数学-四川省绵阳南山中学高2024级高一上学期10月月考_2024-2025高一（7-7月题库）_2024年10月试卷_1019四川省绵阳南山中学高2024级高一上学期10月月考

2024年10月
绵阳南山中学高2024级高一上期10月月考试题
数学
命题人:李忠彬 审题人:冯淼、许欢
注意事项：1. 本分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上.
3. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写.
4. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷
上答题无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.下列各组对象中不能组成集合的是( )
A. 2023年男篮世界杯参赛队伍 B. 中国古典长篇小说四大名著
C. 高中数学中的难题 D. 我国的直辖市
2.设命题p:∀x∈Z,x≤3x2+1，则p的否定为 ( )
A. ∀x∈Z,x>3x2+1 B. ∃x∉Z,x>3x2+1
C. ∀x∉Z,x>3x2+1 D. ∃x∈Z,x>3x2+1
3.若a,b,c∈R，则下列命题正确的是 ( )
b+1 b
A. 若ac2>bc2，则a>b B. 若a>b>0，则 <
a+1 a
1 1
C. 若a>b，则ac2>bc2 D. 若a<b，则 >
a b
4.若集合A= x|mx2+2x+m=0,m∈R  中有且只有一个元素，则m的取值构成的集合
是 ( )
A. -1  B. 0  C. -1,1  D. -1,0,1 
5.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火
前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运
送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60km h，设需摩托车运送的路段平均
速度为xkm h，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为( )
40 40 35 5 35 5
A. >1 B. <1 C. + >1 D. + <1
60+x 60+x 60 x 60 x
1 1
6.已知不等式m-1<x<m+1成立的充分条件是 <x< ，则实数m的取值范围是
3 2
( )
1 4
A. m|- <m<

2 3

1 4
B. m|- ≤m≤

2 3

1 4
C. m|m<- 或 m>

2 3

1 4
D. m|m<- 或 m≥

2 3

第1页，共4页7.学校举行运动会时，高一(1)班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加
田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳
比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有
( )人
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公
式 ：设三角形的三条边长分别为 a ，b ，c ，则三角形的面积 S 可由公式 S =
pp-a  p-b  p-c  求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦
九韶公式. 现有一个三角形的边长满足 p = 6，a + b = 8，则此三角形面积的最大值为
( )
A. 18 3 B. 4 3 C. 8 3 D. 9 3
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( )
A. ∀x∈R,x2-x+1>0 B. 有些梯形的对角线相等
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 任何实数都有算术平方根
10.下列四个命题:其中正确的命题为 ( )
A. 已知集合A=y∣y=x2+1  ，集合B=x∣y=x2+1  ，则A=B
5
B. 集合x∈N∣ ∈N

x+1
 的非空真子集有2个
C. 已知集合M=1,m,m2+3  ，且4∈M，则m的取值构成的集合为-1,1,4 
D. 记A=x∣x=2k+1,k∈Z  ，B=x∣x=4n+1,n∈Z  ，则B⊆A
11.若实数a,b>0，且ab=a+b+8，则 ( )
A. a+b≤8 B. ab≥16
1 4 4
C. a+3b≥4+6 3 D. + ≥
a-1 b-1 3
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知-1<a<4，1<b<2，则a-b的取值范围是 .
8
13.已知y=2x+ x>3
x-3
 ，则y的最小值为 ．
14.定义集合 P = {x|a ≤ x ≤ b} 的“长度”是 b - a，其中 a，b ∈ R．已如集合 M =
1
{xm≤x≤m+
2

3
，N={xn- ≤x≤n
5
 ，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，若
6 3
m= ，集合M∪N的“长度”大于 ，则n的取值范围是 .
5 5
第2页，共4页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.设集合A=x|-1≤x≤2  ，B=x|2m<x<3  ，
(1)若m=1，求A∪B， ∁ A
R
 ∩B；
(2)若B∩∁ A
R
 中只有一个整数，求实数m的取值范围．
16.已知命题p:∃x∈R,使得x2-2ax+a2+a-1=0，命题q：m-1≤a≤m+3．
(1)若命题p的否定是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17.如图，一份印刷品的排版(阴影部分)为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空
白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
第3页，共4页18.已知集合A=x-5≤x≤-3  ，B=x3m-2<x<2m+2  .
(1)若A∪B=B，求实数m的取值范围；
(2)若命题p：“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数m的取值范围；
(3).若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.
1 2 1 2
19.问题：正实数 a，b 满足 a + b = 1，求 + 的最小值. 其中一种解法是： + =
a b a b
1 2
 +
a b
 a+b 
b 2a b 2a
=1+ + +2≥3+2 2，当且仅当 = 且a+b=1时，即a=
a b a b
2-1且b=2- 2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
2 3
(1)若正实数x，y满足x+y=1，求 + 的最小值；
x y
x2 y2
(2)若实数a，b，x，y满足 - =1，试比较a2-b2和(x-y)2的大小，并指明等号成立
a2 b2
的条件；
(3)求代数式M= 3m-5- m-2的最小值，并求出使得M最小的m的值.
第4页，共4页2024年10月
绵阳南山中学高2024级高一上期10月月考数学试题参考答案
1. C
【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题
不能确定，不能组成集合，
2. D
【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，
所以命题p:∀x∈Z,x≤3x2+1的否定为“∃x∈Z,x>3x2+1”.
3. A
【详解】选项A，ac2>bc2,可知c2>0，∴a>b故选项A正确；
b+1 b
选项B，根据糖水不等式可知，a>b>0, > ，故选项B错误；
a+1 a
选项C，当c=0时，ac2=bc2=0，故选项C错误；
选项D，若a<0,b>0，则结论错误，故选项D错误.
4. D
【详解】当m=0时，A=x|2x=0  =0  ，故m=0符合题意；
当m≠0时，由题意Δ=4-4m2=0，解得m=±1，符合题意，
满足题意的m的取值构成的集合是-1,0,1  .
5. D
35 5
【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即 + <1，
60 x
6. B
1 1
【详解】由题意得x| <x< 
3 2
 ⊆x|m-1<x<m+1  ，
1
m-1≤
 3 1 4
所以 ，且等号不能同时成立，解得- ≤m≤ .
1 2 3
m+1≥
2
7. C
【详解】设只参加田径的人数为x，同时参加田径和球类比赛的人数为y，只参加球类的人数为
z，则由韦恩图得：
x+y+3=8 x=2
 
y+z+3=14 ，解得y=3，
x+y+z+15=28 z=8
所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人.
8. B
【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则c=12-a+b

=4，
S= 6×6-a  6-b  ×2= 12 36-6a+b   +ab  = 12ab-12  ，
a+b
因为a+b=8，所以ab≤
2

2
=16，当且仅当a=b=4时等号成立，
所以ab的最大值为16，所以三角形面积的最大值S= 12×16-12  =4 3.
9. AC
答案第1页，共4页【详解】对于A，“∀”是全称量词，且由于Δ=1-4<0，故对∀x∈R,x2-x+1>0，为真命题，
故A正确；
对于B，“有些”是存在量词，故B错误；
对于C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C正确，
对于D，负数是没有算数平方根的，故D错误.
10. BD
【详解】对于A，A=y|y≥1  ,B=R,则A≠B，所以A选项错误；
5
对于B，因为集合x∈N ∈N 
x+1
 =0,4  ，所以它的非空真子集有2个所以B选项正确；
对于C，因为集合M=1,m,m2+3

，且4∈M，所以m=4或m2+3=4.当m2+3=4时，
解得：m=1或m=-1.而m=1，不符合元素的互异性，故m=4或m=-1,所以C选项错误.
对于D，集合A是由奇数组成的集合，集合B是由被4除余1的整数组成的集合，则B⊆A,所
以D选项正确.
11. BCD
a+b
【详解】对于选项A，由a+b+8=ab≤
2

2
，当且仅当a=b时等号成立，不妨设a+b=
t，则得t2-4t-32≥0，解得：t≥8或t≤-4，因a,b>0，则a+b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab-8=a+b≥2 ab，当且仅当a=b时等号成立，不妨设 ab=s，
则s2-2s-8≥0，解得：s≥4或s≤-2，因s>0，则s≥4，即ab≥16，故B项正确；
b+8
对于选项C，由ab=a+b+8可得：a(b-1)=b+8，则b>1，且a= ，
b-1
b+8 9 9
则a+3b= +3b=1+ +3b=4+ +3(b-1)≥4+2 27=4+6 3，
b-1 b-1 b-1
9
当且仅当 =3(b-1)时取等号，即b= 3+1,a=3 3+1时，a+3b有最小值4+6 3，
b-1
故C项正确；
对于选项D，由ab=a+b+8可得：ab-a-b+1=9，即(a-1)(b-1)=9，且a>1,b>1，
1 4 1 4 4 4 1 4
则 + ≥2 ⋅ =2 = ，当且仅当 = 时等号成立，
a-1 b-1 a-1 b-1 9 3 a-1 b-1
1 4 5
 = a= 5 1 4 4
由 a-1 b-1 解得： 2 ，即当且仅当a= ,b=7时， + 有最小值 ，故
2 a-1 b-1 3
ab=a+b+8 b=7
D项正确.
12. -3<a-b<3
【详解】因为-1<a<4，1<b<2，则-2<-b<-1,所以a-b的取值范围是-3<a-b<3.
13. 14
【详解】【详解】因为x>3，所以x-3>0，
8
则y=2x+ =2x-3
x-3

8
+ +6≥2 2x-3
x-3

8
⋅ +6=14，
x-3
当且仅当2x-3 
8
= ，即x=5时取等号，所以当x=5时，y取最小值为14.
x-3
8 17 9
14. {n ≤n< 或 <n≤2
5 10 5

1
【详解】集合M={xm≤x≤m+
2

3
，N={xn- ≤x≤n
5
 ，且M，N都是集合{x|1≤x≤
答案第2页，共4页2}的子集，
m≥1 3
 3 n- ≥1 8
由 1 ，可得1≤m≤ ，由 5 ，可得 ≤n≤2．
m+ ≤2 2 5
2 n≤2
6
若m= ，M= x
5

6 17
 ≤x≤

5 10
 ，
3 3 17 3 6 3
要使集合M∪N的“长度”大于 ，故n- < - 或n> + ,
5 5 10 5 5 5
17 9 8 8 17 9
即n< 或n> ,又 ≤n≤2，故n的取值范围是{n ≤n< 或 <n≤2
10 5 5 5 10 5
 .
15. 【答案】(1)A∪B={x|-1≤x<3}， ∁ A R 
3
∩B={x|2<x<3}；(2)m- ≤m<-1  2 
【详解】(1)(1)因为m=1，所以B=x|2<x<3  ，
又A=x|-1≤x≤2  ，所以∁ A={x|x<-1或x>2}，
R
所以A∪B={x|-1≤x<3}， ∁ A
R
 ∩B={x|2<x<3}．
(2)由(1)知∁ A={x|x<-1或x>2}，又B∩∁ A
R R
 中只有一个整数，
3
由图知，B≠∅，且-3≤2m<-2，所以m的取值范围为：m- ≤m<-1

2

16. 【答案】(1): a   a≤1

 ；(2) m   m≤-2


【详解】(1)因为命题p的否定是假命题，所以命题p是真命题，
即关于x的方程x2-2ax+a2+a-1=0有实数根，因此Δ=4a2-4(a2+a-1)≥0，
解得a≤1，所以实数a的取值范围是 a   a≤1

 .
(2)由(1)知，命题p是真命题，即p: a   a≤1

 ，
因为命题p是命题q的必要不充分条件，则 a|m-1≤a≤m+3}⊊aa≤1   ，
因此m+3≤1，解得m≤-2，所以实数m的取值范围是 m   m≤-2

 .
17. 【答案】(1)S=40+2x+4y(x>0,y>0)；
(2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
【详解】(1)由题意，xy=32，S=(x+4)(y+2)=xy+2x+4y+8=40+2x+4y(x>0,y>
0).
(2)S=40+2x+4y≥40+2 8xy=72，当且仅当2x=4y，即x=8,y=4时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
5
18. 【答案】(1)m- <m<-1 
2
 ；(2)mm≥4 
7 1
；(3)m- <m<- 
2 3
 .
【详解】(1)若A∪B=B，则A⊆B，
又A=x-5≤x≤-3  ，B=x3m-2<x<2m+2 
所以   3
2
m
m
-
+2
2
>
<-
-
5
3
，解得实数m的取值范围为：  m- 5
2
<m<-1  ；
(2)若命题p：“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，则B⊆A；
①当B=∅时，3m-2≥2m+2，即m≥4,此时B⊆A；
3m-2<2m+2

①当B≠∅时，需满足3m-2≥-5 ，此时无解；
2m+2≤-3
答案第3页，共4页所以实数m的取值范围为：mm≥4  .
(3)因为A∩B≠∅，
2m+2>-3

-5≤3m-2<-3 -5<2m+2≤-3
 
所以

或

或3m-2<-5 ，
3m-2<2m+2 3m-2<2m+2
3m-2<2m+2
1 7 5 5
解得-1≤m<- 或- <m≤- 或- <m<-1，
3 2 2 2
7 1
所以实数m的取值范围为：m- <m<-

2 3
 .
19. 【答案】(1)5+2 6；(2)a2-b2≤x-y 
b2x2 a2y2
2，当且仅当 = 且x，y同号时等号成立；
a2 b2
13 6
(3)m= 时，M取得最小值 ．
6 3
【详解】(1)因为x>0,y>0,x+y=1，
2 3 2 3
所以 + =(x+y) +
x y x y

3x 2y 3x 2y
=5+ + ≥5+2 × =5+2 6，
y x y x
3x 2y
当且仅当 = ，即x= 6-2,y=3- 6时取等号，所以x+y的最小值是5+2 6．
y x
(2))a2-b2=a2-b2  ×1=a2-b2 
x2 y2
 -
a2 b2

b2x2 a2y2
=x2+y2- +
a2 b2
 ，
b2x2 a2y2 b2x2 a2y2
又 + ≥2 ⋅ =2xy
a2 b2 a2 b2

b2x2 a2y2
，当且仅当 = 时等号成立，
a2 b2
b2x2 a2y2
所以x2+y2- +
a2 b2
 ≤x2+y2-2xy  ≤x2+y2-2xy=x-y  2，
所以a2-b2≤x-y

2，
b2x2 a2y2 x2 y2
当且仅当 = 且x，y同号时等号成立.此时x，y满足 - =1；
a2 b2 a2 b2
3m-5≥0

(3)令x= 3m-5，y= m-2，由

得m≥2，
m-2≥0
x2-y2=3m-5  -m-2  =2m-3>0，
x2 y2
又x>0,y>0，所以x>y，构造 - =1，
a2 b2
x2 y2 1
由x2-3y2=1，可得 - =1，因此a2=1,b2= ，
1 1 3
3
1 6
由(2)知M= 3m-5- m-2=x-y≥ a2-b2= 1- = ，
3 3
1
取等号时， x2=3y2且x,y同正，
3
6 6 6 13
结合x2-3y2=1，解得x= ,y= ，即 3m-5= ，m= ．
2 6 2 6
13 6
所以m= 时，M取得最小值 ．
6 3
答案第4页，共4页