1994年北京高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

1994 年北京高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分 钟． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5 分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A B ( ) (A) {0} (B) {0，1} (C) {0，1，4} (D) {0，1，2，3，4} (2) 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ( ) (A) (0，+∞) (B) (0，2) (C) (1，+∞) (D) (0，1)   (3) 极坐标方程cos 所表示的曲线是 ( )  4  (A) 双曲线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 圆 (4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )     (A) tg ctg (B) tg ctg 2 2 2 2     (C) sin cos (D) sin cos 2 2 2 2 (5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这 种细菌由1个可繁殖成 ( ) (A) 511个 (B) 512个 (C) 1023个 (D) 1024个  (6) 在下列函数中，以 为周期的函数是 ( ) 2 (A) y=sin2x+cos4x (B) y=sin2xcos4x (C) y=sin2x+cos2x (D) y=sin2xcos2x (7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 ( ) 第1页 | 共11页(A) 32 3 (B) 28 3 (C) 24 3 (D) 20 3 x2 (8) 设F和F为双曲线 －y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF=90°， 1 2 1 2 4 则△FPF的面积是 ( ) 1 2 5 (A) 1 (B) (C) 2 (D) 5 2 (9) 如果复数z满足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 5 (10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．从10人中选派4 人承担这三项任务，不同的选法共有 ( ) (A) 1260种 (B) 2025种 (C) 2520种 (D) 5040种 (11) 对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( ) (A) m⊥n，m∥α，n∥β (B) m⊥n，α∩β=m，nα (C) m∥n，n⊥β，mα (D) m∥n，m⊥α，n⊥β (12) 设函数f(x)=1－ 1x2 (－1≤x≤0)，则函数y=f－1(x)的图像是 ( ) (13) 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2， 则球面面积是 ( ) 16 8 64 (A) π (B) π (C) 4π (D) π 9 3 9   2 (14) 函数y=arccos(sinx)  x  的值域是 ( )  3 3   5  5  2  2 (A)  ，  (B) 0，  (C)  ，  (D) ，     6 6   6   3 3  6 3  (15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函 第2页 | 共11页数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1)，x∈(－∞，+∞)，那么 ( ) (A) g(x)=x，h(x)=lg(10x+10－x+2) 1 1 (B) g(x)= [lg(10x+1)+x]，h(x)= [lg(10x+1)－x] 2 2 x x (C) g(x)= ，h(x)=lg(10x+1)－ 2 2 x x (D) g(x)=－ ，h(x)=lg(10x+1)+ 2 2 第Ⅱ卷(非选择题共85分) 二、填空题 (本大题共5小题，共6个空格；每空格4分，共24分．把答案填在题中横 线上) (16) 在(3－x)7的展开式中，x5的系数是 (用数字作答) (17) 抛物线y2=8－4x的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与 其准线相切的圆的方程是 1 (18) 已知sinθ +cosθ = ，θ∈(0，π)，则ctgθ的值是_____________ 5 (19) 设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为 3， AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________ (20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a， 1 a，…a，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a是这样一个量：与其 2 n 他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a，a，…，a推出的 1 2 n a=_________ 三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) (21) (本小题满分11分) 已知z=1+i． (1)设ω=z2+3z－4，求ω的三角形式； z2 azb (2)如果 1i，求实数a，b的值． z2 z1 (22) (本小题满分12分) 第3页 | 共11页  已知函数 f(x)=tgx，x∈(0， )．若 x，x∈(0， )，且 x≠x，证明 1 2 1 2 2 2 1 x  x [f(x)+f(x)]>f( 1 2 ) 1 2 2 2 (23) (本小题满分12分) 如图，已知ABC－ABC是正三棱柱，D是AC中点． 1 1 1 (1)证明AB∥平面DBC； 1 1 (2)假设AB⊥BC，求以BC为棱，DBC与CBC为面的二面 1 1 1 1 1 角α的度数． (24) (本小题满分12分) 已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正 半轴上．若点A(1,0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求 直线l和抛物线C的方程． (25) (本小题满分14分) 设{a}是正数组成的数列，其前n项和为S，并且对于所有的 n n 自然数n，a与2的等差中项等于S与2的等比中项． n n (1)写出数列{a}的前3项； n (2)求数列{a}的通项公式(写出推证过程)； n 1a a  (3)令b   n1  n  nN  ，求lim  b b  b n  . n 2   a a   n 1 2  n n n1 参考答案 一、选择题(本题考查基本知识和基本运算) 1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算) 3 2 2 16．－189 17．x=3，(x－2)2+y2=1 18． 19．  4 3 第4页 | 共11页1   20． a a  a n 1 2  n 三、解答题 21．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力． 解：(1)由z＝1+i，有 ω=z2+3z－4   =(1+i)2+3 1i －4 =2i+3(1－i)－4=－1－i，  5 5  ω的三角形式是 2cos isin ．  4 4  (2)由z=1+i，有 z2 azb  1i 2a  1i  b  z2 z1  1i 2   1i  1     ab  a2 i = i      a2  ab i 由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i． a21 根据复数相等的定义，得 (ab)  1 a  1, 解得 b  2. 22．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力． 证明： sinx sinx tgx+tgx= 1  2 1 2 cosx cosx 1 2 sinx cosx cosx sinx  1 2 1 2 cosx cosx 1 2   sin x  x  1 2 cosx cosx 1 2 第5页 | 共11页  2sin x  x  1 2     cos x  x cos x x 1 2 1 2  ∵x，x∈(0， )，x≠x， 1 2 1 2 2 ∴2sin(x+x)>0，cos xcosx>0，且0 1 2 ，∴ ( tgx+tgx)>tg 1 2 ， 1 2   1 2 1cos x  x 2 2 1 2 1 x  x 即 [f(x)+f(x)]>f( 1 2 ) 1 2 2 2 23．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想 象能力和逻辑推理能力． (1)证明： ∵ABC－ABC是正三棱柱，∴四边形BBCC是矩形． 1 1 1 1 1 连结BC交BC于E，则BE=EC．连结DE． 1 1 1 在△ABC中，∵AD=DC，∴DE∥AB． 1 1 又AB平面DBC，DE平面DBC，∴AB∥平面DBC． 1 1 1 1 1 (2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面BBCC，连结EF，则EF是ED在平面BBCC 1 1 1 1 上的射影． ∵AB⊥BC， 1 1 由(1)知AB∥DE，∴DE⊥BC，则BC⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角． 1 1 1 1 设AC=1，则DC= ．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中， 2 3 1 DF=DC·sinC= ，CF=DC·cosC= ．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC． 4 4 在Rt△BEF中， 3 1 EF2=BF·GF，又BF=BC－FC= ，GF= ， 4 4 3 3 1 3 DF 4 ∴EF2= · ，即EF= ．∴tg∠DEF=  1．∴∠DEF=45°． 4 4 4 EF 3 4 第6页 | 共11页故二面角α为45°． 24．本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质，解析几何 的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力． 解法一：依题设抛物线C的方程可写为 y2=2px (p>0)， 且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l 的方程为 y=kx (k≠0)． ① 设A'、B'分别是A、B关于l的对称点，因而A'A⊥l，直线A'A的方程为 1   y   x1 ② k  1 k  由①、②联立解得AA'与l的交点M的坐标为 ， ．  k2 1 k2 1 又M为AA'的中点，从而点A'的坐标为  1  k2 1 x =2 1 ， A'  k2 1 k2 1  k  2k y =2 0  ． ③ A' k2 1 k2 1 同理得点B'的坐标为   16k 8 k2 1 x = ， y = ． ④ B' k2 1 B' k2 1 又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上，由③得  2k  2 k2 1    2p ，由此知k≠±1，  k2 1 k2 1 2k2 即 p  ⑤ k4 1   2 8 k2 1  16k 同理由④得   2p ．    k2 1  k2 1 2  k2 1 2 即 p  ．   k2 1k 第7页 | 共11页2k2 2  k2 1 2 从而 = ，   k4 1 k2 1k 整理得 k2－k－1=0． 1 5 1 5 解得k  ，k  . 1 2 2 2 1 5 5 但当k  时，由③知x   0， 2 A 5 1 5 这与A'在抛物线y2=2px(p>0)上矛盾，故舍去k  ． 2 2 1 5 1 5 设k  ，则直线l的方程为y  x． 2 2 1 5 2 5 将k  代入⑤，求得 p  ． 2 5 所以直线方程为 1 5 y  x． 2 抛物线方程为 4 5 y2  x． 5 解法二：设点A、B关于l的对称点分别为A'(x、y)、B'(x，y)，则 1 1 2 2 |OA'|=|OA|=1，|OB'|=|OB|=8． 设由x轴正向到OB'的转角为α，则 x=8cosα，y=8sinα． ① 2 2 因为A'、B'为A、B关于直线l的对称点，而∠BOA为直角，故∠B'OA'为直角，因此     x=cos =sinα，y=sin =－cosα， ② 1 1  2  2 由题意知x>0，x>0，故α为第一象限角． 1 2 因为A'、B'都在抛物线y2=2px上，将①、②代入得 cos2α=2p·sinα，64sin2α=2p·8cosα． 第8页 | 共11页∴8sin3α=cos3α， ∴2sinα=cosα， 1 2 解得 sin ，cos ． 5 5 1 2 将sin ，cos 代入cos2α=2psinα得 5 5 cos2 2 5 p   ， 2sin 5 4 5 ∴抛物线C的方程为y2  x． 5 因为直线l平分∠B'OB，故l的斜率  1    k tg     tg    2 2   2 4   sin   2 cos 1 5      1sin 2 1cos   2 5 1 ∴直线l的方程为y  x． 2 25．本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分 析问题与解决问题的能力． a 2 解：(1)由题意，当n=1时有 1  2S ，S=a， 2 1 1 1 a 2 ∴ 1  2a ， 2 1 解得 a=2． 1 a 2 当n=2时有 2  2S ，S=a+ a，a=2代入，整理得 2 2 2 1 2 1 (a－2)2=16． 2 由a>0，解得 a=6． 2 2 第9页 | 共11页a 2 当n=3时有 3  2S ，S=a+ a+ a，将a=2，a=6代入，整理得 2 3 3 1 2 3 1 2 (a－2)2=64． 3 由a>0，解得 a=10． 3 3 故该数列的前3项为2，6，10． (2)解法一：由(1)猜想数列{a}有通项公式a =4n－2． n n 下面用数学归纳法证明数列{ a }的通项公式是 n a =4n－2 (n∈N)． n ①当n=1时，因为4×1－2=2，又在(1)中已求出a=2，所以上述结论成立． 1 ②假设n=k时结论成立，即有a=4k－2．由题意，有 k a 2 k  2S ， 2 k 将a=4k－2代入上式，得2k= 2S ，解得S=2k2． k k k a 2 由题意，有 k1  2S ，S =S+a ， 2 k1 k+1 k k+1 2 a 2 将S=2k2代入，得 k1  =2(a +2k2)，整理得a2 －4 a +4－16 k2=0． k  2  k+1 k1 k+1 由a >0，解得a =2+4k．所以a =2+4k=4(k+1)－2． k+1 k+1 k+1 这就是说，当n=k+1时，上述结论成立． 根据①、②，上述结论对所有的自然数n成立． a 2 1 解法二：由题意，有 n  2S  nN  ，整理得S= (a+2)2， 2 n n 8 n 1 由此得 S = (a +2)2， n+1 n+1 8 1 ∴a = S －S = [(a +2)2－(a+2)2]， n+1 n+1 n n+1 n 8 整理得(a + a)( a －a－4)=0， n+1 n n+1 n 由题意知 a +a≠0，∴a －a=4． n+1 n n+1 n 即数列{ a }为等差数列，其中a=2，公差d=4．∴a =a+(n－1)d=2+4(n－1)， n 1 n 1 即通项公式为a =4n－2． n 第10页 | 共11页(3)解：令c=b－1，则 n n 1a a  c   n1  n 2 n 2  a a    n n1 12n1  2n1    1 1 22n1  2n1  1 1   ， 2n1 2n1 b+b+…+b－n=c+c+…+c 1 2 n 1 2 n  1 1 1  1 1  =1         3 3 5 2n1 2n1 1 1 ． 2n1  1    ∴lim b b  b n  lim1  1 n 1 2  n n 2n1 第11页 | 共11页