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安岳中学高 2025 级第二学期半期考试
数学试卷
考试时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 如图，矩形
是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
，则原图形
的
面积为（
）
A.
B.
C.
D.
2. 已知向量
，
，且
，则 等于（
）
A.
B.
C. 10
D.
3. 下列说法正确的是（
）
A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
D. 棱台的所有侧棱所在直线交于同一点
4. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔
垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶
的仰角分别为
，
（如图），设乘客眼睛离地面的距离为
，
.若
在同一水平
高度，且
，
，
在同一竖直平面内，则北塔
高为（
）
A.
B.
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C.
D.
5. 如图，
是一个正三棱台，而且下底面边长为 4，上底面边长和侧棱长都为 2，则棱台的高
为（
）
A.
B.
C.
D.
6. 已知
为锐角，
，
，则
=（
）
A.
B.
C.
D.
或
7. 在
中的角
的对应边分别为
，且
，则
的形状为（
）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 直角或等腰三角形
8. 在
中，内角
所对应边分别为
，则下列说法不正确的是（
）
A. 若满足
，
的
有两解，则 a 的取值范围为
B. 若
为锐角三角形，且
，则
的取值范围是
C. 若
则 是
的外心
D. 若点 O 为
内一点，且
，则
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（
）
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A.
B. 若
是关于 的方程
的根，则
C. 若复数 满足
，则
的最大值和最小值的和为
D. 若
，则
10. 如图，
是圆锥
的底面圆 的直径，点
是底面圆 上异于
、 的动点，点
是母线
上
一点，已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为
，则下列说法正确的是（
）
A. 若
，则从点 出发绕圆锥侧面一周到达点
的最短长度为
B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D. 三棱锥
的体积的最大值为
11.
满足
，且
，则（
）
A.
三个内角
满足关系
B.
的周长为
C. 若
的角平分线与
交于
，则
的长为
D. 设
为
外接圆上任意一点，则
的最大值为
三、填空题（共 15 分）
12. 若复数
，则
______.
13. 边长为 1 的正方形 ABCD 上有一动点 ，则向量
的范围是___________.
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14. 已知函数
的图象如图所示，点
在
的图象
上，且
，若将
图象上每个点的横坐标变为原来的
倍，得函数
在
上恰有一个最大值，一个最小值，则 m 的取值范围是___________.
四、解答题（共 77 分）
15. 已知向量
，
，且 与 垂直.
）求
；
（2）若
与
互相垂直，求实数 的值.
16. 如图，长方体
的三条棱的长分别为
．
（1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥
，求剩下的几何体的体积；
（2）求长方体
外接球的体积和表面积．
17. 在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
，
的中点为 M.
（
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18.
．
（1）求
的值；
（2）求
在
上的值域；
（3）将函数
的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，
若不等式
对于任意
恒成立，求实数 a 的最大值．
19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（
）于
年提出的平面几何极值问题：“已
知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．
已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当
的三个内角均小于
时，使得
的点 即为费马点．在锐角
中，角
的对边分别为
，
且
．若 是锐角
的“费马点”，
．
（1）求角
；
（2）若
；求
的面积；
（3）若
，且
．
①求
的周长；
②求
的值．
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