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格致课堂
6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
数量积定义及运算 1,2,5,6,7,10,11
数量积的几何意义 4,8,9
综合应用 3,12
基础巩固
1．下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①错误，正确的是 ，向量数乘的结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误， ，故
⑤错误， .
综上所述，正确的个数为 ，故选B.
2．已知向量 满足 ， ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】因为
所以选B.
3．若 ，则三角形ABC必定是（ ）三角形格致课堂
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角
【答案】B
【解析】
，即
所以三角形ABC必定是直角三角形
故选：B
4．若 ， 和 的夹角为30°，则 在 方向上的投影为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为 ， 和 的夹角为30°
所以 在 方向上的投影为 .
故答案选C
5．在边长为2的等边三角形 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 有 ， ，所以
，选C.
6．若 ，且 与 的夹角为 ，则 ________.
【答案】4
【解析】因为 ，所以 ，所以 .
故填：格致课堂
7．已知两个单位向量 的夹角为 ，若向量 ，则 _____________.
【答案】
【解析】由题意 为单位向量,且夹角为
则 ,且 ,
所以
故答案为: .
8．已知 ， 为单位向量，当向量 ， 的夹角 分别等于45°，90°，135°时，求向量 在向量 上
的投影向量．
【答案】见解析
【解析】当 时， 在 上的投影向量为 ，
当 时， 在 上的投影向量为 ，
当 时， 在 上的投影向量为 ．
能力提升
9．已知向量 的夹角为 ，若 ，则 在 方向上的投影为
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B格致课堂
【解析】设 ，又 ，∴ + ，
∵ 的夹角为 ，∴ = ，
联立，解得： 或
当 时， ， ，
∴ 在 方向上的投影为 = ；
当 时， ， ，
∴ 在 方向上的投影为 = ，
综上所述： 在 方向上的投影为-1.
故选B
10．在 中，若 ，则 的值为____________.
【答案】3.
【解析】∵ ，∴ .，
∴ .
故答案为：3．
11．已知向量 与 的夹角 ，且 ，求：
（1） ；格致课堂
（2） ；
（3） .
【答案】（1） ；（2）12；（3）
【解析】（1） .
（2） .
（3） ， .
素养达成
12．已知 ， ，当 取最小值时，
（1）求 的值；
（2）若 、 共线且同向，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 ，
所以 时， 取最小值，即 取最小值.
（2）因为 、 共线且同向，且 ， ，
所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，
所以 .
