文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）第一次月考模拟二
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．若平面 的法向量分别为 ， ，则（ ）
A． B． 与 相交但不垂直
C． D． 或 与 重合
【答案】D
【分析】判断两个法向量共线，从而可判断出两个平面平行或重合.
【详解】由题意， ，
，因为 分别是平面 的法向量，
或 与 重合.
故选：D
2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已
知在堑堵 中， ， ， ，若直线 与直线 所成角为 ，则
( )A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出 和AB夹角余弦值即可求出 竖坐标，从
而得到答案．
【详解】如图，以B为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
，
解得 ，故 ．
故选：B．
3．若过点 的直线与以点 为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先在直角坐标系中作出 三点，再求出 的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可
知直线的倾斜角的取值范围.
【详解】如图所示，设 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角的取值范围为 ，
易得 ， ，又因为 ，所以 ，
所以所求直线的倾斜角的取值范围为 .
故选：A.
.
4．若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出直线与曲线相切时实数 的值，再结合图象，即可得到答案；
【详解】化简方程 可得 ，
方程 对应的曲线为以 为圆心，以2为半径的圆在 轴上方的部分（含点 ,
）；
当直线 与半圆相切时， ， ，
所以 ，
当直线过点 时， ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：C.5．平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O： ，则下列结论正确的是（ ）
A．过点P与圆O相切的直线方程为
B．过点P的直线与圆O相切于M，N，则直线MN的方程为
C．过点P的直线与圆O相切于M，N，则|PM|=3
D．过点P的直线m与圆O相交于A，B两点，若∠AOB=90°，则直线m的方程为 或
【答案】D
【分析】首先求出过点 的切线方程，注意分斜率存在和不存在两种情况讨论，即可判断A,再利用勾股定
理求出切线长，即可判断C, 在以 为圆心，以 为直径的圆上，两圆方程作差即可求出直线
的方程，由此判断B,由圆心到直线的距离求出直线斜率，即可求出直线方程,进而求解D.
【详解】对于A：当直线 的斜率不存在时，则直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，所
以 是过点 的圆的切线，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，
过点 的圆的切线方程为 或 ，故A错误，
对于B; 在以 为圆心，以 为直径的圆 ，直线 为圆 与圆 的公共弦，
两圆方程相减得： ，即直线 的方程为 ，故B错误，
对于C; ， ，故C错误，
对于D：过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 ，
圆心到直线的距离 ，
显然直线的斜率存在，设直线方程为 ，即 ，
，解得 或7，
直线方程为 或 ，故D正确，
故选：D
6．若直线 与圆 交于A，B两点，则 面积的最大值为
（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】由圆方程确定圆心坐标和半径，直线过定点 ，由 时， 最小， 也最小，求
出 的范围，结合三角形面积公式，正弦函数性质得最大值．
【详解】由圆C方程可知，圆心 ，所以
，直线l恒过点 ，点D在圆内， ，当
时， 最小， 也最小，此时 ，故 （ 时不能构成三角
形）， 时， ．
故选：C．7．已知圆 和两点 ， ， ．若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由 ，知动点 的轨迹是以 为直径的圆 ，又点 在圆 上，故点 是圆 与圆
的交点，因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系，从而求出 的取值
范围，进而找到 的最小值.
【详解】
解： ， 点 的轨迹是以 为直径的圆 ，
又点 在圆 上，故点 是圆 与圆 的交点，
因此可得两圆的位置关系是相切或相交，即 ，
解得： ．
的最小值为4．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查圆与圆位置关系的应用，解题的关键通过化归与转化思想，确定点 的轨
迹是以 为直径的圆 与圆 有交点，从而可求出 ，考查了学生化归与转化思想，数形结合的
解题思想及运算求解能力，属于中档题.
8．已知点 是圆 上的动点，直线 与 轴､ 轴分别交于 两点，
当 最小时， （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圆心、半径，根据直线与圆的位置可知，当 最小时， 与圆 相切，最后用勾股定
理求 即可
【详解】圆 化成标准形式为 ，故圆心为 ，半径为
2，直线与坐标轴交于点 ，点 ，如下图所示：
则当 最小时， 与圆 相切，连接 ，可知
，
由勾股定理可得 ，
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若 可以作为空间的一个基底， 与 共线， ，则 也可以作为空间的一个基底
B．已知向量 ，则 与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．己知A，B，M，N是空间中的四点，若 不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共
面D．己知 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定 、 、 、 的结果．
【详解】对于选项 ： ， ， 可以作为空间的一个基底， ， ， 不共面， 与 共线，
， ， ， 不共面，故正确．
对于选项 ： 向量 ， ， 与任何向量都共面， ， 与任何向量都不能构成空间的一个基底，
故正确．
对于选项 ： ， ， 不能构成空间的一个基底， ， ， 共面， ， ， ，
共面，故正确．
对于选项 ： ， ， 是空间的一个基底， ， ， 不共面， ， ， ， 不共面，
， ， 也是空间的一个基底，故正确．
故选： ．
10．如图，已知正方体 的棱长为2， 分别为 的中点，以下说法正确
的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 平面
C．过点 作正方体的截面，所得截面的面积是D．异面直线 与 所成的角的余弦值为
【答案】ABC
【分析】对于A直接计算即可；对于B,D选项以DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标
系，结合空间向量计算即可；对于C，作 中点N， 的中点M， 的中点T，连接GN，GM，
FM，TN，ET，计算面积即可.
【详解】
对于A， ，故A正确；
对于B，以DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， ，
， ， ， ，
则 ，， ， ， ， ，
则 平面EFG，B正确；
对于C，作 中点N， 的中点M， 的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形
EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为 ，则截面面积为： ，故C正确；
对于D， ， ， ，故D错误．
故选:ABC.
11．已知圆 ，点 为 轴上一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形 周长的最小值为
B． 的最大值为
C．若 ，则三角形 的面积为
D．若 ，则 的最大值为
【答案】CD
【分析】首先设 ，
对于选项A，根据题意，表达四边形 周长关于 的函数，由 的取值范围求函数的最小值可判断A错
误；
对于选项B，根据等面积法，求出 关于 的函数关系，由 的取值范围求函数的最大值可判断B错误；
对于选项C，根据题意，计算 的底和高，求出面积判断C正确；
对于选项D，设动点 ，求出切线 的方程与直线 的方程，二者联立消去 得到二者交点 的
轨迹是圆， 的最大值为圆心 与 距离加半径，可判断D正确．
【详解】对于选项A，设 ，则 ，
则四边形 周长为 ，则当 最小时周长最小，又 最小值为2，
所以四边形 周长最小为 ，故A错误；
对于选项B， ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，故B错误；
对于选项C，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
， ， ，
所以三角形 的面积为 ，故C正确；对于选项D，设 ， ,则切线 的方程为 ，
又因为直线 过点 ，代入可得 化简得
设 ,同理可得 ，
因此点 都过直线 ，即直线 的方程为 ，
的方程为 ，
二者联立得， ，
由①式解出 ，代入②式并化简得 ，
配方得 ， ，
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
设其圆心为 ，所以 的最大值为 ，故D正确．
故选：CD.
【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB选项，设
变量 ，用 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D选项，设出动点 ，分别表达直线
和 的方程，联立消去 ，得到动点 的轨迹，进一步求解答案.
12．已知 为坐标原点，圆 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 与圆 内切
B．直线 与圆 相离
C．圆 上到直线 的距离等于1的点最多两个
D．过直线 上任一点 作圆 的切线，切点为 ， ，则四边形 面积的最小值为【答案】ACD
【分析】A.计算圆心距离与半径差的大小关系；B.求圆心到直线的距离来判断；C.圆心 到直
线 的距离为 来判断；D. 过直线 上任一点 作圆 的切线，
切点为 ， ，四边形 面积为：
，当 垂直直线 时， 有最小值，求出 的最
小值，即可求出四边形 面积的最小值，即可判断.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，而圆 的圆心 ，
所以 ，所以圆 与圆 内切，A正确；
圆心到直线的距离 ，故圆和直线相切或相交，B错误；
因为圆心 到直线 的距离为：
，
因为 ，
又因为圆 的半径为1，所以上到直线 的距离等于1的点最多两个，故C正确；
过直线 上任一点 作圆 的切线，切点为 ， ，四边形 面积为：
，当 垂直直线 时， 有最小值，且，
因为 ，
所以 ，则四边形 面积的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如图，在正方体 中，二面角 的大小为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.
【详解】在正方体 中，令棱长 ，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，令平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
令平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
于是得 ，而 ，则 ，
由图形知，二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的大小 .
故答案为：
14．过点 ，且在 轴上的截距等于在 轴上的截距的2倍的直线的一般方程是______.
【答案】 或
【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合 点的坐标求得直线的一般方程.
【详解】①当在x轴、y轴上的截距都是 时，设所求直线方程为 ，
将 代入 中，得 ，此时直线方程为 ，即 .
②当在x轴、y轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为 ，
将 代入 中，得 ，此时直线方程为 .
综上所述，所求直线方程为 或 .
故答案为： 或
15．写出与圆 ，圆 都相切的一个圆的方程___________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据对称性知，与圆 和圆 都相切的圆 的圆心 在直线 上，进而求得其中一个
圆的方程，得到答案.【详解】由题意，圆 ，圆 ，
可得 ，则 的中点坐标为 ，
根据对称性知，与圆 和圆 都相切的圆 的圆心 在直线 上，
设 ，则圆 ，
例如当 ，圆 ，
此时圆 与圆 和圆 都相切，满足题意.
故答案为： （答案不唯一）
16．设 ，圆 ，若动直线 与圆 交于点A、C，动直线
与圆 交于点B、D，则 的最大值是________．
【答案】
【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线
的距离为d，根据几何关系表示出 ，利用基本不等式即可求出其最大值.【详解】 ，
圆心M(1，3)，半径r＝ ，
过定点E(2,1)，
过定点E(2,1)，
且 ⊥ ，
如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，
设 ， ，则 ，
则 ＝
，当且仅当 即 时取等号.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求：
(1)AB边中线所在的直线方程；(2) 的外接圆的方程.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据中点坐标公式求出AB中点的坐标，利用直线方程的点斜式可得AB边中线所在的直线
方程；
（2）设出 外接圆的一般方程： ，利用待定系数法确定 、
、 ，再把圆的一般方程化为圆的标准方程即可.
（1）
设AB中点为 ， ， ， ，直线CM斜率 ，由点斜式得AB边中线方程为：
.
（2）
设 外接圆的一般方程为： ，把 ， ，
三点坐标代入圆的一般方程得：
，解得 ，
所求圆的一般方程为： ，化为标准方程为： .
18．已知直线l经过点 ．
(1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；
(2)设l的斜率 ，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当 的面积最小时，求l的斜截式方程．
【答案】(1) 或
(2)【分析】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到 ，解方程即可求
出结果；
（2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果.
（1）
由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，
则l的点斜式方程为 ，则它在两坐标轴上截距分别为 和 ，
所以 ，解得 或 ，
所以l的点斜式方程为 或 ．
（2）
由（1）知， 、 ，
所以 的面积 ，
当且仅当 时，等号成立，所以l的斜截式方程为 ．
19．在如图所示的五面体 中，面 是边长为2的正方形， 平面 ， ，且
， 为 的中点,M为CD中点，
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证线面平行，
（2）利用平面法向量的夹角求二面角，
（3）利用空间向量即可求解点面距离.
（1）
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，所以
两两垂直，所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，因为平面 是边长为2的正方形， ，且 ， 为 的中点，所以
， ， ， ， ， ， ，所以 ，因
为平面 的法向量可以为 ，所以 ，即 ，又 平面 ，所以 平
面 ；
（2）因为 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，令
，则 ，所以 ，因为 平面 ， ，所以 平面 ，因为
平面 ，所以 ，因为 平面 ，所以 平面
，所以平面 的法向量可以为 ，
设二面角 为 ，由图可知二面角 为钝角，则 ，所以二面角
的余弦值为 ；
（3）
由（2）知平面 的法向量为 ，又 ，设点 到平面 的距离为 ，则
，
所以点 到平面 的距离 ；
20．四棱雉 底面为平行四边形，且 ， ， ， 平面 ，
．
(1)棱 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．(2)若异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)存在， ，理由见解析；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理，再利用平行线分线段成比例定理计算作答.
（2）证明 ，建立空间直角坐标系，结合异面直线夹角求出PA长，再利用空间向量求解二面角
的余弦值作答.
（1）
存在符合条件的点N，
连接 ，令 ，连 ，如图，
因 平面 ，平面 面 ， 平面 ，则有 ， ，
在 中， ，则 ，因此 ，
所以存在符合条件的点N， .
（2）
在 中， ，则 ，
有 ，于是得 ，即 ， ，又 平面 ，
以点A为原点，射线 分别为 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，设 ， ，有 ，
因异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则 ，解得 ，
， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，显然平面 的法向量 ，
令平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
21．已知圆 ，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆M相切于A、B两点．
(1)若 ，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若 ，求直线MQ的方程．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或 ．【分析】（1）根据过点Q的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
（2）求得四边形 面积的表达式，由 的最小值求得面积的最小值.
（3）根据 以及圆的切线的几何性质求得 点坐标，进而求得直线 的方程.
（1）
圆 的圆心为 ，半径为1，
当过点Q的切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，与圆相切，符合题意；
当过点Q的切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即kx－y－k＝0，
所以圆心 到切线的距离 ，解得 ．
所以切线方程为3x＋4y－3＝0．
综上，切线方程为x＝1或3x＋4y－3＝0．
（2）
由题意得四边形QAMB的面积 ，
所以当MQ⊥x轴时， 取得最小值2，
所以四边形QAMB面积的最小值为 ．
（3）
由题意得圆心M到弦AB的距离为 ．
设 ， ，则 ．
又AB⊥MQ，所以 ，解得 ，
，所以 或 ，
所以 ，
所以直线MQ的方程为 或 ．
22．已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上，该圆与直线 相切，且被y轴截得的弦长为 ，
圆C的面积小于13．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否
存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法，根据已知条件建立方程组求解.
（2）假设存在，把直线方程与圆的方程联立、消元、韦达定理，根据条件进行求解、判断.
（1）
设圆C的方程为 ，
由题意，知 ，解得 或 ，
又圆C的面积 ，∴ ， ，
∴圆C的标准方程为 ．
（2）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不满足题意．当直线l的斜率存在时，假设存在满足题意的直线l，设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
∵直线l与圆C相交于不同的两点，
∴ ，
解得 或 ．
， ，
∵线段OD过线段AB的中点 ，且线段AB与OD互相平分，
∴点D的坐标为 ，即 ，
又MC的斜率为 ，∴ ，解得 ．
由于 ，故不存在这样的直线l．
