，故C正确；
由圆E： 可知圆心 ，半径为7，
所以 ，故圆E： 与圆C相内切，故D错误.
故选：AC.
10．已知数列 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为等比数列
B． 的通项公式为
C． 为递减数列
D． 的前 项和
【答案】AB
【分析】由 可推得 ，从而可判断ABC，由分组求和可判断D.【详解】因为 ，由题意显然 ，
变形得 ，所以 ，
又因为 ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列， 正确；
因为 ，所以 ，B正确；
因为 递减，所以 递增，即 为递增数列， C错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，所以D错误.
故选：AB.
11．过抛物线C： 的焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，则（ ）
A． 的最小值为4 B．以线段 为直径的圆与y轴相切
C． D．当 时，直线 的斜率为
【答案】ACD
【分析】设直线方程为 并联立抛物线方程，应用韦达定理，结合抛物线的定义及性质判断各项的
正误.
【详解】由题设 ，由焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，设直线方程为 ，
所以 ，则 ，而 ，
所以 ， ，故 ， ，因为 ，故当 时 ，A正确；
以线段 为直径的圆，圆心为 ，即 ，半径为 ，
显然该圆与抛物线准线 相切，与y轴相交，B错误；
由 ，故C正确；
由 ，即 ，故 ，
所以 ，则 ，可得 或 ，
当 时，显然 不合题意；当 时，如图知： ， ，
所以直线 的斜率为 ，根据对称性易知： 也满足，D正确.
故选：ACD
12．已知正方体 中， 为正方体表面及内部一点，且 ，其中
，则（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为定值B．当 时，直线 与 所成角正弦值的最小值为
C．当 时， 的最小值为
D．当 时，不存在点 ，使得平面 平面
【答案】AD
【分析】根据正方体建立合适的空间直角坐标系，选项A，B，D按照空间向量的坐标关系计算即可判断；
选项C根据轨迹问题，确定距离和的最小值，按几何分析即可计算判断.
【详解】解：根据正方体，如图，以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
由于 ，所以 ，即
选项A：当 时，所以 ，则 ，又 ，
则 ， ，
即 是平面 的法向量，则点 到平面 的距离为 为定值，故
三棱锥 的体积为定值，故A正确；选项B：当 时，点 ，所以 ， ，
则 令 ，则
，所以
其中 ，则 ，设直线 与 所成角为 ，则
，即 ，正弦值 的取值范围为 ，故直线 与 所成角正弦值的最小值
为 ，故B错误；
选项C：当 时，点 的轨迹在线段 上，
将面 与面 铺平展开， 最小值为 长度，
， ，故C错误；
选项D：当 时，则 ，所以设平面 的法向量为 ，
则 ，所以
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以
若平面 平面 ，则 ，
，故方程无解，即不存在点 ，使得平面 平面 ，故D正确．
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 __________.
【答案】 ##7.5
【分析】利用等比数列求和公式列方程求解即可.
【详解】设等比数列 公比为 ，
当 时， ，无解
当 时， ，得 ，
故答案为：14．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上不同的三点，若点 是 的重心，则
__________.
【答案】6
【分析】由F点为三角形的重心，用重心坐标公式可得三点横坐标之和，再利用抛物线的定义即可求得
的值.
【详解】因为 为抛物线 的焦点，则 ，准线方程为 ，设 ，
如图所示，
因为 为三角形的重心，则重心坐标为 ，即 ，所以 ，
因为 为该抛物线上不同的三点，分别过 作准线的垂线，垂足分别为为 ，则由抛物线
的定义可得，
， , ，所以 .
故答案为：6
【点睛】在抛物线中与焦半径有关的题目，都可以利用定义转换为点到准线的距离，从而简化运算.
15．过双曲线 的左焦点 作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物
线y²=4cx于点P，O为坐标原点，若 则双曲线的离心率为_______.【答案】
【分析】由向量的运算法则知 是 中点，由此得 ，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，
因此利用中位线性得 ，从而由抛物线的可表示出 的点横坐标，从而得纵坐标，作 轴，
垂足为 ，在 中由勾股定理得出 的方程，变形后可求得离心率 ．
【详解】如图，双曲线的右焦点 也是抛物线的焦点， ，则 是 中点，
又 是 中点，所以 ， ，
设 ，
过 作抛物线的准线的垂线 ， 是垂足，则 ， ，
在抛物线上，所以 ，
是切点， ，所以 ，
作 轴，垂足为 ，
由 得 ，整理得 ，
所以 ， （负值舍去）．
故答案为： ．16．如图，在棱长为2的正方体 中，O为正方形ABCD的中心，P为棱 上的中点则正
方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为_____________．
【答案】
【分析】确定点 为球心，半径为 的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度即可.
【详解】如下图所示，在侧面 上，
设以点 为球心，半径为 的球分别交 、 于点 、 ，则 ，
所以， ，从而 ，故 ，
故在平面 上的轨迹是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的一段圆弧，同理可得在平面 上
的轨迹是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的一段圆弧，
设以 为球心， 为半径的球截平面 所得圆的半径为 ，
则 ，
故以 为球心， 为半径的球在平面 上的轨迹是以 为半径，圆心角为 的一段圆弧，同理可得以为球心， 为半径的球在平面 上的轨迹是以 为半径，圆心角为 的一段圆弧，
以 为球心， 为半径的球与平面 相切，
因此，轨迹的总长度为 ，
故答案为： .
四、解答题
17．在① ，② 这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
已知等差数列 的各项均为正数， ，且 成等比数列．
(1)求数列 的首项 和公差 ；
(2)已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，_________，求 ．（注：如果选择两个条件并分别作
答，只按第一个解答计分.）
【答案】(1) ，2
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式得到关于 的方程组，解之即可求得所求；
（2）选择①，利用等比数列的通项公式即可求得 ，从而由等比数列前 项和公式求得 ；
选择②，利用前 项和的定义得到 ，解之得 ，进而可求得 .
【详解】（1）依题意，设正项等差数列 的公差为 ，
因为 ，且 成等比数列，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
故 ， .
（2）选择①：
设正项等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 或 （舍去），
所以 ．
选择②：设正项等比数列 的公比为 ，因为 ， ，
即 ，可得 或 （舍去），
所以 ．
18．如图，直三棱柱 中， ， ， 为棱AB的中点， 是 的中
点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明出CM，ME，BM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出
平面 的法向量 ，从而得到 ，进而证明出 平面 ；
（2）求出平面 的法向量，从而利用空间向量求解线面角的正弦值.
【详解】（1）连接CM，因为 ， 为棱AB的中点，
所以CM⊥AB，
过点M作 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，
所以 ⊥平面ABC，
因为 平面ABC，
所以ME⊥BM，ME⊥CM，
故以M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为 ，所以BM=AM=1，
由勾股定理得： ，
所以 ，
则 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，
解得： ，令 ，则 ，
故 ，所以 ，
所以 ， 平面 ，故 平面 ；
（2）则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
故 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且 ，a＝1．
1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明 ．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得 ，从而 ，由此能证明数列{an}是
首项为1，公差为2的等差数列，即可求出数列{an}的通项公式；
（2）由数列{an}的通项公式求出 ，再由 ，由此利用裂项相消法即可证明
.
【详解】（1）因为 ，所以 .
两式相减，得 ，
即
所以当 时， ，
在 中，令 ，得 ，
所以 ，
又 满足，所以
所以 ，
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且 .
（2） ，
所以 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 .
20．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
，侧面 面 ，
(1)求证： ；
(2)设平面 与平面 的交线为 ，在 上是否存在点 ，使得平面 和平面 的夹角的余弦值
为 ？若存在，请确定 点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 ， 在线段 上， ，或者 在线段 的反向延长线上，
【分析】（1）根据已知条件及两条平行线的性质，再利用勾股定理及余弦定理，结合面面垂直的性质定
理及线面垂直的性质定理即可求解；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求出平面 和平面 的法向量，结
合向量的夹角与平面 和平面 的夹角关系即可求解.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，从而 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，从而 ，
因为侧面 面 ，侧面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，
又因为 面 ，
所以 .
（2）延长 和 交于点 ，连接 ，则 就是直线 ， 为 的中位线，
以 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设面 的法向量为 ，则
由 ，即 ，
令 ，则 ， ，取 ，
设在 上存在点N，满足 ，则
.
设平面 的法向量为 ，则
由 ，即 ，令 ，则 ， ，取 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，则
，解得 或 ，
所以在l上存在点 ， 在线段 上， ，或者 在线段 的反向延长线上， .
21．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与双曲线 的一条渐近线交于 两点，
且点 的横坐标为3．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设直线 过点 ，且与抛物线 交于 两点(A在 轴上方，且 )，若 的面积为
，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据根据双曲线渐近线方程求出点 坐标，然后将点 坐标代入抛物线方程中求出 值，
即可求出抛物线标准方程.
（2）首先设 ， ， ，直线方程与曲线方程联立，借助韦达定理求出
与 ，通过弦长公式和点到直线距离公式表示 面积，得到方程求出 值.最后通过求出 与
的值，进而求出 .
【详解】（1）因为 的渐近线方程为 ，又点 的横坐标为3，所以 ，
代入 ，得 ，
所以抛物线 的标准方程为 .
（2）因为 在 轴上方，且 ，所以 的斜率存在且大于0，
设 ， ， .
由 ，得 ，
显然 ，则 ， .
到直线 的距离为 ，
因为
，
所以 ，又 ，所以 ，
将 代入 ，得 ，解得 ， ，
所以 .
【点睛】方法点睛：本题考查求抛物线的标准方程，考查抛物线中的三角形面积问题，对直线与抛物线相
交问题，一般方法是设 ， ， ，直线方程与抛物线方程联立消元应用韦
达定理得 ，利用弦长公式 求得弦长，再求得 到弦据直线的距离后可得三角形面积．本题由此求得 值，从而求得 的具体值，可计算出线段长比值．
22．已知轨迹 上任一点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为 .
(1)求轨迹 的方程，并说明轨迹表示什么图形？
(2)设点 ，过点 且斜率为 的动直线 与轨迹 交于 两点，直线 分别交圆
于异于点 的点 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率分别为 .
①求证： 为定值；
②问：直线 是否过一定点，若过，请求出定点；若不过，请说明理由.
【答案】(1) ，轨迹 是长轴长､短轴长分别为 的椭圆；
(2)①证明见解析；②直线 恒过定点 .
【分析】（1）由题可得 ，进而即得；
（2）①设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，利用韦达定理法即得；
②设直线 的方程为 ，联立圆的方程，根据韦达定理法可表示出 ，结合条件可得
的方程，即得.
【详解】（1）设 是点 到定直线 的距离，
由题意，动点 的轨迹就是集合 ，
则 ，
化简得 ，即 ，所以轨迹 是长轴长､短轴长分别为 的椭圆；
（2）①设直线 的方程为 ，
与 联立得， ，
设 ，则 ，
所以
；
②设直线 的方程为 ，
与 联立得， ，
设 ，则 ，
所以，
由题意知 ，即 ，
所以 ，此时 ，
所以直线 的方程为 ，
故直线 恒过定点 .
