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第04章 章末复习课
一、单选题
1．数列1， ， ， ， ，…的一个通项公式 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为 .
故选D.
2．在单调递增的等差数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B．- C．0 D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ,因为 ，
所以有： ，解方程组得： ；
故选C
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1023 B．511 C． D．
【答案】A【解析】设数列 的公比为 ，由题意可得 ，所以 ，
由题得 .
故 .
故选A.
4．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故选D
5．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B．n C． D．
【答案】D
【解析】由题意，数列 满足 ，所以 ，
所以 .
故选D.
6．已知公差 的等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列，若正整数 ， 满足
，则 （ ）A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】由题知 ，因为 为等差数列，所以 ，
又 ，则 ，
从而 .
故选C．
7．已知 是等差数列， ， 为数列 的前 项和，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知 ， 得， ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， 有最大值为 ,
故选D.
8．在正项等比数列 中， ，数列 的前 项之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
故选B
9．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 的最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得 ， ，所以数列 为首项为 ，公差为 的等
差数列， ，则 ，其对称轴 .所以
的最小的一项是第 项.
故选A.
10．若 表示不超过 的最大整数（例如： ），数列 满足： ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
， ， ， ， ，
累加可得 ，
又 ， ，
， ，
.
故选A11．设等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ， ，
．给出下列结论：
① ；
② ；
③ 的值是 中最大的；
④使 成立的最大自然数 等于198
其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】① ， ， ．
， ．
又 ， ，且 ． ，即①正确；
② ， ，即 ，故②错误；
③由于 ，而 ，故有 ，故③错误；
④中 ，
，故④正确．
正确的为①④，
故选 ．12．已知数列 满足 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由递推关系可知 ， ，
所以 .
即 ，
可求 ，
所以 .
因为 ，
∴ ，
解得 ，
故选B.
二、填空题
13．已知数列 为等差数列， 为其前n项和， ，则 ______.
【答案】14
【解析】因为 ，
所以 ，所以 .
故填 .
14．已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则 _______．
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，则
，解得 ，
所以 ，
故填
15．数列 ，若 ， ，则 ________.
【答案】43
【解析】由 可得 ，
，
，
，
上式相加得 ，又 ，
可得
故填43
16．数列 中， 则 _____.【答案】
【解析】若数列 中， ， ，
可得 ，
相加可得 .
故填 .
17．如图，将数列 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列 、 、
、 构成一个公比为 的等比数列，从第 行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，若 ，
，则 ________.
【答案】
【解析】由题意可知，第一行是 ，第二行是从 到 ，第三行是从 到 ，第四行是从 到 ，
第五行是从 到 ，第六行是从 到 ，第七行是从 到 ，第八行是从 到 ，第九行
是从 到 ，第十行是从 到 ，
故 在第二行， 在第十行，
因为 ， ，每一行都是一个公差为 的等差数列，
所以 ， ，因为表中的第一列 、 、 、 构成一个公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，解得 ，
故填 .
18．设数列 满足 ，若数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 ， ，
由于数列 是单调递增数列，则 ，即 ，整理得 ，
令 ， ，
所以，数列 单调递增，则数列 的最小项为 ， .
因此，实数 的取值范围是 .
故填 .
三、解答题
19．已知数列 的前 项和为 ．
（1）求出它的通项公式；
（2）求使得 最小时 的值.
【解析】（1）当 时， ；
当 时,也适合此式， .
（2）
又因为 是正整数，所以当 或8时， 最小.
20．已知数列 为等差数列，公差 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由题意可知， ， .
又 ， ， ， ， ，
.故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知， ，
.
21．已知等差数列 满足 ，前7项和为
（1）求 的通项公式
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 所以 ，；
（2） ，
，
.
22．已知数列 的前 项和为 ， 且 .
（1）若 ，且 ， ， 成等比数列，求 和 ；
（2）若数列 为等差数列，求 和 .
【解析】（1）因为 ，所以
，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
①当 时，
所以 ，得 ；
②当 时，
所以 ，得 （舍）或综合①②可知， 或 .
当 时，
， ， ，所以 ；
当 时，
， ， ，所以 ；
故 .
（2）因为 ， ，
所以由等差列定义得 ，得 （*）
当 时，由（*）得 ，矛盾.
当 时，由（*）得 ，符合条件.
当 时，因为公差 ，
所以必存在 使得 ，
这与 矛盾.
故综上可知：只有 时符合条件且此时公差 ，
所以 ，
所以 ， .
