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广东省茂名市电白区2024-2025学年高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知向量 ， . 若 ，则实数 （ ）
A． B．9 C．1 D．
2． 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ，则 （ ）
A． B．10 C． D．
5．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在 中，角 的对边分别为 是 边上的中点，则中线 的长等
于（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，一个质点在半径为2的圆 上以点 为起始点，沿逆时针方向运动，每 转一圈.则该质点
到 轴的距离 关于时间 的函数解析式是（ ）A． B．
C． D．
8．已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则角A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．为了得到函数 的图象，可将函数 的图象上的点（ ）
A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度
D．向左平行移动 个单位长度
二、多选题
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．在正方形ABCD中，
B． 的模长为0
C．若 ，则向量 是单位向量D．若向量 与向量 是共线向量，则向量 与向量 的方向相同
11．已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数
，我们听到的声音是由纯音合成的，被称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数
，则（ ）
A． 是 的一个周期 B． 在 上有7个零点
C． 的最大值为3 D． 在 上是增函数
三、填空题
12．已知向量 ， ，则 =
13．若 ，则 ．
14．扇形 的半径为1， ，点 在弧 上运动， ，则 的最大值是
.
四、解答题
15．已知向量 ， ， ，
(1)求 ；
(2)求 与 夹角 的余弦值；
(3)若向量 与 互相垂直，求实数 的值.
16．已知 ， ．
(1)求 的值；(2)求 的值．
17．在 中， ， ， ．
(1)求 ；
(2)求 的面积．
18．已知函数 的一段图象如图所示
(1)求函数 的表达式；
(2)已知 ，求 的最值及相应的 值；
(3)若 ，求 的值.
19．在平面直角坐标系 中，已知点 ．
(1)①求 的值．
②证明存在点 ，使得 ，并求出 的坐标．
(2)若点 在四边形 的四条边上运动，当 将四边形 分成面积相等的两部分时，求点 的坐
标．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A B D C A AC BC
题号 11
答案 BC
1．A根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得 ，即 .
故选：A.
2．D
根据二倍角的正弦公式直接求解即可.
【详解】解： .
故选:D．
3．A
逆用和角余弦公式化简求值即可.
【详解】 .
故选：A
4．A
先求得 的坐标再求其模长即得.
【详解】因 ，则 ，
于是， .
故选：A
5．B
由余弦定理得推论可得 的值.
【详解】在 中，由题意知：
，
故选：B
6．D【详解】由余弦定理得 ，解得 （负根已舍去），
因为 是 边上的中点即 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
7．C
根据题意求出 ，根据正弦的概念求解点 的纵坐标，即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ，所以点 逆时针运动ts时， ，
所以点 的纵坐标为 ，所以该质点到 轴的距离 .
故选：C
8．A
先由 化简得 ，再由余弦定理得 ，即可求得角A的取值范围.
【详解】由 可得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，则 ，又 ，则 .
故选：A.
9．AC
根据三角函数左右平移的规则判断求解即可.
【详解】将函数 的图象上的点向左平行移动 个单位长度，
得函数 的图象，故A正确B错误；将函数 的图象上的点向右平行移动 个单位长度得函数
，
故C正确D错误.
故选：AC
10．BC
对于A，根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B，由零向量的定义判断，对于C，由单
位向量的定义判断，对于D，根据共线向量的定义判断.
【详解】对于A，在正方形ABCD中， 与 的方向不同，A错误.
对于B， 的模长为0，B正确.
对于C，若 ，则向量 是单位向量，C正确.
对于D，若向量 与向量 是共线向量，则向量 与向量 的可能相反，D错误.
故选：BC
11．BC
先对函数化简得 ，然后逐个分析判断即可.
【详解】
.
对于A，因为 ，
所以 不是 的一个周期，A错误；
对于B，由 ，得 或 ，
当 时，可得 ，所以 在 上有7个零点，B正确；
对于C，当 取得最大值， 取得最小值时， 取得最大值，
因为 ，所以 的最大值为3，C正确；
对于D，因为 ，所以D错误.
故选：BC
12．
由平面向量的坐标运算即可求解.
【详解】 .
故答案为： .
13．
【详解】
14．2
解法1：建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可求解．
解法2：利用数量积的运算律得 ，然后利用基本不等式求解最值，再求出 或 时的最
值，即可得解.
【详解】解法1：以 为原点，以 为 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 ，则 ，其中 ．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ．
所以当 时， 取得最大值2，此时点 为 的中点
解法2：因为 ，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，整理得 ，
当且仅当 时等号成立.
当 或 时， .
综上， 的最大值为2.
故答案为：2
15．(1)
(2)
(3)
（1）根据向量的数量积坐标表示即可；
（2）根据向量夹角余弦值的坐标表示即可；
（3）计算出 ，再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】（1）因为 ，
.
（2） ， ，
.
（3）因为向量 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 .
16．(1)
(2)
（1）先求出 ，再根据两角差的正弦公式求解；
（2）先求出 ，再根据两角差的正切公式求解.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，
，
所以 ，所以 .
17．(1)
(2)
（1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得 的值，利用正弦定理可得 的值，利用三角形面积公
式即可求解.
【详解】（1）解：由正弦定理可得： ,
又 ，所以 ，
整理得： ，
因为 ，所以 ，而B为三角形内角，故 .
（2）解：因为 ，所以 或 ，
又 ， ，所以
当 时， ，不符合题意，
故 ， ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
故 的面积为： .
18．(1)(2) ， ， ， ，
(3)
（1）根据周期求得 ，再根据特殊点及条件求得 ，即可得解.
（2）结合正弦函数的性质，利用整体法求得最值及相应的 值.
（3）先利用已知及二倍角余弦公式求得 ，再结合诱导公式求解即可.
【详解】（1）由图象可知， ，所以 ，又 ，故 ．
由 ，得 ，又 ，故 ．
于是 ．
（2）由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
当 时，即 时， ，
当 时，即 时， .
（3）因为 ，得 ，
所以 ，
所以 .19．(1)① ；②证明见解析，（6，3）
(2)
（1）①分别求出 ，利用向量夹角公式可得
；
②由条件知点 为四边形 外接圆的圆心，由 ，可得 ，所
以四边形 外接圆的圆心为 的中点，从而求出点 的坐标；
（2）求出四边形各边长，由 将四边形 分成面积相等的两部分，可知 ，从而可得点
的坐标．
【详解】（1）①因为 ，
所以 ，
得 ，
，
所以 ．
②由 知，点 为四边形 外接圆的圆心．
因为 ，
所以
所以 ，四边形 外接圆的圆心为 的中点，
所以点 的坐标为（6，3），得证．
（2）易得 ．因为 将四边形 分成面积相等的两部分，则点 在 上，且 ，所以有
得 ，所以 ．
设点 的坐标为（x，y），则 ，
所以 ，则 ，故点 的坐标为 ．
