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2024-2025 学年第一学期期末考试
盐田高级中学高一数学试题卷
命题人：李会玲 审题人：俞兴保 考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
{ } 1
1．已知集合A= x∈Z x2 ≤4 ，B=x∈R ≤2x <2，则AB=（ ）
4
A．{ 0，1，2 } B．{−2，−1，0 } C．{−2，−1，0，1 } D．{−1，0，1，2 }
2．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，则ac2 >bc2 B．若a>b，则a2 >b2
b c
C．若a>b，则a|a|>b|b| D．若a>b>c>0，则 <
a−b a−c
f(x )− f(x )
3．下列函数，在其定义域内既满足 f(−x)=−f(x)又满足 1 2 >0的是（ ）
x −x
1 2
1
A． f(x)=3x B． f(x)=log x C． f(x)= x− D． f(x)= x3
3
x
4．已知a=(sin1)−0.1,b=3−sin1,c=log (sin1)，则a、b、c的大小关系为（ ）
2
A．c0)的角的集合是αα= +2kπ,k∈Z；
4
B．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为9；
π
C．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 ；
3
α
D．若α是第三象限角，则 是第二象限角．
2
1 4
6．已知正实数a、b满足a+b=2，则 + 的最小值为（ ）
a b+1
A．2 B．3 C．2 2 D．3 3
7．若函数 f (x)=ax−a−x (a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y=log ( x −1 ) 的图象可以是（ ）
a
A． B． C． D．
答案第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司8．已知函数 f (x)=ln ( x2−ax−a−1 ) ，下列说法正确的有（ ）
A．存在实数a，使 f (x)的定义域为R
B．若函数 f (x)在区间(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(−∞,1)
C．对任意正实数a, f (x)的值域为R
D．函数 f (x)一定有最小值
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分值.
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“∃x ∈R,x2+3x +2≤0”的否定是“∀x∈R,x2+3x+2>0”
0 0 0
B．a<4是a<3的必要不充分条件
C．函数 f(x)=log (x2 +2x−3)的单调递减区间为(−∞,−1)
3
D．函数 f (x)=ax−1−2(a>0且a≠1)的图象恒过定点1,1 .
10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如
5−1
图，设扇形的面积为S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S ，当S 与S 的比值为 时，扇面
1 2 1 2
2
为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
S θ
A． 1 =
S 2π−θ
2
S 1
B．若 1 = ，扇形的半径R=3，则S =2π
S 2 1
2
( )
C．若扇面为“美观扇面”，则θ= 3− 5 π
( )
D．若扇面为“美观扇面”，半径R=20，则扇形面积为200 3− 5 π
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列
为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[
x
]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称
[x+1]
为高斯函数，如[3.2]=3，[−1.6]=−2.若 f(x)=x−[x]，g(x)= ，则下列说法正确的是（ ）
x
A．函数 f(x)的值域为[0,1) B． f(x+1)− f(x)=1
2025
C．当2024≤x<2025时，g(x)= D．函数g(x)在[2,+∞)上单调递减
x
答案第2页，共4页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
2
12．计算： 2 1
0
+ 3 3
−
3 − 1
1−log32
⋅log 9⋅log 4= ．
3 8 3 4 27
4 π
13．已知sinθ+cosθ= ，θ∈0, ，则sinθ−cosθ的值为 .
3 4
3x+1,x≤0
14．设函数 f (x)= ，若关于x的函数g(x)= [ f(x) ]2 −(a+2)f(x)+a+1恰好有五个零点，
log
4
x,x>0
则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)设全集U =R，已知集合A= x| x+1 ≤0 ，集合B= { x|x2+3x−10<0 } ，
x−4
(1)求A∩B和C (A∪B)；
U
{ }
(2)若C = xa≤ x≤2a+2 且A∩C =C，求实数a的取值范围.
3
16．(本小题满分15分)已知角α以x轴的非负半轴为始边，点P(4,−3m)在角α的终边上，且sinα= ，
5
(1)求m及tanα的值；
π
2sin(π−α)+sin(α+ )tan(π−α)
2
(2)求 的值．
3π π
sin( −α)+cos( +α)
2 2
17．(本小题满分15分)已知幂函数 f (x)= ( m2+m−5 ) ⋅xm(m∈R )是定义在R上的偶函数．
(1)求函数 f (x)的解析式；
1
(2)当x∈ 3 ,81 时，求函数g(x)= f (log 3 x)−2log 3 f (x) +2的最大值，并求对应的自变量x的值．
答案第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司18．(本小题满分17分)已知函数 f(x)=ax2 −(a+1)x+1(a∈R).
(1)若 f (x)在区间(−∞,1 ]上单调递减，求a的取值范围.
(2)求关于x的不等式 f (x)>0的解集.
19．(本小题满分17分)已知偶函数 f (x)和奇函数g(x)的定义域均为R，且 f(x)−g(x)=21−x．
(1)求函数 f (x)和g(x)的解析式；
(2)若∀x∈R，不等式mf(x)≤ [ g(x) ]2 +2m+4恒成立，求实数m的取值范围；
f(x)+g(x) 2 g(x)− f(x) 2
(3)若h(x)= + −2mg(x)，且h(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值.
2 2
答案第4页，共4页2024-2025 学年第一学期期末考试
盐田高级中学高一数学试题卷参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D B A C ABD ACD
题号 11
答案 AC
12．1
2
【解析】 2 1
0
+ 3 3
−
3 − 1
1−log32
⋅log 9⋅log 4
3 8 3 4 27
2
=1+
3
3
− 3
−3log32−1⋅
lg32
⋅
lg22
=1+
3
−2
−
3log32
⋅
2lg3
⋅
2lg2
=1+
4
−
2
×
2
=1．故答案为：1．
2 lg22 lg33 2 3 2lg2 3lg3 9 3 3
2
13．−
3
4 π 16
【解析】由sinθ+cosθ= ，θ∈(0, )，可得1>cosθ>sinθ>0，1+2sinθcosθ= ，
3 4 9
7 2
∴2sinθcosθ= ．∴sinθ−cosθ=− (sinθ−cosθ)2 =− 1−2sinθcosθ=− .
9 3
2
故答案为：− .
3
14． 00
令 f (x)=t，则方程g(x)= [ f(x) ]2 −(a+2)f(x)+a+1化为
g(x)=t2 −(a+2)t+a+a=(t−1) [ t−(a+1) ] =0 ， t =1或t =a+1
若关于x的函数g(x)= [ f(x) ]2 −(a+2)f(x)+a+1恰好有五个零点，则方程 f (x)=t分别有2和3个根，
结合图象可知， f(x)=1有两个根，则此时a+1∈(1,2]
答案第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司12a+2，解得a<−2，满足题意；
a≥−1
当C ≠∅时，则a≥−2，且 ，解得−1≤a<1，则−1≤a<1；
2a+2<4
综上，实数a的取值范围为(−∞,−2)[−1,1).
3
16．（1）m=−1；tanα= ；(2)
4
3
【解析】（1）因为点p(4,−3m)角α的终边上，且sinα= ，
5
−3m 3
根据三角函数定义sinα= = >0，则m<0，
16+9m2 5
解得m=−1或m=1（舍），
y 3
所以tanα= = ．
x 4
π
2sin(π−α)+sin(α+ )tan(π−α)
2sinα+cosα(−tanα) sinα
2
则 = =
3π π −cosα−sinα −cosα−sinα
sin( −α)+cos( +α)
2 2
3
tanα 3
4
= = =− ，
−1−tanα 3 7
−1−
4
1
17．(1) f (x)=x2 (2)当x= 时，函数g(x)的最大值为7
3
【解析】（1）根据题意可得m2+m−5=1，即m2+m−6=0，
所以(m+3)(m−2)=0，解得m=−3或m=2，又函数 f (x)是定义在R上的偶函数，
答案第2页，共4页
学科网（北京）股份有限公司所以m=2, f (x)=x2，即函数 f (x)的解析式为 f (x)=x2．
（2）由（1）可知g(x)= f (log x)−2log f (x) +2
3 3
=(log x)2−2log x2+2=(log x)2−4log x+2 =(log x−2)2−2
3 3 3 3 3
1 1
因x∈
3
,81
，所以log
3
x∈[−1,4]，当x=
3
时，log
3
x=−1，函数g(x)的最大值为7．
18．(1)0≤a≤1(2)答案见详解.
【解析】（1）当a=0时， f (x)=−x+b的单调递减区间为R，满足题意；
−(a+1)
− ≥1
当a≠0时，由 f (x)在(−∞,1 ]上单调递减可得 2a ，解得00
综上，0≤a≤1.
（2） f (x)>0⇔ax2−(a+1)x+1>0⇔(ax−1)(x−1)>0，
1）当a=0时，由−(x−1)>0解得x<1；
1
2）当a≠0时，方程(ax−1)(x−1)=0的两根为 ,1，
a
1 1
当a<0时， <1，解不等式(ax−1)(x−1)>0得 1，解不等式(ax−1)(x−1)>0得x<1或x> ；
a a
1 1
当a>1时， <1，解不等式(ax−1)(x−1)>0得x>1或x< ；
a a
当a=1时，由(x−1)2 >0得x≠1.
综上，当a=0时，不等式解集为(−∞,1)；
1
当a<0时，不等式解集为 ,1；
a
1
当01时，不等式解集为−∞, (1,+∞)；
a
当a=1时，不等式解集为(−∞,1)(1,+∞)
.
19．(1) f(x)=2x +2−x,g(x)=2x −2−x(2)m≤8（3）∴m=2
【解析】（1）由题， f (x)−g(x)=21−x，
答案第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司则有 f (−x)−g(−x)=21+x，
又因为偶函数 f (x)和奇函数g(x)，所以 f (x)+g(x)=21+x，
f (x)−g(x)=21−x
所以联立 ，解得 f(x)=2x +2−x,g(x)=2x −2−x.
f (x)+g(x)=21+x
（2）因为 f(x)=2x +2−x,g(x)=2x −2−x，
由mf(x)≤[g(x)]2 +2m+4，
可得m(2x +2−x)≤（2x −2−x）2 +2m+4，即m(2x +2−x)≤（2x +2−x）2 +2m
令t=2x+2−x，因为 2x+2−x ≥2 2x⋅2−x =2 ，当且仅当2x =2−x，即x=0时等号成立，
所以t =2x+2−x ≥2所以mt ≤t2 +2m 恒成立，其中t ≥2，
当x=0时，t =2,则2m≤4+2m,m∈R
t2
当x≠0时，m≤ 在t∈[2,+∞)恒成立
t−2
t2 t2 −4+4 (t−2)(t+2)+4 4 4
y = = = =t+2+ =t−2+ +4
t−2 t−2 t−2 t−2 t−2
令
4
≥2 4+4=8,当且仅当t−2= ,即t =4时等号成立
t−2
∴m≤8
f(x)+g(x) 2 g(x)− f(x) 2
（3）h(x)= + −2mg(x)=22x +2−2x −2m(2x −2−x)
2 2
1 3
令t =2x则u =t− (t ≥ ),易知u(t)单调递增，
t 2
3
∴h=t2 +2−2mt =t2 −2mt+2(t ≥ )的最小值为−2
2
3 3 9 3 25
当m< 时，t = 使函数取得最小值，即 −2m +2=−2,∴m= 不成立
2 2 4 2 12
3
当m≥ 时，t =m使函数取得最小值，即m2 −2m2 +2=−2,∴m=（2 符合），m=−2不成立
2
综上：∴m=2
答案第4页，共4页
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