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格致课堂
6.2.3 向量的数乘运算
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
线性表示 1,2,5,7,8
向量共线 3,4,6,9
综合应用 10,11,12
基础巩固
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个
向量，而不是实数．
2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝( )
A.BC－BA
B．－BC＋BA
C．－BC－BA
D.BC＋BA
【答案】B
【解析】 ∵D是AB的中点，∴BD＝BA，
∴CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.
3．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】 AD＝AC＋CD＝AB＋BC＋CD格致课堂
＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)
＝3a＋6b＝3AB，
∴A，B，D三点共线．故选A.
4．若AB＝3e，CD＝－5e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是( )
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A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
【答案】C
【解析】因为AB＝－CD，所以AB∥CD，且|AB|≠|CD|.而|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC
＝a，BD＝b，则AF等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
【答案】B
【解析】如图所示，∵E是OD的中点，∴OE＝BD＝b.
又∵△ABE∽△FDE，∴＝＝.
∴AE＝3EF，∴AE＝AF，
在△AOE中，AE＝AO＋OE＝a＋b，
∴AF＝AE＝a＋b.故选B.
6．设e，e 是两个不共线的向量，若向量ke＋2e 与8e＋ke 方向相反，则k＝________.
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【答案】－4
【解析】∵ke＋2e 与8e＋ke 共线，
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∴ke＋2e＝λ(8e＋ke)＝8λe＋λke.
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∴解得或
∵ke＋2e 与8e＋ke 反向，∴λ＝－，k＝－4.
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7．若a＝－e＋3e，b＝4e＋2e，c＝－3e＋12e，则向量a写为λb＋λc的形式是________．
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【答案】－b＋c
【解析】 若a＝λb＋λc，则－e ＋3e ＝λ(4e ＋2e)＋λ(－3e ＋12e)，∴－e ＋3e ＝(4λ －3λ)e ＋(2λ ＋
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12λ)e.
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∴解之，得
8．如图所示，向量OA，OB，OC的终点A，B，C在一条直线上，且AC＝－3CB.设OA＝p，OB＝q，OC
＝r，那么r用 p， q怎么表示？
【答案】r＝－p＋q.
【解析】∵OC＝OB＋BC，AC＝－3CB＝3BC，
∴BC＝AC.
∴OC＝OB＋AC＝OB＋(OC－OA)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q.
能力提升
9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使 ＝0；
③ ＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中
A．①② B．①③
C．② D．③④
【答案】A
【解析】由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有
xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．
10．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若
AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．格致课堂
【答案】2
【解析】在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此AO＝(AB＋AC)＝AB＋AC.
由于AB＝mAM，AC＝nAN，
则AO＝mAM＋nAN.
由于M，O，N三点共线，则m＋n＝1，
从而m＋n＝2.
11．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.
(1)用a，b分别表示向量AE，BF；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【答案】（1）AE＝(a＋b)．BF＝－a＋b.（2）见解析.
【解析】(1)∵AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，
∴AE＝AD＝(a＋b)．
∵AF＝AC＝b，
∴BF＝AF－AB＝－a＋b.
(2)证明：由(1)知BF＝－a＋b，
BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝－a＋b＝，∴BE＝BF，∴BE与BF共线．
又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．格致课堂
素养达成
12．设e，e 是两个不共线的向量，如果AB＝3e－2e，BC＝4e＋e，CD＝8e－9e.
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(1)求证A，B，D三点共线；
(2)试确定λ的值，使2λe＋e 和e＋λe 共线；
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(3)若e＋λe 与λe＋e 不共线，试求λ的取值范围．
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【答案】(1)见解析．(2)λ＝±.(3)当λ≠±1时，e＋λe 与λe＋e 不共线．
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【解析】 (1)证明：因为BD＝BC＋CD＝4e＋e＋8e－9e＝12e－8e＝4(3e－2e)＝4AB，
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所以AB与BD共线．
因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为2λe＋e 与e＋λe 共线，
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所以存在实数μ，使2λe＋e＝μ(e＋λe)．
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因为e，e 不共线，所以
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所以λ＝±.
(3)假设e＋λe 与λe＋e 共线，则存在实数μ，使e＋λe＝μ(λe＋e)．
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因为e，e 不共线，所以所以λ＝±1.
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所以当λ≠±1时，e＋λe 与λe＋e 不共线．
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