文档内容
江苏省泗阳县2024-2025学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量
2．在△ABC中，若 ，则
A． B． C． D． 或
3．已知 ， ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是
四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度 ，在泗水阁旁边找到一座建筑物 ，高约为
，在底面上的点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 ，泗水阁顶部 的仰角分别为 和
，在 处测得楼顶部 的仰角为 ，则泗水阁的高度约为（ ）
A． B． C． D．
5．四边形 是正方形， 是 的中点， 是边 上的一点，且 ，连接 与 交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在 中， 是边 上的点， ， ， ， ，则 的长为
（ ）A．5 B．7 C．9 D．11
7．图中正方形 的边长为2，圆 的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点 在圆上，则
的值为（ ）
A．23 B．29 C．21 D．24
8．在 中，角 的对边分别为 且 ，若 ，则 的周长
的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．8
二、多选题
9．以下正确的有（ ）
A．
B．
C．函数 的最大值为2
D．
10． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B． ，则 为等腰三角形
C． ， ， ，则 有两解
D．若 ，则 可以是钝角三角形
11．下列说法正确的有（ ）A．若 ，则 或
B．已知 不共线，若向量 与向量 共线，则实数
C．设 ， ，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
D．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为
三、填空题
12．已知 ，则
13． 为 所在平面内的点， ，若 ，则 .
14．在 中， ，若 ，则实数 的值为 .
四、解答题
15．已知向量 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，且 为非零实数，求 的值.
16．已知 ， ， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
17．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是边 的中点， 的面积为1，且
.
(1)求 ；(2)求 的值.
18．某校为拓展学生社会实践活动，拟建造一个四边形的实践基地，如图，在四边形 区域中，将
区域设立成烧烤区， 区域设立成花卉观赏区，边 ， ， ， 修建观赏步道，边
修建隔离防护栏，其中 米， 米， .烧烤区是一个占地面积为40000平方米的实
践性区域.
(1)需要修建多长的隔离防护栏？
(2)若要使花卉观赏区的面积最大，应如何设计观赏步道？
19．设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是边 的中点， .
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的值；
(3)若 ，求 的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C B B A C BCD AC
题号 11
答案 BCD
1．C
根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】对于A：单位向量大小相等都是 ，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．
对于C：模为 的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确；
对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误.
故选：C．
2．A
【详解】由正弦定理有 ，所以 ， ，又因为 ,故 ，选
A.
3．B
由 结合题意，正弦差角公式可得答案.
【详解】 .
因 ， ，则 ，又 ，
则 ，又 .
则 .
故选：B
4．C
在 中求得 ，然后在 中，利用正弦定理求得 即可求解.
【详解】在 中， ，所以 ，
在 中， ，则 ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
在 中， .
故选：C.
5．B
建立平面直角坐标系，设正方形 的边长为3，写出点的坐标，利用向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立平间直角坐标系，
设正方形 的边长为3，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B
6．B
在 中，由正弦定理求得 ，再在 中，由余弦定理，即可求得 的长.
【详解】如图所示，在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，可得 ，且 ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 .
故选：B.
7．A
利用 可求解.
【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以 是 的中点，
又正方形 的边长为2，所以 ，所以 ，
所以
.
故选：A.
8．C
根据题意，求得 ，得到周长为 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由 且 ，可得 ，
又由 ，即 ，
所以 的周长为 ，
当 时，即 时，周长 取得最大值，最大值为 .
故选：C.
9．BCD
利用三角恒等变换公式逐项计算可得结论.
【详解】对于A，
，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，
当且仅当 时，等号成立，故函数 的最大值为2，故C正确；对于D，
，故D正确.
故选：BCD.
10．AC
【详解】对于A，因为 ，所以由正弦定理可得 ，又大边对大角，则 ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，所以由余弦定理得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，过 作 于点 ，则 ，
因为 ，所以 有两解，故C正确；
对于D，因为 ， ，
所以 ，
因为 ，且 不可能有两个钝角，所以 ，所以 三个内角均为锐角，故D错误.
故选：AC
11．BCD
【详解】对于A， ，则只能得到两向量模相等，不能得到向量共线，故A错误；
对于B，因向量 与向量 共线，则 ，故B正确；
对于C，因 与 的夹角为锐角，则 且 不平行于 ，
则 ，故C正确；
对于D， 在 方向上的投影向量为 ，
因 ， ，则 ，故D正确.
故选：BCD
12．
原式两边平方后，即可计算 的值.
【详解】因为 ，两边平方后，
，
所以 .
故答案为：
13． /
根据 ，化简得到 ，结合 ，求得 的值，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，可得 .
故答案： .
14．
先利用正弦定理化简得 ，再根据余弦定理得出 为钝角，最后利用正弦定理和余弦定理化
简 即可.
【详解】利用正弦定理则 可化简为 ，
则 ，
因 ，则 ，则 ，
因 ，则利用正弦定理和余弦定理有
.
故答案为： .
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 .
（2）解：因为 ，
可得 ，又因为 ，所以 ，可得 ，
因为 为非零实数，所以 .
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ， ，所以
又因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ， ，所以 ，所以
又因为 ，
所以 ， ，
因为
所以
因为 ，所以
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ；
（2）因为 ，
，
，
.
18．(1) 米
(2)应使观赏步道 米
（1）由三角形面积公式可求得 ，进而可求得 ；
（2）法一：由正弦定理可得 ， ，进而可得
，可求解.法二，利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，
进而可求解.
【详解】（1）因为 ， ，三角形面积为 ，
所以 ，
，而 ， ，
，所以需要修建多长的隔离防护栏 米.
（2）解法一：由（1）知 ，
设 ， ，在 中，由正弦定理得：
，
所以 ， ，
花卉观赏区的面积为：
因 ，则 ，
则当 ，即 时， 取值最大，
最大值 ，此时
故为了使花卉观赏区域的面积最大，应使观赏步道 米.
解法二：令 ， ，由余弦定理得： ，
，，当且仅当 时取等号，
则最大值 ，
故为了使花卉观赏区域的面积最大，应使观赏步道 米.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为D为BC边的中点， .
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
所以 .
（2）因为 ，D是BC边的中点，
，
， .
在 中，由余弦定理得： ，
， ，在 中，由正弦定理得： ，
；
（3）设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，
，
在 中，由余弦定理得： ，
，
，
在 中，由余弦定理得： ，
， ， ，即 ，
， ，
所以 的取值范围为 .
