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绝密★启用前
2024 年“江南十校”高一 12 月份分科诊断联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的．
1. 已知命题 ，则它的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合 ，若 且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数 ，若 ，则实数 的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知幂函数 （ 为常数）具有性质：（1）定义域为 ，（2）图象关于y轴对称，
则 的可能取值为（ ）
A. B. C. 2 D.
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6. 已知 且 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 定义在 上的函数 可表示为一个奇函数 与偶函数 的和，
则不等式 的解为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A B. C. D.
10. 德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，
y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一
个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是
用图象、表格等形式表示．例如， 下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 的值域为 D. 是函数 的一条对称轴
11. 已 知 函 数 若 函 数 有 零 点 ， 记 为 ， 且
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，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 任意直线 都与函数 的图象有交点
C. 当 时， 取值范围为
D. 当 时， 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 化简： _______．
13. 函数 的单调递减区间是_______．
14. 记 中的最大者为 ，则 的最小值
为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 定义域为A，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求 的取值范围．
16. 已知函数 ．
（1）若函数 具有奇偶性，试求实数 的值；
（2）若函数 为奇函数，判断函数 单调性，并证明．
17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益 （单位：万元）与
研发投入资金x（单位：万元）的关系为 ，项目乙研发期望收益 （单位：
万元）与研发投入资金 x（单位：万元）的关系为 ， ，且
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．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期
望收益最大？并求出最大期望利润．
18. 已知二次函数 图象经过 ，且不等式 的解集为 ，
（1）求函数 的表达式；
（2）若对任意的 恒成立，求实数m的取值范围．
19. 如果函数 的每一个函数值y都有唯一的自变量x和它对应，则函数 有反函数，记为
．定义：若对给定的实数 ，函数 与 互为反函数，则称
满足“a和性质”；若函数 与 互为反函数，则称 满足“a积性
质”．
温馨提示：如何求函数的反函数，可参考函数 的反函数求解过程．令
，则 ，解得 ，即 ．又函数 的值域
为R，故其反函数为 ．
（1）求函数 的反函数；
（2）判断函数 是否满足“ 积性质”，并说明理由；
（3）求所有满足“2025和性质”的一次函数．
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2024 年“江南十校”高一 12 月份分科诊断联考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的．
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
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【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】AC
10.
【答案】BD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】18
13.【答案】
14.【答案】3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解】
【分析】（1）由对数函数定义域可得集合A，然后由交集定义可得答案；
（2）由题可得 ，讨论a的取值，可得相应集合A，即可得答案.
【小问1详解】
由 可得 ．
当 时， ，故 ；
【小问2详解】
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 ．
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当 时， ，此时 ，
则 满足题意；
当 时， ，
要使得 ，则 ，解得 ；
当 时， ，
要使得 ，则 ，解得 ．
综上： .
16.
【解】
【分析】（1）根据奇偶函数定义，列式求解；
（2）根据函数单调性定义判断证明.
【小问1详解】
若函数 为偶函数，则 ，即 ，
即 恒成立，则 ；
若函数 为奇函数，则 ，即 ，
即 恒成立，则 ．
综上知，函数 具有奇偶性时， ．
小问2详解】
函数 为奇函数时， 是R上的增函数，证明如下：
由（1）知函数 奇函数时， ，此时 ．
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设 ，
则 ，
，则 ，
故 ，即 ，
故 是 上的增函数．
17.
【解】
【分析】（1）由 结合解析式可得答案；
（2）设项目甲研发投入资金为 万元，则项目乙投入 万元，投资收益为 ，由题可得
表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案.
【小问1详解】
由 ，
可得 ，解得
故 ；
小问2详解】
设项目甲研发投入资金为 万元，则项目乙投入 万元，投资收益为 ，
则
，其中 .
则
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由基本不等式可得 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元．
18.
【解】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 不 等 式 的 解 集 为 ， 可 设
，再由二次函数 图象经过 ，求出 的值,得到 的解析式;
（2）由解析式 ，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，求出
的值域，再由 ，求出参数 的范围.
【小问1详解】
由题知不等式 的解集为 ，
可设 ， ，
即 ．
又 ，解得
故 ．
【小问2详解】
由（1）知 ，
则函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
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故 ， ，
因此函数 的值域为 ．
不等式 可化 ，
而 ，
故 恒成立 恒成立 ．
令 ，
则 ，
函数 在区间 上单调递增，而 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 ．
19.
【解】
【分析】（1）由题意中反函数的求解方法可得；
（2）先求 的反函数，再验证“ 积性质”即可；
（3）设函数 满足“2025和性质”，先求其反函数，再利用“和性质”定义
求出 即可；
【小问1详解】
令 ，可知函数在区间 上单调递增，故 ，
又 ，则 ，即 ．
故函数 的反函数为
【小问2详解】
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由 ，得 ，则函数 的反函数为 ，
因此 ．
再令 ，可得 ，
因此函数 的反函数为 ，与 是同一函数，
故函数 满足“ 积性质”．
【小问3详解】
设函数
由 ，得 ，则 ，
而 ，得反函数 ，
由“和性质”定义可知 对 恒成立．
，即所求一次函数 ．
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