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四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．我校高个子的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数 组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4
2．命题 ， 的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知集合 ，则集合 的子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．无数个
4．若用列举法表示集合 ，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合 ， ，若 ，则 等于（ ）
A．2 B．1或2 C．1或2或 D．
6．集合 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．对任意的集合A、B，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则A、B至少有一个为空集； D．若 ，则A、B至多有一个为空集.8．若 ，下列不等式：① ；② ；③ ；④ .成立的有（ ）
个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知集合 ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．下列结论正确的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”为真命题.
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．已知命题 “若 ，则方程 有实数根”，则命题 的否定为真命题
D．命题“若 ，则 且 ”的为真命题
11．已知 ， ， ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
三、填空题
12．已知集合 ， ，则
13．如果 ， ，则 的取值范围是 .
14．已知命题 ，命题 ，若命题 、 一真一假，则实数
的取值范围为 ．四、解答题
15．（1）比较大小： 与 ；
（2）解不等式 ；
（3）解不等式 .
16．已知集合
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
17．设全集为实数集 ，集合 ，
(1)当 时，求 ；
(2)若命题 ，命题 ，且 是 的充分且不必要条件，求实数 的取值范围．
18．已知关于 的不等式 的解集为 或 .
(1)求 的值；
(2)当 且满足 时，有 恒成立，求实数 的取值范围.
19．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，
每间虎笼的长为 （单位： ）、宽为 （单位： ）（ 都为正数）．
(1)现有 长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 ，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
最小值为多少？(3)若使用的钢筋网材料总长为 ，求 的最小值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B C A B C AD ABD
题号 11
答案 AC
1．B
根据集合概念逐一判断即可.
【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误；
对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确；
对于C，因为 ，故数 组成的集合中只有5个元素，错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误.
故选：B
2．A
由全称命题的否定，将任意改为存在并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为 ， .
故选：A
3．C
解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数.
【详解】解不等式 ，得 ，所以 ，
则集合 的子集个数是 .
故选：C.
4．B
【详解】由 解得 所以 .
故选：B
5．C
【详解】解： ，由 ，可得 且 ，
集合 ，当 时， ，
当 时，则 或2，
经检验均符合要求，
故 或2或 ，
故选：C
6．A
【详解】集合 ，
若 ，如图，有下面两种情形，
或 ，
由图可得 .
故选：A.
7．B
利用 为任何集合的子集， 为任何非空集合的真子集，判断选项A，B，利用特殊值法结合交集定义判
断选项C，利用并集定义结合 含义判断选项D.
【详解】若 ，则 是任何非空集合的真子集，当 时， 不是 的真子集，故A错误；
因为 为任何集合的子集，所以当 ， 成立，故B正确；
当 ， 时， ，但 均为非空集合，故C错误；
若 ，则必须 且 ，故原表述错误，D错误.
故选：B.
8．C
对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知 ，结合不等式性质分析判断.
【详解】对于①：因为 ，则 ，所以 ，故①正确；
对于②：因为 ，则 ，所以 ，故②错误；对于③：因为 ，则 ，
所以 ，故③正确；
对于④：因为 ，则 ，可得 ，
即 ，所以 ，故④正确；
综上所述：成立的有3个.
故选：C.
9．AD
由集合与元素的关系可判断ABD，举反例可得C.
【详解】对于A， ， ，故A正确；
对于B、D， ， ，故B错误，D正确；
对于C，当 ， ， ，故C错误.
故选：AD.
10．ABD
对于A：把 代入 ,即可判断；对于B：利用集合法判断； 对于C：先判断出命题 为真
命题，可以得到命题 的否定为假命题；对于D：直接判断.
【详解】对于A：把 代入 成立，
所以命题“若 ，则 ”为真命题.故A正确；
对于B：由 解得： .而 是 的真子集,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，所以方程 有实数根.
故命题 为真命题，所以命题 的否定为假命题.故C错误；
对于D：因为 ，所以 且 .故D正确.
故选：ABD
11．AC根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由
，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且
注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D．
【详解】由 ， ， ，
对于选项A，由 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，即 的最大值为 ，故A正确；
对于选项B，由 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，即 的最小值为9，故B错误；
对于选项C，由B选项可知， ，所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，即 的最大值为 ，故C正确；
对于选项D，由 ，
则 ，当且仅当 ，即 且 时等号成立，
联立 ，整理得到 ，由 ，则 ， 无实数解，
所以等号取不到，即 ，即 的最小值不是2，故D错误．
故选：AC．
12．
根据交集的定义求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 .
故答案为： .
13．
根据同向不等式的运算规则，计算不等式的范围.
【详解】 ,
,
又 ,
,
两式相加得 ,
故答案为: .
14． 或
先求出命题 、 分别为真命题时实数 的取值范围，然后分 真 假，或 假 真两种情况可求得结果.
【详解】由命题 为真命题，得 ，解得 ，
由命题 为真命题，得 ，解得 ，
因为命题 、 一真一假，所以 真 假，或 假 真，
当 真 假时， ，得 ，
当 假 真时， ，得 ，
综上， 或 .
故答案为： 或 .
15．
（1） （2） 或 （3）
（1）利用作差法即可比较大小；（2）直接因式分解法解一元二次不等式即可；
（3）移项通分，然后转化为一元二次不等式即可.
【详解】（1） ， 所以 ；
（2） 或 ；
所以不等式的解集为 或 ；
（3） ,
所以不等式的解集为
16．(1)
(2)
（1）根据集合的补集定义进行求解即可；
（2）根据交集的定义，子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，则 ，
所以 ；
（2）因为 ，则 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为
17．(1)
(2)
（1）首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据并集的定义计算可得；
（2）依题意可得集合 是集合 的真子集，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由 可得 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，而 必为非空集合，
因为 是 的充分不必要条件，则集合 是集合 的真子集，
所以 （等号不同时成立），解得 ．
18．(1)
(2)
（1）得到 为方程 的两个根，由韦达定理求出答案；
（2）在（1）的基础上，利用基本不等式“1”的妙用得到 ，只需 ，求出答案.
【详解】（1）由题意得 为方程 的两个根，
则 ，解得 ；
（2）由（1）得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
要想 恒成立，只需 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
19．(1)长为 ，宽为(2)每间虎笼的长设计为 、宽设计为 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为 ．
(3) ．
【详解】（1）由题得 ，即 ， ， ，
设每间虎笼的面积为 ，则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，
所以每间虎笼的长为 ，宽为 时，可使每间虎笼面积最大，最大为 ．
（2）由题意可得 ， ， ，设钢筋网总长为 ，则 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为 、宽设计为 时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为 ．
（3）依题意，得 ．
方法一： ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ．
方法二： ，则 ， ，
当且仅当 时等号成立．
故 ，当且仅当 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
