文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）第一次月考模拟三
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．以上都不对
【答案】C
【分析】直接由空间向量平行和垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知： ， ，故 ， .
故选：C.
2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的
“堑堵”中， ，则二面角 的正切值为（ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】取 中点 ，连接 ， ，求得 即为二面角 的平面角，设出边长，利
用三角形知识求解即可.
【详解】由 知， ，取 中点 ，连接 ， ，则 即为二面角
的平面角，设 ，则 ，∴ ．
故选：D．
3．直线 （ ）过定点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将直线方程转化为直线系方程 ，再求解直线 和 的交
点即可得答案.
【详解】解：根据直线 得 ，
故直线过定点为直线 和 的交点，
联立方程得 ，解得 ，所以定点 的坐标为 .
故选：B.
【点睛】本题考查直线过定点问题，两直线的交点坐标，考查运算能力，是基础题.
4．若圆 上至少有3个点到直线 的距离为 ，则k的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】圆M先成化标准方程求得圆心 ，半径为5，则至少有3个点到直线l的距离为 等价于
圆心到直线l的距离不超过 ，用点线距离公式列式求解即可
【详解】圆M的标准方程为 ，则圆心 ，半径为5，
由题意及圆的几何性质得，圆心 到直线 的距离不超过 ，
由点线距离公式得， ，解得 ，即 或 ．
故选：C
5．与圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，则 等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线 对称，即
可得到答案
【详解】解：由 可得 ，所以圆心为 ，
由 可得 ，所以圆心为 ，因为与圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，
所以 关于直线 对称的点为 ，且半径相等，
所以 与 的中点在 上，即 解得 ，满足题意，
故选：C
6．若直线 与曲线 有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】确定直线 恒过定点 ，确定曲线 表示以点 为圆心，1
为半径，且位于直线 右侧的半圆，包括点 ， ．由直线与圆的位置关系可得结论（需要求出
切线的斜率）
【详解】直线 恒过定点 ，曲线 表示以点 为圆心，1为半径，
且位于直线 右侧的半圆，包括点 ， ．
如图，当直线l经过点 时，l与曲线C有两个交点，此时 ，直线记为 ；
当l与半圆相切时，由 ，得 ，切线记为 ．
由图可知当 时，l与曲线C有两个交点，
故选：A．7．已知圆 和两点 ， ，若圆C上存在点P，使得 ，
则m的取值范围是（ ）
A．[8，64] B．[9，64]
C．[8，49] D．[9，49]
【答案】D
【分析】设P的坐标为 ，由 可得P的轨迹为 ，又因为点P在圆C上，所
以两圆有公共点，从而求解即可.
【详解】解：设P的坐标为 ，因为 ， ， ，
所以 ，化简得 ，
又因为点P在圆 上，
所以圆 与圆C有公共点，
所以 且 ，
解得 ，
故选：D．
8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿
波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点，
且 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点 的轨迹方程可得 ，结合条件可得 ，即得.
【详解】设 ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
因为 且 ，所以 ，
整理可得 ，
又动点M的轨迹是 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，因为 ，
所以 的最小值为 ．
故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，已知 ， 分别是正方体 的棱 和 的中点，则（ ）
A． 与 是异面直线
B． 与 所成角的大小为
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．二面角 的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据异面直线的概念可判断A，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD．
【详解】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异
面直线异面直线”可知A正确；
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， ， ， ， ，
所以 ， ，
设 与 所成角的大小为 ，
则 ，
所以 ，故B正确；
由题意可知，平面 的法向量可取 ，
，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，故C错误；
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
同理可得平面 的法向量 ，
则 ，
又因为二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ，故D正确.
故选：ABD．
10．下列结论正确的是（ ）
A．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 ；
B．圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C．已知 ，O为坐标原点，点 是圆 外一点，且直线m的方程是 ，则
直线m与圆E相交；
D．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 ；
【答案】BC
【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为 ，A错误；
B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确；
C选项，首先根据点在圆外得到不等式 ，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半
径，从而得到C选项正确；
D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围.
【详解】当截距为0时，设直线l的方程为 ，代入 ，解得： ，则直线l的方程为 ，
当截距不为0时，设直线l的方程为 ，
代入 ，解得： ，
此时直线l的方程为 ，
综上：直线l的方程为 或 .
A错误；
圆 的圆心为 ，半径为2，
圆心到直线 的距离为 ，刚好为半径的一半，
所以圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1，B正确；
已知 ，O为坐标原点，点 是圆 外一点，
所以 ，
直线m的方程是 ，则圆心到直线m的距离为 ，
所以直线m与圆E相交，C正确；
直线 整理为 ，
即过定点 ，
如图所示，， ，
要想直线 与以 ， 为端点的线段相交，
则实数k的取值范围为 或 ，D错误.
故选：BC
11．如图，在棱长为1的正方体 中（ ）
A． 与 的夹角为 B．二面角 的平面角的正切值为
C． 与平面 所成角的正切值 D．点 到平面 的距离为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ，
∴ ， ，即 ， 与 的夹角为 ，故A错误；
设平面 的法向量为 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
平面 的法向量可取 ，二面角 的平面角为 ，
则 ，所以 ，故B正确；
因为 ，设 与平面 所成角为 ，
则 ，故C正确；
因为 ，设点 到平面 的距离为 ，则
，故D正确.
故选：BCD.
12．已知直线 ，过直线上任意一点M作圆 的两条切线，切点分别为A，B，
则有（ ）A．四边形MACB面积的最小值为 B． 最大度数为60°
C．直线AB过定点 D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】 ，当 时 有最小值，求出 可判断A；当
时 最大， 可判断B；设点 ， ，
，求出直线 的方程 ，整理得 ，由
可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当 时，弦长 最小，
求出 的最小值可判断D.
【详解】对于A选项，由题意可知 ，当 时， 有最小值，
即 ，此时 ，所以四边形MACB面积的最小值为 ，
故选项A正确；
对于B选项，当 时， 最大，此时 ，此时
，故选项B错误；
对于C选项，设点 ， ， ，则 ，易知在点A、B处的切线方程分别
为 ， ，将点 分别代入两切线方程得， ，所以直线 方程为 ，整理得
，代入 ，得 ，
解方程组 得 所以直线AB过定点 ，故选项C错误；
对于D选项，设直线AB所过定点为P，则 ，当 时，弦长 最小，此时
，则 的最小值为 ，故选项D正确，故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．正方体 中， 分别是上底面 和侧面 的中心，若
，则 ______
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的运算法则列出方程组，求出答案.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC， 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体
边长为2，
则 ，
，
因为 ，
所以 ，即 ，解得： ，
所以
故答案为：
14．过点 且与直线 垂直的直线方程是________.
【答案】
【分析】根据两直线垂直斜率的关系可得所求直线的斜率为 ，即可得直线的点斜式方程，化为一般式
方程即可.
【详解】由题设，与直线 垂直的直线斜率为 ，且过 ，
所以 ，整理得 .
故答案为: .
15．若圆 关于直线 对称，由点 向圆C作切线，切点为 ，则的最小值是__________.
【答案】4
【分析】由题意知圆心 在直线 上，于是有 即可得 在直线
上，作出图象，由图可得当 与直线 垂直时， 有最小值,在 中由勾股
定理求解即可.
【详解】解：由题意知，直线 过圆心 ，即 ，
化简得
所以 在直线 上，如图，为使 最小，
只需圆心 与直线 上的点的距离最小，
如图所示：
，
所以 的最小值为 .
故答案为：4.
16．已知实数 ， ， ， 满足 ， ， ，则 的
最大值是______．
【答案】10【分析】采用数形结合法，将所求问题转化为 两点到直线 的距离和的 倍，结合梯形中
位线性质和三角形三边关系可求得答案.
【详解】
由 ， ， ，可知，点 在圆上，
由 ，即 为等腰直角三角形，
结合点到直线距离公式 可理解为圆心到直线 的距离，
变形得 ，
即所求问题可转化为 两点到直线 的距离和的 倍，
作 于 于 ， 中点为 ， 中点为 ，
由梯形中位线性质可得， ，
作 于 ， 于 ，连接 ，
则 ，
当且仅当 与 重合， 三点共线时，
有最大值，由点到直线距离公式可得 ，由几何性质可得 ， ，
此时 ，故 的最大值为 .
故答案为：10.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知 的三个顶点分别为 、 、 ．
(1)求边 和 所在直线的方程；
(2)求 边上的中线 所在直线的两点式方程．
【答案】(1) 的方程为 ， 的方程为
(2)
【分析】（1）求出直线 、 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
（2）求出线段 的中点 的坐标，进而可求得 的两点式方程.
（1）
解： ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
，所以，直线 的方程为 ，即 .
（2）
解：线段 的中点为 ，
所以 边上的中线 所在直线的两点式方程为 ．
18．已知曲线 和直线 ．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为 ，求m的值．【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）通过对 变形，结合圆的标准方程计算即得结论；
（2）通过（1）可知 ，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距 ，利用弦心距､半径与半弦长的关
系计算即得结论
（1） ， ，
又 曲线 表示圆， ，即 ，
所以m的取值范围为 ；
（2）由（1）可知 ，圆心坐标为 ，
又 直线 ， 圆心到直线 的距离 ，
直线 截得的弦长为 ， ，
解得：
19．已知直线 过定点 ，且与圆 交于 、 两点．
(1)求直线 的斜率的取值范围．
(2)若 为坐标原点，直线 、 的斜率分别为 、 ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；
若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 是定值为
【分析】（1）分析可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，利用点到直线的距离公式可得出
关于 的不等式，解之即可；（2）设 ， ，设直线 的方程为 ，将该直线的方程与圆 的方程联立，列出韦
达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出 的值.
（1）解：圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 .
若直线 的斜率不存在，此时直线 与圆 相切，不合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由题意可得 ，解得 .
因此，直线 的斜率的取值范围是 .
（2）解：设 ， ，设直线 的方程为 .
联立 ，得 ，其中 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 为定值 .
20．如图，在三棱柱 中， 平面 .
(1)求证: ;(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）由 平面 ，得到 ，再由 ，证得 ，进而证得
平面 ，即可证得 .
（2）以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面
和平面 的一个法向量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）证明: 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 四边形 是平行四边形， 所以四边形 是菱形，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 所以 .
（2）解： 因为 与平面 所成角为 平面 ，所以 ，
因为 ， 所以 是正三角形，
设 ， 则 ，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
所以 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设二面角 的大小为 ，
因为 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
21．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面 平面 ，
， 为棱 的中点，四棱锥 的体积为 ．(1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，指出点
的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点 ，位于 靠近点 的三等分点处满足题意.
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，得到 ，然后利用线面平行的判定定理得到 平面
；（2）假设在棱 上存在点 满足题意，建立空间直角坐标系，设 ，根据平
面 与平面 的夹角的余弦值为 ，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于 ，求出 ，
即可得出结论.
（1）
取 中点 ，连接 ，
分别为 的中点，
，
底面四边形 是矩形， 为棱 的中点，
， ．
， ，
故四边形 是平行四边形，
．
又 平面 ， 平面 ，平面 ．
（2）
假设在棱 上存在点 满足题意，
在等边 中， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，则 是四棱锥 的高．
设 ，则 ， ，
，所以 .
以点 为原点， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
， ， ，
故 ， ， ．
设 ，
．
设平面PMB的一个法向量为 ，
则
取 ．易知平面 的一个法向量为 ， ，
，
故存在点 ，位于 靠近点 的三等分点处满足题意.
22．已知圆心 在第一象限，半径为 的圆与 轴相切，且与 轴正半轴交于 ， 两点（ 在 左侧），
（ 为坐标原点）．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 任作一条直线与圆 相交于 ， 两点．
①证明： 为定值；②求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）① ，证明见解析，②
【分析】（1）首先 ，得到 ， ， ，再根据
即可得到答案.
（2）①首先根据（1）得到 ， ，设 ，再分别计算 即可；②根据
得到 ，即可得到答案.
【详解】（1）设 ，由题知：
， ， ，所以 ，
解得 ，所以圆 .
（2）由（1）知： ， ，
.所以 ， ，
设 ，
，
同理 ，所以 .
②因为 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
