2024-2025 学年广东省阳江市高新区高一上学期 1 月期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x∈Z|−2<x≤1}，N={−3,−2,−1,0,1,2,3}，则∁ M=( )
N
A. {−2,−1,0,1,2} B. {−3,−2,2,3} C. {−1,0,2} D. {2,3}
1
2.设x∈R，则“0<x< ”是“x<1或x>5”的( )
2
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
1 4
3.若x>0，y>0，且 + =1，则x+ y的最小值是( )
x y
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
4.已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则函数 的值域为( )
f(x)=x2+ax+b x f(x)<1 (m,m+2) f(x)
A. [5 ) B. [3 ) C. D.
,+∞ ,+∞ [1,+∞) [0,+∞)
2 2
5.已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 ( )
f(x) R ∀x∈R f(x)+xf(−x)=x2 f(3)=
5 9 2
A. − B. − C. − D. 2
2 5 3
6.若函数 f (x)=
{(a−1)x+a−2,x>0是
R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是( )
−x2+(3−a)x,x≤0
A. (1,3) B. (1,3] C. (2,3] D. [2,3]
7.已知函数 ，设 ，则 的大小关系
f(x)=ln(x2−2x+3)+e|x−1| a=f(0),b=f(log 4),c=f(log 5) a,b,c
3 4
是( )
A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. b<c<a
8.已知函数 在区间[ π π]上是增函数，若函数 在[ π]上的图象与直线
f (x)=2sinωx(ω>0) − , f (x) 0, y=2
4 3 2
有且仅有一个交点，则ω的范围为( )
A. B. C. D. [ 3]
[2,5) [1,5) [1,2] 1,
2
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1 1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 2
9.若a>0，b>0，且 + =1，则下列说法正确的有( )
a b
A. ab的最小值是8 B. a+b的最大值是3+2√2
1 4 1
C. + 的最小值是 D. a(b−1)的最小值是3+2√2
a2 b2 2
|x|
10.已知函数f(x)= ，则下列结论正确的是( )
|x|−1
A. f(x)的定义域为{x|x≠±1且x≠0} B. f(x)为偶函数
C. f(x)在(−∞,−1)上单调递增 D. f(x)在(−1,1)内有最小值
11.将函数 ( π)的图象向左平移π个单位后得到函数 的图象，则( )
f(x)=3sin 2x+ g(x)
6 3
π
A. x= 为函数g(x)图象的一条对称轴
3
B. g(x)=3cos2x
C. 函数 在( π π)上单调递增
g(x) − ,−
3 6
D. 函数g(x)的图象与函数ℎ(x)=log x的图象交点个数为5
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知关于x的不等式x2−4x−a>0的解集为{x|x<1或x>3}，则不等式x2−ax−4≤0的解集为 ．
1
13.已知f(x)=ax5−bx3+cx+ +1，且f(−3)=−5，则f(3)= ．
x
14.已知函数 ( π) 在区间 上的值域为 ，且 ，则 的值为 ．
f (x)=2sin ωx+ (ω>0) [0,1] [m,n] n−m=3 ω
4
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设函数 ．
f(x)=ax2−ax+4
(1)若关于x的不等式f(x)>0在R上恒成立，求实数a的取值范围;
(2)当a≥0时，解关于x的不等式f(x)>2x+2．
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2 116.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，且满足
．
2S=(a2−b2 )sin(B+C)
(1)证明：A=2B;
A−B C
(2)若2sin =(√3−1)cos ，求角B．
2 2
17.(本小题12分)
“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用
量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积
x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C(单位：万元)与设备占地
180
面积x之间的函数关系为C= (x>0)，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为y(单
x+5
位：万元)．
(1)要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值．
18.(本小题12分)
已知函数
4x+a，
．
f(x)= g(x)=x2−4x+6
2x
(1)当a=1时，求f(x)在区间[1,+∞)上的最小值；
(2)若∀x ∈[1,4]，总存在x ∈[1,4]，使得f(x )=g(x )，求实数a的取值范围．
1 2 2 1
19.(本小题12分)
已知函数 在 的最小值为 ．
f (x)=2x2+(a−1)x−a [1,3] g(a)
(1)求g(a)的解析式；
(2)若g(m+1)>g(2m−3)，求实数m的取值范围．
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3 1参考答案
1.B
2.B
3.D
4.D
5.B
6.D
7.C
8.D
9.ACD
10.BC
11.ACD
12.[−4,1]
13.7
11π
14.
12
15.解：(1)由题意可得，关于x的不等式ax2−ax+4>0在R上恒成立，
当a=0时，4>0，恒成立;
当a≠0，因为不等式ax2−ax+4>0在R上恒成立，
所以{ a>0 ，解得 ．
0<a<16
Δ=a2−16a<0
综上所述，实数a的取值范围是[0,16)．
因为 ，由 ，得 ，
(2) f(x)=ax2−ax+4 f(x)>2x+2 ax2−(a+2)x+2>0
所以(ax−2)(x−1)>0，
若a=0，则不等式变为−2(x−1)>0，可得x<1;
2 2 2
若a>0，则不等式变为(x− )(x−1)>0，当 >1，即0<a<2时，可得x<1或x> ;
a a a
2
当 =1，即a=2时，(x−1) 2>0，可得x≠1;
a
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4 12 2
当0< <1，即a>2时，可得x< 或x>1．
a a
综上所述，当a=0时，解集为{x|x<1};
2
当0<a<2时，解集为{x|x<1或x> };
a
当a=2时，解集为{x|x≠1};
2
当a>2时，解集为{x|x< 或x>1}．
a
16.解： 证明：因为 ，
(1) 2S=(a2−b2 )sin(B+C)
1
所以2× bcsin A=(a2−b2 )sin A，又sinA≠0，所以bc=a2−b2，
2
b2+c2−a2 c2−bc c−b
由余弦定理可得cosA= = = ，即2bcosA=c−b，
2bc 2bc 2b
由正弦定理得2sinBcosA=sinC−sinB，
即2sinBcosA+sinB=sin(A+B)，所以sinB=sin(A−B)，
又A，B，C∈(0,π)，所以A=2B．
(2)由A=2B得A−B=B，C=π−(A+B)=π−3B，
0<B<π
π
则{ 0<2B<π ，解得B∈(0, )，
3
0<π−3B<π
A−B C B 3B
因为2sin =(√3−1)cos ，所以2sin =(√3−1)sin ，
2 2 2 2
B B
所以2sin =(√3−1)sin(B+ )，
2 2
B B B
展开得2sin =(√3−1)(sinBcos +cosBsin )，
2 2 2
B B B B
2sin =(√3−1)(2sin cos2 +cosBsin )，
2 2 2 2
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5 1B
又sin ≠0，
2
B
得2=(√3−1)(2cos2 +cosB)，
2
2=(√3−1)(1+cosB+cosB)，
2
1+2cosB= ，
√3−1
1+2cosB=√3+1，
√3
可得cosB= ，
2
π
又B∈(0, )，
3
π
所以B= ．
6
180
17.解：(1)由题意得y=0.2x+ (x>0)，
x+5
180
令y≤11.2，即0.2x+ ≤11.2，
x+5
整理得x2−51x+620≤0，即(x−20)(x−31)≤0，
解得20≤x≤31，
所以设备占地面积x的取值范围为[20,31]；
180 x+5 180 √x+5 180
(2)y=0.2x+ = + −1≥2 × −1=2√36−1=11，
x+5 5 x+5 5 x+5
x+5 180
当且仅当 = ，即x=25，时等号成立，
5 x+5
所以设备占地面积x为25平方米时，y的值最小，最小值为11万元．
18.解： 当 时， 4x+1 1 ，
(1) a=1 f(x)= =2x+
2x 2x
令t=2x，则由x∈[1,+∞)，可知t的取值范围为[2,+∞)，
1
故原函数可化为y=t+ (t≥2)，
t
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6 11
由对勾函数性质，可知y=t+ 在[2,+∞)上单调递增，
t
1 5
因此y=t+ 在t=2时取到最小值 ，此时x=1，
t 2
5
所以当x=1时，f(x)在[1,+∞)上取到最小值f(1)= ；
2
依题意， ，
(2) g(x)=(x−2) 2+2
故当x ∈[1,4]时，g(x) =g(2)=2，g(x) =g(4)=6．
1 min max
因为∀x ∈[1,4]，总存在x ∈[1,4]，使得f(x )=g(x )，
1 2 2 1
设f(x)在[1,4]上取值的集合为集合A，则有[2,6]⊆A.
当a≤0时，显然有f(x)在区间[1,4]上单调递增，
a a
此时f(x) =f(1)=2+ ，f(x) =f(4)=16+ ，
min 2 max 16
a
{ 2+ ⩽2
2
由 ，可知 ，解得
[2,6]⊆A a −160≤a≤0;
16+ ⩾6
16
a⩽0
a
当a>0时，由基本不等式，f(x)=2x+ ≥2√a，当且仅当x=log a时等号成立，
2x 4
因此有2√a≤2，即0<a≤1，
因为x∈[1,4]时，2x∈[2,16]，故0<a≤1时，f(x)在[1,4]上单调递增，
a a
此时f(x) =f(1)=2+ ，f(x) =f(4)=16+ ，
min 2 max 16
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7 1a
{ 2+ ⩽2
2
由此可得 无解，
a
16+ ⩾6
16
0<a⩽1
综上，实数a的取值范围为：[−160,0]．
1−a
19.解：(1)函数f (x)=2x2+(a−1)x−a，对称轴为x= ，
4
1−a
①当 ≤1即a≥−3时，函数f(x)在[1,3]上单调递增，所以f (x) =f (1)=2+a−1−a=1，即
4 min
g(a)=1；
当 1−a 即 时，函数 在[ 1−a]上单调递减，在 1−a 上单调递增，所以
② 1< <3 −11<a<−3 f(x) 1, [ ,3]
4 4 4
(1−a) −a2−6a−1，即 −a2−6a−1；
f (x) =f = g(a)=
min 4 8 8
1−a
③当 ≥3即a≤−11时，函数f(x)在[1,3]上单调递减，所以f (x) =f (3)=2a+15，即g(a)=2a+15，
4 min
2a+15,a≤−11
{
故
−a2−6a−1
．
g(a)= ,−11<a<−3
8
1,a≥−3
(2)由(1)知，当a≤−11时，g(a)=2a+15，函数g(a)单调递增，
−a2−6a−1
当−11<a<−3时，g(a)= ，对称轴为a=−3，函数g(a)在[−11,−3]上单调递增，
8
当a≥−3时，g(a)=1，所以函数(−∞,−3]在R上单调递增．
由g(m+1)>g(2m−3)，
{ m+1<−3 { m+1≥−3
得 或 ,
m+1>2m−3 2m−3<−3
解得m<−4或−4≤m<0
故实数m的取值范围为(−∞,0)．
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8 1
