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6.2.4 向量的数量积
第 1 课时 向量的数量积的物理背景和数量积
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）在边长为1的等边三角形 中，设 ，
则 （ ）
A． B．0 C． D．3
【答案】A
【解析】 .同理 ，
∴ .故选A.
2．（2019·全国高一课时练习）下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①错误，正确的是 ，向量数乘的结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误， ，故
⑤错误， .
综上所述，正确的个数为 ，故选B.
3．已知 ， ，若 ，那么向量 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．格致课堂
【答案】A
【解析】
，故选
A．
4．已知下列结论:①a·0=0;②0·a=0;③0- ;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零向量b有
a·b≠0;⑥若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦若a与b是两个单位向量,则a2=b2.
则以上结论正确的是( )
A．①②③⑥⑦ B．③④⑦
C．②③④⑤ D．③⑦
【答案】D
【解析】对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；
对于②：应有0·a=0；
对于④：由数量积定义有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|
a·b|=|a||b|；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，则有a·b=0；
对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.
故③⑦正确.故选D。
5. （多选题）下列命题中，正确的是（ ）
⃗a,⃗b |⃗a+ ⃗b|≤|⃗a|+| ⃗b|
A. 对于任意向量 ，有 ；
⃗a⋅ ⃗b=0 ⃗a=0⃗或⃗b=0⃗
B. 若 ，则 ；
⃗a,⃗b |⃗a⋅ ⃗b|≤|⃗a|| ⃗b|
C. 对于任意向量 ，有
⃗a,⃗b ⃗a⋅ ⃗b=±|⃗a|| ⃗b|
D. 若 共线，则
【答案】ACD
⃗a⊥ ⃗b ⃗a⋅ ⃗b=0
【解析】由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当 时， ，故选项B错误；因为
|⃗a⋅ ⃗b|=||⃗a|| ⃗b||cosθ|≤|⃗a|| ⃗b| ⃗a,⃗b |⃗a⋅ ⃗b|=|⃗a|| ⃗b||cos0° =|⃗a|| ⃗b|
，故选项C正确；当 共线同向时， ，格致课堂
⃗a,⃗b |⃗a⋅ ⃗b|=|⃗a|| ⃗b||cos180° =−|⃗a|| ⃗b|
当 共线反向时， ，所以选项D正确。故选ACD。
⃗a,⃗b,⃗c
6. （多选题）关于平面向量 ，下列命题中错误的是（ ）
⃗a//⃗b,⃗a≠0⃗ λ∈R， ⃗b=λ⃗a ⃗a⋅ ⃗b=0 ⃗a,⃗b
A.若 ，则存在 使得 。 B.若 ，则 的夹角为直角。
⃗a⋅ ⃗b=⃗a⋅⃗c ⃗b=⃗c （⃗a⋅ ⃗b）⋅⃗c=⃗a⋅( ⃗b⋅⃗c)
C.若 ，则 D.
【答案】BCD
⃗a=0⃗或⃗b=0⃗ ⃗a⋅ ⃗b=0
【解析】由共线向量定理可知选项A正确；当 时， ，所以，选项B错误；因
⃗a⋅ ⃗b=⃗a⋅⃗c | ⃗b|cosθ=|⃗c|cosα ⃗a,⃗b,⃗c ⃗a与⃗c
为 ，所以 ，所以选项C错误；对于非零向量 ，当 不共
⃗a⋅ ⃗b≠0，⃗b⋅⃗c≠0 （⃗a⋅ ⃗b）⋅⃗c≠⃗a⋅( ⃗b⋅⃗c)
线，且 时， ，所以，选项D错误。故选BCD。
二、填空题
3π
θ=
7．若向量 、 满足 ，
⃗a
为单位向量，且 与 夹角为 4 ，则 在 上的投影向量
为________.
【答案】
【解析】 即 在 上的投影向量为
故答案为： 。
8．在等边三角形ABC中，边长为2，则⃗AB·⃗BC=____________
【答案】-2
【解析】⃗AB·⃗BC=-⃗BA⋅⃗BC=-2×2×cos60∘=-2.
9．已知|a|=6,|b|=4，a·b=12，向量b方向上的单位向量为e则向量a在向量b方向上的投影是
_________
3⃗e
【答案】
1
【解析】 因为⃗a⋅ ⃗b=|⃗a|| ⃗b|cosθ ，所以12=6×4cosθ，所以
cosθ=
2，所以向量a在向量b方格致课堂
1
|⃗a|cosθ⃗e=6× ⃗e=3⃗e
向上的投影向量为： 2 。
10．（2019·福建省漳平第一中学高三月考（文）改编）已知 ，则
∠AOB= ΔABO
，以 的面积为_______
π
【答案】 3
【解析】设
O⃗A,O⃗B
的夹角为θ， ，所以 ，
π
∠AOB=
因为 ，故 .所以 3 。ΔABO的边OB上的高为
π 1 1
h=|O⃗A|cos∠AOB=2cos =√3 S= |O⃗B|h= ×4×√3=2√3
3 ，所以ΔABO的面积为 2 2 。
三．解答题
11.．如图所示，在平行四边形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°.
求：(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·DA.
【答案】（1）9 （2）-16 （3）-6
【解析】 (1)AD·BC＝|AD|2＝9；
(2)AB·CD＝－|AB|2＝－16；
(3)AB·DA＝|AB||DA|cos(180°－60°)＝4×3×＝－6.
⃗a⋅ ⃗b=16, ⃗a ⃗b 4⃗b | ⃗b|
12.已知 若向量 在 上的投影向量为 ，求 。
【答案】2
⃗a,⃗b
θ
⃗a⋅ ⃗b=|⃗a|| ⃗b|cosθ=16, ⃗a ⃗b
【解析】设 的夹角为 ，则 因为向量 在 上的投影向量为
⃗b
|⃗a|cosθ =4⃗b
| ⃗b| ，所以 |⃗a|cosθ=4| ⃗b| ，所以 | ⃗b|=2 。格致课堂
