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安岳中学高 2025 级第二学期半期考试
数学试卷
考试时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 如图，矩形
是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
，则原图形
的
面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据
直接求解.
【详解】方法一、设矩形
与
相交于点
，则原图形如下，
，则
，
所以
.
方法二、由
，所以
.
故选：C.
2. 已知向量
，
，且
，则 等于（
）
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A.
B.
C. 10
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可.
【详解】由
，
及
，得
，所以
，
故选：D
3. 下列说法正确的是（
）
A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
D. 棱台的所有侧棱所在直线交于同一点
【答案】D
【解析】
【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故 A 错
误；
圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故 B 错误；
只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故 C 错误；
棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故 D 正确．
4. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔
垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶
的仰角分别为
，
（如图），设乘客眼睛离地面的距离为
，
.若
在同一水平
高度，且
，
，
在同一竖直平面内，则北塔
高为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
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【解析】
【详解】设
，因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，解得
.
所以
.
5. 如图，
是一个正三棱台，而且下底面边长为 4，上底面边长和侧棱长都为 2，则棱台的高
为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，取正三棱台
的上下底面中心为
，连接
并延长交
于点
，
连接
并延长交
于点
，分别计算
的长，利用直角梯形
即可求得答案.
【详解】
如图，取正三棱台
的上下底面中心为
，则
即为棱台的高.
连接
并延长交
于点
，连接
并延长交
于点
.
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依题意，
，
，
在直角梯形
中，
，即棱台的高为
.
故选：D.
6. 已知
为锐角，
，
，则
=（
）
A.
B.
C.
D.
或
【答案】B
【解析】
【详解】因为
为锐角，
，所以
.
因为
，所以
，且
，
所以
，
所以
.
7. 在
中的角
的对应边分别为
，且
，则
的形状为（
）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 直角或等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角
为直角.
【详解】因为
，所以
，
即
，
所以
，
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即
，
整理得
，
角
为直角，
为直角三角形.
8. 在
中，内角
所对应边分别为
，则下列说法不正确的是（
）
A. 若满足
，
的
有两解，则 a 的取值范围为
B. 若
为锐角三角形，且
，则
的取值范围是
C. 若
则 是
的外心
D. 若点 O 为
内一点，且
，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于 A，利用正弦定理和三角函数的性质求解；对于 B，根据余弦定理和已知条件化简，求出
，再用正弦定理对
进行化简，根据 的范围判断即可；对于 C，由向量
的数量积的运算及外心的定义判断；对于 D，
交
于点
，由向量的线性运算法则及向量共线定理，
可得
，从而求得面积比.
【详解】对于 A，
，所以
，
因为
，要使
有两解，则
，所以
，A 正确；
对于 B，因为
，又
，
所以
，即
，即
，
所以
，
即
，即
，
因为
，所以
，即
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所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，所以
，
所以
，B 正确；
对于 C，
则
，
所以
，所以点 在
边的高线上，所以 不一定是
的外心，C 错误；
对于 D，若点 O 为
内一点，且
，
延长
交
于点
，故存在实数 ，使得
，
由于
在直线
上，故
，从而
，即
，
所以
，故
，D 正确.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（
）
A.
B. 若
是关于 的方程
的根，则
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C. 若复数 满足
，则
的最大值和最小值的和为
D. 若
，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数定义，可以判断 A 选项；根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根与系数关
系，可以判断 B 选项；根据复数的几何意义可以判断
对应的图形为圆，根据点到圆的距离可以
判断 C 选项；根据复数的乘法运算可判断 D 选项.
【详解】对于 A，复数包括实数和虚数，实数可以比较大小，虚数不可以比较大小，故 A 错误.
对于 B，若
是关于 的方程
的一个根，则
也是关于 的方程
的一个根，
所以
，因此
,故 B 正确.
对于 C，设
，若复数 满足
，则有
，
所以 在复平面内对应点的轨迹为以
为圆心，半径为 的圆，
的几何意义为圆上点到原点的距离，
，
，
所以
，故 C 正确.
对于 D，由
可得，
，则
，
因此
，故 D 正确.
10. 如图，
是圆锥
的底面圆 的直径，点
是底面圆 上异于
、 的动点，点
是母线
上
一点，已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为
，则下列说法正确的是（
）
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A. 若
，则从点 出发绕圆锥侧面一周到达点
的最短长度为
B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D. 三棱锥
的体积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将圆锥沿着
展开，结合勾股定理判断 A；利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出
其高，结合锥体的体积公式判断 B；由扇形的弧长公式判断 C；求出
面积的最大值，结合锥体的体
积公式判断 D.
【详解】对于 C，由圆锥的侧面积为
，得圆锥的母线长
，侧面展开图弧长
，
因此圆锥的侧面展开图的圆心角
，C 正确；
对于 A，侧面展开图扇形圆心角
，点
在
上且
，则
，
在展开后的扇形中，
与 （对应底面同一点）的圆心角为
，
最短路径为线段
，且
，A 正确；
对于 B，设圆锥的高
，该圆锥的体积为
，B 错误；
对于 D，由圆的几何性质知
，由勾股定理得
，
由基本不等式得
，则
，
当且仅当
，即当
时取等号，
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此时
，因此
，D 正确.
11.
满足
，且
，则（
）
A.
三个内角
满足关系
B.
的周长为
C. 若
的角平分线与
交于
，则
的长为
D. 设
为
外接圆上任意一点，则
的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用
角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出
的长度，最后借助数量积的几何意义即可求
出最大值.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
，
对于 A：由余弦定理知，
，因为
，所以
，
所以
，即
，故 A 正确；
对于 B：因为
，
所以
的周长为
，故 B 正确；
对于 C：若
的角平分线与
交于
，则
，
因为
，
所以
，
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即
，解得
，故 C 错误；
对于 D：因为
，
设
外接圆的圆心为 ，半径为
，
由正弦定理知，
，所以
，
过点
作
的垂线，垂足为
，则
，
当
，且点
在
的延长线上时，
取得最大值，如图所示，
此时
，
所以
的最大值为
，故 D 正确.
三、填空题（共 15 分）
12. 若复数
，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法求出 ，进而求出其模.
【详解】依题意，
，所以
.
故答案为：
13. 边长为 1 的正方形 ABCD 上有一动点 ，则向量
的范围是___________.
【答案】
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【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求解
【详解】如图，分别以
,
为
建立平面直角坐标系，则
，
设
，则
，
，
当 在边
或
边上时，
，
所以
，
当 在
边上时，
，
，
当 在
边上时，
，
，
所以
的取值范围为
，
14. 已知函数
的图象如图所示，点
在
的图象
上，且
，若将
图象上每个点的横坐标变为原来的
倍，得函数
在
上恰有一个最大值，一个最小值，则 m 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
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【分析】结合
型函数图象的几何意义，求解出
，由图象变换得到
表达式，根据
函数图
象在
恰有一个最大值，一个最小值求解出
的范围.
【详解】因为
，点
在
的图象上，
所以
，即
，
因为
，所以
，即
，
由
，可得
，所以
，
而
在 轴左侧，所以
，即
，因此
，
由图象可知，
，则
，
因为
且
，所以
，
设将
图象上每个点的横坐标变为原来的
倍后得到的函数为
，
所以
，
，
当
时，
，
当
时，
，故
，
而
的最大值为 ，最小值为
，
所以
，即
，
因此
的取值范围为
四、解答题（共 77 分）
15. 已知向量
，
，且 与 垂直.
（1）求
；
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（2）若
与
互相垂直，求实数 的值.
【答案】（1）5
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据向量垂直得出
的值，然后根据向量模长的公式求模长；
（2）根据向量垂直列方程，求 的值。
【小问 1 详解】
与 垂直，所以
，得
，
，
.
【小问 2 详解】
，
，
与
互相垂直，
所以
，
即
，即
，
所以
.
16. 如图，长方体
的三条棱的长分别为
．
（1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥
，求剩下的几何体的体积；
（2）求长方体
外接球的体积和表面积．
【答案】（1）
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（2）体积为
，表面积为
【解析】
【分析】（1）根据
求解即可；
（2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解.
【小问 1 详解】
在长方体中，
．
则
．
，
所以剩余部分的体积为
．
【小问 2 详解】
长方体的体对角线长为
，
设长方体的外接球的半径为
，可得
，即
，
所以外接球的体积为
，
表面积为
．
17. 在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
，
的中点为 M.
（1）求 ；
（2）若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由
得
，根据 的范围求值；
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（2）由正弦定理得
，
，由
，利用向量运算结合三角恒等变换可
得
，求出
的范围结合三角函数性质得解.
【小问 1 详解】
由
，得
，
又
，所以
，
所以
，
.
【小问 2 详解】
由
，且
可得
，
又
，
为
外接圆
半径）
所以
，又
，所以
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
.
由
的中点为 M，得
，
所以
.
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因为
为锐角三角形，所以
，得
，
则
，所以
，
，
则
，
故
的取值范围是
.
18.
．
（1）求
的值；
（2）求
在
上的值域；
（3）将函数
的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，
若不等式
对于任意
恒成立，求实数 a 的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接代入即可求解，
（2）在已知 x 的取值范围
的情况下，通过分析
的范围，进而得出函数的值域.
（3）根据三角函数图象的伸缩变换得到
，通过换元构造函数，令
，再将
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进行化简，参变分离，转化为
对任意的
恒成立，利用基本不等式求 a 的取值
范围．
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
时，
，故
．
即
在
上的值域为
．
【小问 3 详解】
将函数
图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），
得到函数
，
则
，
令
，因为
，所以
.
则不等式
对任意的
恒成立，
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等价于
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立.
整理得
，因为
，所以
，
则
；
令
，
，
，，
由于
，故
，则
，
因此
，
当且仅当
，即
时取到等号，
所以
.所以
，
即实数 的取值范围是
.
19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（
）于
年提出的平面几何极值问题：“已
知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．
已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当
的三个内角均小于
时，使得
的点 即为费马点．在锐角
中，角
的对边分别为
，
且
．若 是锐角
的“费马点”，
．
（1）求角
；
（2）若
；求
的面积；
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（3）若
，且
．
①求
的周长；
②求
的值．
【答案】（1）
（2）
（3）①
；③
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件求解；
（2）利用正三角形的性质，结合费马点定义、余弦定理构造方程求出
，进而利用三角形面积公
式求解；
（3）利用费马点性质结合余弦定理及三角形面积公式构造方程求出
，进而求出三角形周长；再结合余
弦定理求出
．
【小问 1 详解】
由
结合正弦定理
可得
，
，
，
为锐角三角形，
．
【小问 2 详解】
中，
且
，
为正三角形，边长
，
费马点 满足
，且等边三角形费马点与重心、垂心重合，
设
，由余弦定理，
，
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即
，故
，解得
，
的面积
．
【小问 3 详解】
①设
，由费马点性质，
，故
．
，
由
得：
，即
，
由余弦定理得，
，
即
，即
，
又
，联立
，解得
，
的周长为
；
②由在
中，由余弦定理得
，
联立
可得
，
则
，
即
，
．
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