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安徽六安市独山中学2025-2026 学年高一下学期5 月期中考试数学试题
一、单选题
1．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
或
C．若
，则
D．若
，则
2．如图，正方形
和正方形
有公共边，与向量
相等的向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知平面向量，满足
，
，与的夹角为120°，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量
，且
，那么的值是（ ）
A．
B．3
C．
D．
7．已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．4
8．若向量
，
，则与的夹角为（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量
与
不相等，则点M 与N 不重合
10．下面给出的关系式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知向量
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．若向量的模为2，向量与方向相同，且
，则
___________ ．
13．已知
，则向量在向量上的投影向量是__________.
14．已知向量
，
，且
，则
______.
四、解答题
15．若，的夹角为
，
，
(1)求
；
(2)求
(3)求
在上的投影数量．
16．化简下列各式：
(1)
；
(2)
．
(3)
．
17．已知
与的夹角是
(1)计算
；
(2)求
和的夹角的余弦值．
18．已知向量
.求：
(1)
；
(2)
；
(3)若
，求实数的值.
19．在等腰梯形
中，
，点E，F 分别是边
与边
上的点，且
与
交于点
.
(1)当
时，
①用
表示
；
②求
的大小.
(2)求实数
的取值范围，并求
的最小值.
参考答案
1．D
【详解】对于A 和B，由
，得
的模相等，而它们的方向不确定，则向量
不一定共线，所以
A 和B 均错误；
对于C，取
，满足
，而
可为任意方向，则
不一定共线，C 错误；
对于D，
，由相等向量的意义，得
，D 正确.
2．B
【详解】由题可知，
，且
，
四边形
为平行四边形，
则与向量
相等的向量为
．
3．B
【详解】
.
4．D
【详解】
.
5．B
【详解】因为
，则
，则
，
，所以B 正确，C 和D 错误，
又
，所以与不垂直，故A 错误.
6．B
【详解】因为向量
，且
，
所以
，解得
.
7．C
【详解】因为向量
，
，
所以
，
所以
.
8．B
【详解】
，
因为
，所以与的夹角为
.
9．AC
【详解】对于A，因为与的方向可能不同，故错误；
对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；
对于C，因为x 轴、y 轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；
对于D，假设点M 与点N 重合，则向量
，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M 与N 不重合，
故正确；
故选：AC
10．ABC
【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A 正确；
由平面向量数量积的交换律可知，
，故B 正确；
，故C 正确；
，故D 错误.
故选：ABC
11．BD
【详解】A 选项，
，不可能有
，A 错误
B 选项，因为
，所以
，B 正确；
C 选项，因为
，所以
，故C 错误.
D 选项，由C 选项分析可得
，D 正确．
12．
【详解】向量的模为2，向量与方向相同，且
，所以
13．
【详解】根据投影向量公式可得，
向量在向量上的投影向量为
.
14．
【详解】因为向量
，
，且
所以
，解得
，
所以
，
因此
.
15．(1)
；
(2)
；
(3)1.
【详解】（1）由，的夹角为
，
，
，
得
.
（2）
.
（3）依题意，
，
所以
在上的投影数量为
.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
．
（2）
.
（3）
.
17．(1)
，
；
(2)
【详解】（1）因为
与的夹角是
所以
，
（2）因为
，
设
和的夹角为，
则
.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，所以
（2）因为
，所以
（3）因为
，所以
，
因为
，
所以
，得
.
19．(1)①
;②
(2)
【详解】（1）①在等腰梯形ABCD 中，
，
，
，
，
所以
，
，
所以
.
②因为
共线，则存在实数
，使得
，
又因为
共线，则存在实数
，使得
，
所以
，解得
.
所以
.
,
.
（2）因为点E，F 分别是边BC 与边CD 上的点，AE 与BD 交于点
，
，
所以
，解得
，
又因为
,
.
所以
，
所以
，当且仅当
时取“=”.
所以
的最小值为
.
