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格致课堂
6.2.3 向量的数乘运算
一、选择题
1．设 是非零向量， 是非零实数，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的方向 的方向相反 B．
C． 与 方向相同 D．
【答案】C
【解析】对于A， 与 方向相同或相反，因此不正确；对于B， 时， ，因此不
正确；对于C，因为 ，所以 与 同向，正确；对于D， 是实数， 是向量，不可
能相等．故选C．
2．设 ， 是两个不共线的向量，若向量 与向量 共线，则（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，又 ，∴ ，此时 、 共线，
故选D.
3．已知向量 ， ， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【答案】B
【解析】∵ ，∴ 、 、 三点共线．故选B．
4．（2019·全国高一课时练习）如图所示，在 中，点D是边 的中点，则向量 （格致课堂
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 为 中点
本题正确选项： 。
5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n.
【答案】AB
【解析】对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m＝0，则不能推出a＝
b，错误；对于D，若a＝0，则m，n没有关系，错误.故选A，B.
6.（2019·山东高一期末）设点 是 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则点 是边 的中点
B． 若，则点 在边 的延长线上
C．若 ，则点 是 的重心
D．若 ，且 ，则 的面积是的 面积的
【答案】ACD格致课堂
【解析】A中： ,
即：
,则点 是边 的中点
B. , 则点 在边 的延长线上，所以B
错误.
C.
设 中点D,则 , ，由重心性质可知C
成立.
D． 且 设
所以 ，可知 三点共线，所以 的面积是
面积的
故选择ACD。
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习） ________________．格致课堂
【答案】
【解析】
故答案为
8.已知P1P＝PP2，若PP1＝λP1P2，则λ等于________．
【答案】 －
【解析】 因为P1P＝PP2，所以－PP1＝(PP1＋P1P2)，即PP1＝－P1P2＝λP1P2，
所以λ＝－.
9．若AP＝tAB(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP＝________．(用OA，OB表示)
【答案】 (1－t)OA＋tOB
【解析】 AP＝tAB，OP－OA＝t(OB－OA)，
OP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB.
10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________，
⃗BO= ⃗AB,⃗AD
（用 来表示）
1
(
⃗AD− ⃗AB)
2
【答案】 2
【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB＋AD＝AC，
又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO，∴λ＝2.
1 1 1
⃗BO= ⃗BD= ( ⃗AD− ⃗AB) ( ⃗AD− ⃗AB)
2 2 2
。
三、解答题
11．计算：（1） ；
（2） ； （3） ．格致课堂
【答案】略
【解析】（1）原式
．
（2）原式 ．
（3）原式 ．
12.设a，b是两个不共线的非零向量，记OA＝a，OB＝tb(t∈R)，OC＝(a＋b)，那么当实数t为何值
时，A、B、C三点共线？
【解】 ∵OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AB＝OB－OA＝tb－a，
AC＝OC－OA＝(a＋b)－a＝b－a，
∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λAC，即tb－a＝λ.
由于a，b不共线，∴解得
故当t＝时，A、B、C三点共线．
