文档内容
2024 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试
高一数学试题
命题学校：黄冈中学 命题教师：李钢锋
审题学校：蕲春一中 审题教师：周强锋
考试时间：2024年10月14日上午8：00—10：00 试卷满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知集合 ，则集合A的所有非空子集的个数为（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
4.下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 ，则正确的结论是（ ）
A. B.
C. D. 与 的大小不确定
7.已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集
学科网（北京）股份有限公司为（ ）
A. B. ，或
C. D.
8.若正实数 满足 ，不等式 有解，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
10.若 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值 B. 有最大值2
C. 有最小值5 D. 有最小值
11.下列命题正确的有（ ）
A.若方程 有两个根，一个大于1另一个小于1，则实数 的取值范围为
B.设 ，若 且 ，则
学科网（北京）股份有限公司C.设 ，命题 是命题 的充分不必要条件
D.若集合 和 至少有一个集合不是空集，则实数
的取值范围是 或
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______.
13.已知 为二次函数，满足 ，则函数 ______.
14.设集合 ，函数 ，已知 ，且 ，则 的取
值范围为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16.（15分）设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立，命题 ：存在 使得
不等式 成立.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 与命题 一真一假，求实数 的取值范围.
17.（15分）已知关于 的不等式 .
（1）若不等式的解集为 或 ，求 的值；
（2）求关于 的不等式的解集.
18.（17分）某公司销售甲､乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润 （万元）与投资额 （万
元）成正比，其关系如图（1）所示；乙产品的利润 （万元）与投资额 （万元）的算术平方根成正比，
其关系式如图（2）所示，
学科网（北京）股份有限公司（1）分别将甲､乙两种产品的利润表示为投资额的函数；
（2）若该公司投资 万元资金，并全部用于甲､乙两种产品的营销，问：怎样分配这 万元投资，
才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？
19.（17分）设 ，其中 ，记 .
（1）若 ，求 的值域；
（2）若 ，记函数 对任意 ，总存在 ，使得 成
立，求实数 的取值范围；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司2024 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试
高一数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.【答案】D
【详解】因为 ，所以 .故选：D.
2.【答案】B
【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为：
故选：B
3.【答案】C
【详解】由题设， ，即8可被 整除且 ，
故集合A的所有非空子集的个数为
4.【答案】D
【解答】解： 与 的对应关系不同，不是同一函数：
学科网（北京）股份有限公司定义域不同，不是同一函数：
的定义域为 ， 而的定义域为 ，不是同一函数：
与 的定义域都为 ，对应关系相同，是同一函数.
故途：D.
5.【答案】D
【解答】根据题意，不等式 ，则 ，即 ，解集为
不等式 ，即 ，解集为 ，
因为 且 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
6.【解新】方法一：特值法
取特殊值，令 ，则
易知 ，排除B，C，还不能排除D，猜测选A.
方法二：作差法，分析法
要比较 大小，只需要比较 与 的大小
比较 与 的大小（遇到二次根式可考虑平方去掉恨号）
比较 与 的大小
比较 与 的大小.
而显然 .故 ，故 .故选：A.
方法三：有理化法
学科网（北京）股份有限公司，则 ，故选A.
7.【答案】A
【解答】因为不等式 的解集为 ，
所以2和3是方程 的两个实数解，且 ；
由根和系数的关系知， 所以 ；
所以不等式 可化为 ，叫 ，解得 ，
所求不等式的解集为
故选：A.
8.【答栥】B
【详解】由
，
仅当 ，即 时等号成立.
要使不等式 有解，只需 .
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AD
【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为 或 .
故选：AD.
10.【答案】AC
【解答】解：对于A， ，
当且仅当 且 ，当 时取等号，不以 有最大值 故A正确，
对于B.因为 .
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 有最大值 ，故B错误
对于C， ，
当且仅当 且 叫 且 ，即 时取等号，
所以 有最小值5，故C正确
对于D.因为 .所以 ，
所以 ，当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 有最小值 ，故 错误.
学科网（北京）股份有限公司故选：AC
11.【答案】ABD
【解答】
选项A： 函数 有两个两点， ，
而且一个大于1另一个小于1.则 或 ，解得 .
实数 的取值范围为 ，故A正确；
选项B：令 ，则 .
由 解得 所以 .
因为 ，所以 ，则 .故B正确；
选项C：若 既有 ；
若 显然有 ；
若 ，则 ，
而 ，所以 ，
故 可以推出
若 ，当 时，如果 ，不等式显然成立，此时有
如果 ，则有 ，因而
当 时， ，此时有 .
因而 ，敬 可以推出 ，综合知 是 的充要条件
故C不正确；
选项D：假设两个方程无实根（即 均是空集），则有
学科网（北京）股份有限公司解得 .
所以当 或 时，两个方程至少有一个方程有实根，即两个集合至少有一个不是空集.
故填 或 ，故D正确
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【详解】由题意得： ，解得： ，
由 ，解得： ，
故函数的定义域是 .
13.【答案】
【解答】解：设 ，满足 ，
所以 ，
解得
则函数 .
14.【答案】
【解答】解：因为 .所以 ，
则 ，
由 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 .
故答案为： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）【解答】解：（1） 时， ，则 或 ，
则 或
（2） ，等价于 ，
当 ，则 ，船得 ，符合题意
当 .则 ，解得 .
综上，实数 的取值范围为
16.（15分）【解析】（1）因为 为真命题，所以对任意 不等式 恒成立，
所以 其中 ，所以 ，解得 ，
有以 的取值范围 ，
（2）若 为真命题，即存在 .使得不等式 成立，
则 ，其中 ，1]，而 ，
所以 ，故 ：因为 一真一假.
所以 为真命题， 为假命题或 为假命题， 为真命题，
若 为真命题， 为假命题，则 ，所以 ；
若 为假命题， 为真命题.则 或 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司综上， 或 ，所以 的取值范围为 .
17.（15分）
【解答】解：（1） 不等式 可化为 ，
原不等式的解集为 或 .
故 ；
（2）①当 时，不等式为 ，解得 ：
②当 时，方程 的两根分别为 ，
（i）当 时， ，故不等式的解为 ：
（ii）当 时，
若 ，即 时，不等式的解为 或 .
若 ，即 时，不等式的解为 ；
考 ，即 时，不等式得解为 或 .
综上可知，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 或 .
学科网（北京）股份有限公司18.（17分）
【解答】解：（1）由题知，甲产品的利润函数为
乙产品的利润函数为 .
由题知，函数 经过d点 ，有 ，所以 .
函数 经过点 ，有 由 ，所以 .
（2）设乙产品的投资金额为 万元，则甲产的投资金额为 万元.
所获得总利润为 万元，则 ，
令 ，则 ， 函数图象开口问上，
对称轴为 ，所以
当 时，函数在 上单调递增，当 ，即 时， 有最大值 .
当 时，函数在 上递增，在 上递减，当 ，即 时， 有最大值 .
综上得：
当 时，乙产品投资 万元，甲产品投资 万元，该公司可获得最大利润，最大利润为
万元.
当 时，乙产品投资 万元，甲产品不作投资，该公可可获得最大利润，最大利润为 万元：
当 时，乙产品投资 万元，印产品投资 万元，该公司可获得最大利润，最大利润为
学科网（北京）股份有限公司万元
19.【解答】（1） ，
即
作图可知，函数 的最大值为 值域为 .
（2）由题意，只需 在 上的值域为 的子集即可，
因为 ，所以 ，对称轴为 ，由 得 ，
①当 ，即 时， 在 的图象可知， ，
由题意得 由 （ 时取等号.放第一个式子成立，
由第二个式子得
故此时
②当 ，即 时， 在 递减，在 上递增.
此时最小值为 ，最大值为 ，所以 ，解得
故此时 ，
综上，所求 的范围为 .
学科网（北京）股份有限公司（3） .
①当 时， 无解，
②当 时， 解得 .
③当 时， ，解得 ，舍去.
综上， .
学科网（北京）股份有限公司
