文档文本内容
数学试题
（试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m 的黑色字迹签字
笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A. 四棱台
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 三棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体结构特征直接判断即可.
【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为
，如图所示，
由三棱锥性质可知，
和
是全等的梯形，
又平面
平面
，
平面
分别与平面
和
相交于
，
所以
，同理
，
又
，所以
互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选：C
2. 已知
，复数
，则
A. -2
B. 1
C. 0
D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值．
详解：因为
，
所以
，
即
.故选D．
点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力．
3. 已知平面向量
，且
，则
（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据模的坐标运算得
，根据垂直关系可得
，再根据模长关系运算求解.
【详解】因为
，所以
，
，
又因为
，所以
，则
，
所以
.
故选：C.
4. 在
中，
，
，
，则
（ ）
A. 3
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的定义运算即可得解.
【详解】因为
，
，
，
所以
故选：D．
5. 如图所示，矩形
是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
，
，则
原图形
的面积是（ ）
A.
B. 12
C. 12
D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜二测画法求出直观图的面积，进而即可得到原图形的面积.
【详解】由斜二测画法可知
，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：A.
6. 在
中，点D 在BC 上，且满足
，点E 为AD 上任意一点，若实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点
共线得
，且
，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.
【详解】
，
由
三点共线可得
，且
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立.
故选：D.
7. 在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且
，则
的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简
可得
，进而结合
余弦定理可得
，进而结合面积公式即可求解.
【详解】由
，
根据正弦定理得，
，
即
，
即
，
即
，
因为
，则
，
所以
，即
，
所以
，
又
，
则
，即
，
又
，
所以
的面积为
.
故选：A.
8. 长方体
中，
，
，M 为
的中点，P 为下底面ABCD 上一点，
若直线
平面
，则
的面积的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】取
中点
，证明平面
平面
，确定
在
上运动，当
时面积最
小，计算得到答案.
【详解】取
中点
，连接
，
因为
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，
平面
，
平面
，故
平面
，
同理可证
平面
，
又
，
平面
，
故平面
平面
，平面
平面
，
结合P 为下底面ABCD 上一点，故
在
上运动，且
为直角三角形，
当
时，
最小，最小值为
，
此时
的面积最小，求得
.
故选：A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知向量
，
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用平面向量的坐标运算可求出
、
的值，可得出向量
、
的坐标，利用平面向量共线的坐
标表示可判断A 选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD 选项.
【详解】因为向量
，
，
，
所以，
，解得
，则
，
，
对于A 选项，
，
因为
，则
与
不共线，A 错；
对于B 选项，
，则
，
故
，B 对；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，
，
，故
，D 对.
故选：BCD.
10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 为AC、BD 的交点，直线A1C 交平面C1BD 于点M，则下列结论
正确的是（ ）
A. C1、O、A、M 四点共面
B. 直线C1O 与直线A1C 为异面直线
C. 直线A1A 与直线OM 相交
D. D1、D、O、M 四点共面
【答案】AC
【解析】
【分析】根据点与线，点与面，线与面的位置关系逐项判断即可求解.
【详解】对于A 选项，如图，连接
，
因为O 为AC、BD 的交点，直线A1C 交平面C1BD 于点M，
所以点
在平面
与平面
的交线上，即
三点共线，
则点
、
、
、
四点共面，故选项A 正确；
对于B 选项，由选项A 的分析可知
三点共线，所以直线
与直线
相交，故选项B 错误；
对于C 选项，因为
为
的中点，点
为直线
与平面
的交点，所以
不是
的中点，
又因为
平面
，且
与
不平行，所以直线
与直线
相交，故选项C 正确；
对于D 选项，因为点
、
、
均在平面
内，点
不在平面
内，
且直线
与直线
没有交点，所以直线
与直线
异面，
则点
、
、
、
四点不共面，故选项D 错误，
故选：AC.
11. 已知
中，角
所对的边分别是
且
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A.
是锐角三角形B.
C.
的面积为
D. AB 的中线长为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据大边对大角可知角
为钝角，可得A 错误；由余弦定理以及三角形面积公式计算可得BC 正
确，结合余弦定理判断D 错误.
【详解】对于A，由题意可知
边最大，所以角
为
的最大内角，
易知
，因此角
为钝角，可得A 错误；
对于B，易知
，又
，可得
，即B 正确；
对于C，由
，可得
的面积为
，即C 正确；
对于D，设AB 的中线为
，易知
，可得
，
即D 错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 如图，飞机飞行的航线
和地面目标
在同一铅直平面内，在
处测得目标
的俯角为
，飞行
10 千米到达
处，测得目标
的俯角为
，这时
处与地面目标
的距离为________
【答案】
【解析】
【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.
【详解】根据题意可知
，
.
在
中，由正弦定理得
,即
.
故答案为：
.
13. 如图，平面内有三个向量
，其中
与
的夹角为
，
与
的夹角为
，且
，
，若
，则
___________．
【答案】3
【解析】
【分析】对
两边平方得出
①，对
两边同时点乘
即
可得出
②，联立①②即可解出
的值.
【详解】
与
的夹角为
，
与
的夹角为
，且
，
；
对
两边平方得：
①；
对
两边点乘
得：
，两边平方得：
②；
①
②得：
；根据图象知，
，
，代入
得，
；
．
故答案为：3
14. 已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中
，若此圆台的上、下底面圆周
都在球
的球面上，则球
的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由对应关系可得圆台的上、下底面圆半径分别为
，进而计算出圆台的高，设球心
到
点所
在的底面的距离为
，表示
到
点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结
果.
【详解】设圆台的上、下底面圆半径分别为
，
由题意得，
，
，解得
.
如图，设圆台的上、下底面圆心分别为
，则圆台的高为
.
设球
的半径为
，球心
到
点所在的底面的距离为
，
则到
点所在的底面的距离为
，
由题意得，{
x❑
2+1
2= R❑
2
|4 ❑√2−x)❑
2+3
2= R❑
2)，解得
，
所以球
的表面积为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．
15. 已知复数
，
，且
是实数.
（1）求
；
（2）在复平面内，复数
对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题中条件及复数的乘法法则、复数的分类即可求解
的值，再根据共轭复数的定义即可
求解；
（2）由（1）知
，根据复数的加法运算及复数的几何意义即可求解.
【小问1 详解】
∵
，
，
∴
.
∵
是实数，∴
，解得
.
∴
，∴
.
【小问2 详解】
由（1）知
，∴
.
∵复数
对应的点在第四象限，
∴
，解得
，即实数m 的取值范围为
.
16. 已知向量
．
（1）若单位向量
与
共线，求向量
的坐标；
（2）若
与
垂直，求
的值．
【答案】（1）
或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可；
（2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可.
【小问1 详解】
因为两向量共线，
是单位向量，
所以设
，
得到
解得
或
．
【小问2 详解】
因为
与
垂直，
所以
，
即
，
解得
．
17. 如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
为棱
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）若二面角
的大小为
，求四棱锥
体积．
【答案】（1）因为
为
的中点，且
，所以
，
又因为
且
，所以
且
，
因此，四边形
是平行四边形，故
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）连接
，由
且
，
，
，可知四边形
是正方形
因为
，因此
，且
，
在
中，
，故
，
在
中，
，故
，
在
中，
，所以
，
即
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
。
（3）1
【解析】
【分析】(1)根据线面平行的判定定理求证；
(2) 根据面面垂直的判定定理求证；
(3)利用四棱锥的体积公式求解.
【小问1 详解】
略;
【小问2 详解】
略;
【小问3 详解】
因为
平面
，
平面
，所以
,
又因为
，且
，
平面
，所以
平面
,
因为
平面
，所以
,
因此
就是二面角
的平面角，即
,
在
中，
，
，所以
,
梯形
的上底
，下底
，高
，
故梯形
面积为
所以四棱锥
的体积为
.
18. 在
中，角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
的值；
（2）若
，求
的值；
（3）若
的面积为
，且
，求
的周长
．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解；
（2）根据同三角函数关系可求出
，再根据正弦定理求出
，根据二倍角公式求出
；
（3）根据三角形面积公式和余弦定理即可求解.
【小问1 详解】
因为
，
由正弦定理得
，
则
，
因为
，则
，
故
．
【小问2 详解】
∵
，且
,
∴
，
∵
，
，
∴
，解得
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
.
【小问3 详解】
∵
，∴
，
由余弦定理得
，
∴
，
又
，∴
，则
，
∴
，
于是
的周长
．
19. 如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
底面
，
，
，
（1）求证：
平面
；
（2）若
，
分别为棱
，
的中点，求证：
∥平面
；
（3）设
为等边三角形，求直线
与平面
所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证明
平面
；
（2）易证四边形
是平行四边形，进而根据线面平行的判断定理证明即可；
（3）由（1）可知平面
平面
，进而可知
是直线
与平面
所成角，在三角形中
求解即可.
【小问1 详解】
因为底面
为矩形，所以
，
因为侧面
底面
，侧面
底面
，
底面
，
所以
平面
.
【小问2 详解】
取
中点
，连接
，
，
因为
是
中点，所以
，
，
又因为矩形
，所以
，
，且
是
中点，
所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
【小问3 详解】
由（1）可知
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
，
又平面
平面
，
因为
为等边三角形，
所以
，
平面
，
所以
平面
，
连接
，所以
是直线
与平面
所成角，
在矩形
中，
，
在正
中，
，
所以
，
因为
，
因此
，
即直线
与平面
所成角为
